Тема урока: "Решение прикладных задач с помощью математического анализа"

Задачи, содержащие физические величины, играют важную роль в формировании  математической культуры учащихся, в понимании ими практической значимости изучаемого материала на уроках математики.  Подготовка к уроку продолжалась на протяжении двух недель. В это время ученики в индивидуальном порядке создавали кейс решаемых задач по указанной теме, консультировались с преподавателями физики, математики, друг с другом. Самостоятельный  поиск, отбор, анализ и использование материала происходили по принципу понятности, полезности, интересности. Так  появился кейс домашних задач по заявленной теме.
При этом с учетом индивидуальных способностей выпускника, была возможность  заняться поиском  информации практической значимости интегрирования, систематизации знаний по теме «Интеграл и дифференциальные уравнения». Результатом работы являлась презентация. Ключевой идеей организации урока можно назвать идею вовлечения в работу всех учеников класса с учетом разноуровневой подготовки каждого и актуализации математического образования в различных сферах человеческой деятельности.

Выбранный вид деятельности учит выпускника адаптироваться в мире, где объем информации растет в геометрической прогрессии, где социальная и профессиональная успешность напрямую зависят от позитивного отношения к новациям, самостоятельности мышления и инициативности, готовности проявлять творческий подход к делу, искать нестандартные способы решения проблем, готовности к конструктивному взаимодействию с людьми.

Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления  изучаемого материала на уроках математики, его практической значимости.

Тип урока: урок применения и совершенствование полученных знаний на уроках математике при  решении физических задач.

Форма организации учебной деятельности:  индивидуальная, фронтальная, в малых группах.

Продолжительность: 90 минут.

Эпиграф к уроку:

В  науке ровно столько истины, сколько в ней математики.     

И. Кант

ХОД УРОКА

Введение: Каждый человек должен уметь опираться на полученные знания и уметь применять их в нестандартных ситуациях. Математика изучает различные связи между величинами. Мы уже много раз обращались, например, к  движению материальной точки, устанавливая связь между изменением её скорости и изменением её местоположения. Вряд ли кто из нас не помнит, что скорость является производной от координаты по времени, а производная от скорости есть ускорение. Дифференцирование функции ворвалось в нашу школьную жизнь в 10 классе.

Повторение:  устно решить несколько задач из подборки ЕГЭ.

Задача№1.

Движение точки описывается уравнением S = 4t⁴ + 2t² + 7. Найти скорость и ускорение точки в момент времени t = 2c и среднюю скорость за первые 2с движения?

(Учащиеся берут производные от функции s'= 16t³ + 4t, s" = 48t² + 4 и вычисляют их значения при указанном значении  величины t)

Ответ: 136; 196; 39,5.

Задача№2

На рисунке показана зависимость пройденного пути от времени в начале движения автомобиля

а) С помощью графика движения автомобиля определи интервал времени,  на протяжении которого автомобиль движется с постоянной скоростью:

Рисунок 1

Варианты ответов: 

1. 0-5с
2. 5-10с;
3. 10-15с
4. 15-20с

б) С помощью графика движения (рисунок 1) определи, в какой момент времени автомобиль достигает максимальной скорости.

Варианты ответов:

1. 5с
2. 10 с 
3. 15с
4. определить невозможно.

Индивидуальная работа: Классу предлагаю кейс с задачами.

Задача: выбрать из этого кейса решаемую задачу, решить и, если появится желание, поделиться своим решением с одноклассниками.

Кто не желает решать задачи, может пройти диагностическое тестирование на компьютере  в оболочке my test по принципу зачет-незачет. Если в классе нет персональных компьютеров, тестирование можно организовать на бумажном носителе.
Обсуждение результата работы через 8 минут.

Кейс задач:

1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону s(t) = t² + 2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.
2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 2t³ – t² при t = 2с.
3. Движение материальной точки описывается уравнением x = 2 sin(π/2t + π/4). Определите максимальные значения скорости и ускорения.
4. Колебательное движение точки описывается уравнением x = 0,05 cos 20πt. Найти координату, скорость и ускорение спустя 1/60 с после момента времени t = 0.
5. Закон изменения температуры тела в зависимости от времени задаётся уравнением T = 0,2t². С какой скоростью изменяется температура тела в момент времени 5с?
6. Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2t² – 5t. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени 10с.
7. Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t⁴ – 1. Найдите его угловую скорость w в момент времени t и t = 2с.
8. При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 10^–2cos 10πt. Вычислив производную Ф't , написать формулу зависимости ЭДС от времени   ε = ε(t). Определить максимальное значение магнитного потока и ЭДС.
9. Заряд q ;на пластинах конденсатора изменяется по закону q = 10 – 6cos 104πt. Записать закон зависимости силы тока от времени i = i(t), вычислив производную q^'_t. Определить максимальное значение электрического заряда и силы тока.

Диагностический тест:

Актуализация знаний

В 11 классе мы учились решать обратную задачу: нахождение положения точки, если известен закон изменения её скорости. Готовясь к сегодняшнему уроку, у нас появилось несколько пар величин, которые связаны между собой так же, как положение точки и её скорость. К таким величинам можно отнести перемещение, работу, давление и т.д., а через них на уроках математики можно заглянуть в такие разделы физики как механика, гидростатика, гидродинамика, электростатика. Для вычисления физических величин с помощью интеграла нужно суметь установить скорость изменения этих величин. Если искомую величину сможем представить в виде приращения некоторой функции F, то интегрирование приведет к самой функции.
Решим фронтально задачу из учебника Виленкина И.Я для 11 классов:

Задача: Найди давление, оказываемое водой на плотину, имеющую форму треугольника, обращенного вершиной вниз, если основание треугольника равно l, а его высота равна h.

Рисунок 2

 Взяв полоску «бесконечно малой высоты» dx, находящуюся на глубине х, получаем два подобных треугольника.
Откуда имеем  , значит, площадь полоски равна , а давление на неё равно . Чтобы получить давление на всю плотину, надо проинтегрировать обе части полученного уравнения по х: .

Необходимо помнить закон Паскаля, который позволяет такие размышления.
Итак, установив связь между глубиной и площадью полоски, площадью полоски и давлением, составляем дифференциальное уравнение, решив которое, получаем ответ.
Ученик третьего уровня образования знакомит ребят с решением задачи, решенной им на олимпиаде “Надежда энергетики».

Задача. Бак высотой H наполняется краном за время, равное t. На дне бака имеется отверстие. Если при полностью заполненном баке открыть отверстие и закрыть кран, то опорожнение также займет время, равное t. Необходимо определить на каком уровне h удержится вода при открытом кране и открытом отверстии в дне. Вода выливается свободно.
Решение сопровождается слайдом в презентации урока.

Решение:

Пусть h – некая высота столба жидкости,   формула Торричелли dh = vdt = ,  dt – зависимость высоты столба жидкости от времени

Чтобы уровень воды удерживался на месте, необходимо чтобы скорость наполнения была равна скорости опорожнения, а значит:  =

Ответ: h = H/4

Рисунок 3

Обсуждение решения.

– А теперь переходим к следующему этапу нашей работы. Обсуждение результатов поиска физических решаемых задач. (Приложение 1) На него отводится 10 минут. Домашние задачи, решаемые на протяжении двух недель до заключительного урока  можно классифицировать по содержанию в них физических величин:
Давление;
Работа;
Перемещение;

Таким образом, создаются три группы. При этом может появиться стихийно созданная четвертая группа, куда войдут ребята, решавшие задачи, в содержании которых другие физические величины, а так же группа ребят, у которых не получилось решать задачи. Для последней группы предлагается презентация на тему: «Его величество, интеграл», выполненная одноклассниками и прошедшая отбор на уровне класса.

Ребята организовываются в группы с целью:

• познакомиться с содержанием решения домашних задач;
• выбрать одну и представить ее публичную презентацию;
• проверить гипотезу: у решения физических задач есть инвариант.

ИНВАРИАНТ от франц. invariant — неизменяющийся

Рефлексия результатов подготовки к уроку

Приступаем к защите работ. Время защиты три минуты, при этом необходимо:

• сформулировать  задачу;
• указать какие физические величины  удалось связать с помощью дифференциального уравнения;
• сформулировать область физики, соответствующей задачи, и ответ.

В ходе обсуждения решения задач формируется алгоритм их решения:

• Представь изменение искомой величины с помощью дифференциалов;
• Реши дифференциальное уравнение;
• Интерпретируй ответ

Физические величины и их связь друг с другом наглядно представляется через таблицу:

Все ребята, работавшие на протяжении этих двух уроков, и в период подготовки к нему получат оценки за урок не ниже «4». А в заключение, я хочу вам рассказать притчу, автор которой не известен.
Три человека возили в тележке камни. У одного из них спросили:
– Что ты здесь делаешь?
Остановившись и вытерев пот, он устало ответил:
– Я таскаю камни.
Тот же вопрос задали второму. Он ответил:
– Я зарабатываю деньги. У меня большая семья, и я должен её кормить.
Третий человек, услышав такой же вопрос, ответил:
– Я строю храм.
Мне очень хочется, что бы вы, ребята, работая  дома и в школе, не просто учились или зарабатывали оценки, а возводили храм Знаний с крепким основанием, надежный и стабильный.

Что бы вы  могли
В одном мгновении видеть вечность,
Огромный мир – в зерне песка,
В единой горсти – бесконечность
И небо – в чашечке цветка.

У.Блейк, перевод С. Маршака.

Домашнее задание

Повторить таблицы

• дифференцирования
• интегрирования

Решить из учебника  одну из задач на  перемещение, работа, давление.
Те ребята, которые что-либо плохо поняли на уроке, могут посмотреть видиоурок, перейдя по ссылке http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=99AgDh_BN58