Урок-исследование "Понятие производной. Правила дифференцирования"

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (6 МБ)

Тип урока: Урок систематизации и изучения нового материала с элементами исследования.

Форма урока: Урок-исследование.

Цели урока:

  • Познакомить с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций.
  • Формировать умения применять полученные знания по математике на уроках физики, биологии и химии, т.е. формирование целостного мировосприятия.
  • Отработать у учащихся приемы учебно-познавательной деятельности.
  • Активизировать личностный смысл учащихся к изучении темы.
  • Отработать у учащихся приемы учебно-познавательной деятельности.

Задачи урока:

Развивающая:

  1. Учить логически мыслить, оценивать свои знания
  2. Совершенствовать умения самостоятельного поиска информации, умения анализировать, систематизировать, выбирать главное, способствующие формирование информационной и учебно – познавательной компетенции школьников.

Учебная:

  1. Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний нахождения производных, отработать применение правил дифференцирования

Воспитательная:

  1. Развивать умения работать в группе, способствующие формированию коммуникативной компетенции школьников. Формировать эмоционально-ценностное отношение к учебной деятельности, воспитывать интерес к математике.
  2. Используемые педагогические технологии, методы и приемы.
  3. Здоровьесберегающая технология, проектная технология, ИКТ технология.

Время реализации мероприятия, занятия: 45 мин.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока:

  1. Систематизации знаний табличных производных. Нахождение новых производных
  2. Формирование умений применять табличные производные;
  3. умение извлекать необходимую информацию из различного рода источников;
    • навыки пользоваться правилами дифференцирования;
    • умение работать в команде.

Необходимое оборудование и материалы: Интердоска, портреты математиков, мультимедийная разработка урока, бланки листов для проведения программированного контроля, звуковое сопровождение к этапу «Актуализация» и «Релаксация».

Дидактическое обеспечение мероприятия:

  1. листы ответов;
  2. карточки с заданиями для групп.

Список учебной и дополнительной литературы:

  1. Учебник «Алгебра и начала анализа 10» профильный уровень, под ред. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, 2009.
  2. Учебно-методическая газета «Математика в школе», №15, 2008.
  3. Величко М.В. Математика 9–11. Проектная деятельность учащихся, – Волгоград, Учитель, 2-е издание, 2008.
  4. Алтухова Е.В. и др. Математика. 5-11 классы: уроки учительского мастерства, – Волгоград: Учитель, 2009.
  5. Аствацатуров Г.О. Дизайн мультимедийного урока: методика, технология, приемы, – Волгоград, Учитель, 2009.

Советы по логическому переходу от данного мероприятия к последующим: Материалы данного урока можно использовать на последующих уроках, особенно в приложениях производной и заданиях на применения геометрического смысла производной. С теста «Собери четверку» можно начать следующий урок.

Ход урока

I.

Уважаемые ребята, перед Вами 3 карточки. Презентация (слайд 1)

– Оцените, пожалуйста, своё психологическое и эмоциональное состояние в начале урока.

Для этого поднимите карточку с одним из цветом.

  • Красная – испытываете напряжение, тревогу, дискомфорт
  • Жёлтая – неуверенность, что-то смущает.
  • Зелёная – испытываете спокойствие, уверенность, вам комфортно.

Организационная часть (2–3 минуты)

– Мне нравится, что сегодня у Вас хорошее психологическое и эмоциональное состояние.

Итак, начнём урок. Соберёмся с силами. В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 3 раза (слайд 2)

Тема сегодняшнего урока «Производная. Правила дифференцирования»

На предыдущих уроках мы выводили табличные производные, доказывали правила дифференцирования и учились практическому применению. Сегодня мы должны повторить производные, правила дифференцирования, закрепить навык их нахождения, дополнить таблицу производных и увидеть широкое применение производной в других науках (слайды 3, 4)

Включение в работу:

1. Нахождение производной в точке

– Ученики работают в группах. Для каждой группы дается карточка с заданием. Карточка выполнена на зелёном фоне.

Карточки для групп:

Найдите производные в точке и по числам, соответствующим правильным ответам, определите, как влияют окружающие цвета на состояние человека. (слайд 5 )

Красный
a) f( x) = 2 x3- x2+3
f´(2)
б) f( x) = x2( x2-3)
f´(-1)

-5 грусть
2 спокойствие
20 тревога
2 раздражительность0,5 собранность		 Жёлтый
a) f(x) =
f´(1)
б) f( x) = 2
f´(0)

-2 рассеянность
1 активность
0,5 оптимизм
3 пассивность и слабость2 тоска		 Синий
(a) f(x) =
f´()
б ) f(x) =
f´(4)

0,5 агрессивность
2 открытость
5 раздражительность
-3 нежность
1 легкость, снижение тревоги

II. Сообщение о значении каждого цвета

(слайды 6-9)

Красный цвет:

Энергия красного цвета улучшает аппетит, волю, ускоряет темп мышления, повышает работоспособность, выносливость. Цвет усиливает агрессивность, жесткость, злость. Красный цвет может вызвать чувство эмоционального напряжения, волнения, тревоги.

Пробуждает волю к жизни, страсть, отвагу, оптимизм. Повышает физическую силу, скорость кровотока, частоту пульса, артериальное давление, выносливость, работоспособность, иммунитет. Устраняет застойные процессы, боли.

Жёлтый цвет:

Стимулирует работу всего желудочно-кишечного тракта, оказывает очищающее действие на весь организм. Повышает настроение, умственные способности. Создает гармоничное отношение к жизни, препятствует усилению тревоги. Жёлтый цвет повышает физическую работоспособность, снимает чувство усталости и сонливость.

Синий цвет:

Обладает антибактериальными свойствами, эффективен при болезнях горла, спазмах, головных болях, сердцебиении, расстройстве кишечника, ревматизме.

При использовании синего цвета появляется спокойствие, мышечное расслабление, снижает темп мышления, уменьшается тревожность. Сочетание синего и желтого цветов не вызывает торможения волевых процессов и мышления.

Зелёный цвет: Влияет на сердечно-сосудистую и вегетативную нервную системы, сердцебиение, аритмию, снижает артериальное давление. Устраняет возбуждение, беспокойство, снимает эмоциональное напряжение. При отсутствии зелёного цвета повышается возбудимость, нервозность, раздражительность, усиливается злость, гнев, подозрительность.

Восточные мудрецы определяли его как символ юности и гармонии Природы.

2. Проверка домашнего задания

№17 (в,г) Найти f´(2) = 12

№ 21

Найти:

a) 10 f´(= 10
Б) 11 f´(0)=11
В) 28 f´( =14

Найдите эти числа.

Поставьте их в порядке возрастания: 10, 11, 12, 14

Меньшее из них 10 – является временем наибольшей работоспособности, а большее из них – 14- временем наибольшего утомления.

Сообщение к ответу задачи: Работоспособность человека во время бодрствования изменяется волнообразно. Поэтому у человека в день два пика наибольшей трудоспособности 10-12 часов и 16-18 часов и один момент наибольшего утомления. Работоспособность начинает снижаться в 13 часов и к 14 часам её уже невозможно компенсировать волевым усилием. В течение недели так же отмечаются три этапа: понедельник – врабатывание; вторник, среда, четверг – устойчивая работоспособность; пятница, суббота – утомление (демонстрируется кривая работоспособности) (слайд 10)

III. Знаете ли вы, что такое «царственная осанка»?

Попробуем принять царственную позу: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное: ведь вы знаете такое количество табличных производных, которое не по силам и царственным особам. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 2 – 3 раза

IV. Повторение (7–10 минут).

Откроем тетради, запишем число и тему сегодняшнего урока.

Один ученик пойдёт к доске и заполнит таблицу производных.

На доске написаны выражения:

1) Найти производную:

(с)´, (х)´, (√х)´, ((´, ´, (kx+ b)´, (u+v)´, (uv)´, (Cu)´, ´

2) «Найди ошибку» (слайд 11)

За правильный ответ с объяснением +5 баллов.

Если вы знаете формулы, но вдруг растерялись и всё сразу забыли, попробуйте собраться, убедите себя, «что вы всё знаете, у вас всё получится». Хорошо помогает обыкновенный массаж всех пальцев.

Во время обдумывания массажируйте все пальчики от основания к ногтю.

V. Диктант

(Листочки для диктанта подготовлены заранее). Возьмите листочки на столах, напишите на них фамилию («Сильные» ученики получают карточки)

Диктант (Перед началом диктанта напомнить про «царственную осанку»)

(слайды 12-13)

  1. Производная и дифференциальное исчисление неразрывны. Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. О каких ученых здесь можно упомянуть?
    1) Декарт 2) Архимед 3) Ньютон 4) Коши 5) Лейбниц, 6) Евклид 7) Гаусс
    (Ответ: 6) Евклид – VI книга «Начал»: из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольший размер имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника.2) Архимед – разработал способ проведения касательной, применимой к спирали)

  2. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII веке, в связи с необходимостью решать задачи из физики, механики, математики. Кто является создателем дифференциального исчисления из этих ученых? (те же портреты)
    Ответ: 3) и 5)

  3. Любое понятие в математике имеет четкое определение
    – Какая из записей точно соответствует по определению производной?
    1) 2)  3)  
    Ответ: 3

  4. Создали это исчисление во 2 половине XVII века практически одновременно и независимо друг от друга два ученых – И. Ньютон (1643-1727) и Г.В. Лейбниц (1646-1716). Исчисление появилось в двух различных, но по существу эквивалентных формах: Ньютон построил теорию флюксий, Лейбниц – исчисление дифференциалов. Кто из этих ученых впервые определил производную как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ?
    (Ответ: 4 – Коши)

  5. Производная имеет механический (физический ) смысл)
    – В каком из перечисленных случаев можно говорить о физическом смысле?
    1) 
    2)  
    3)  
    (Ответ:1)

  6. Производная также имеет геометрический смысл.
    Какой рисунок достаточно полно иллюстрирует геометрический смысл производной?

  7. В каком из случаев полная информация об угловом коэффициенте касательной?
    1) kкас= tɡα
    2) kкас= tɡα = f´(a), где а – абсцисса точки касания
    3) kкас=f´(a)
    (Ответ 2)

Ответы: ы-1, й-2, н-4, е-3, у-6, ч- 3,5 (слайд 14)

  • 6 – у
  • 3,5 – ч
  • 3 – е
  • 4 – н
  • 1 – ы
  • 2 – й

Кто такой учёный?

Определение

Тот, кто ночами, забыв про кровать,
Усердно роется в книжной груде,
Чтобы ещё кое-что узнать
Из того, что знают другие люди
(П. Хейн)

Звучит музыка, под музыку звучат строчки из стихотворения:

«Мир – рвался в опытах Кюри
Атомной, лопнувшею бомбой
На электронные струи
Невоплощённой гекатобомбой ...»

Знакомы ли вам эти строчки? Эти строки в 1921 году написал Андрей Белый. Это всего за пятнадцать лет до того, как учёные начали работать над созданием бомбы! Поэт предсказал вступление в атомный век!

Андрей Белый – это литературный псевдоним, а настоящее его имя Борис Николаевич Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета. Но почему же мы знаем о литературных достижениях Андрея Белого и почти ничего о математике Борисе Бугаеве? А все потому, что мир узнаёт о каком – то человеке, когда он получает всемирное признание, и ему вручают премию за какое – то достижение. Особенно самую престижную – Нобелевскую (она вручается за заслуги в самых различных областях) Так мир узнал о великом русском поэте Николае Гумилёве. Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека, которому бы её вручили за математику! Почему? Потому что, у её основателя Нобеля была невеста и друг математик, который увел её у него и Нобель завещал: за математику премию не вручать! И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными, т.е. совершить открытие, вывести еще не известные формулы самим и как знать, может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями и наконец-то обратит внимание на математиков! Итак, начинаем

VI. Исследовательскую часть.

1 группа: Исследовать графики и объяснить существует ли производная в точке? ответ обосновать.

2 группа: ( Заранее до урока вызвать вычислить)

  • (х)´= 1= х0
  • (х2)´=2х
  • (х3)´ = 3х2
  • (х4) = 4х3
  • …….

Доказать формулу производной степенной функции используя метод математической индукции (с. 337)

3 группа:

Вывести формулы нахождения производных функции tqx, ctqx (с.339)

Посмотрим как обстоит дело у вас формулами.

Оцени сам свой ответ. Хорошо ли ты знаешь формулы?

Первые оценки получены, я рада, что вы хорошо знаете формулы (или огорчена, что до сих пор их не выучили)

VII. Решение упражнений (10–12 минут).

Прежде чем переходить к следующему этапу урока, немного отдохнём. (слайд 15)

Сидя на стуле – расслабьтесь, примите позу пиджака, висящего на вешалке,

«Постреляйте» глазами в соседей.

Попробуем надуть воображаемый воздушный шарик.

Прочитать выражение на доске. (На доске в беспорядке написаны пронумерованные слова: 1 – береги, 2 – здоровье, 3 – смолоду. Составить и прочитать выражение несколько раз)

VIII. Выступление исследователей с опережающими заданиями (Применение производной в химии и биологии, географии, физике, экономике)

В результате на доске и в тетрадях заполняется таблица (слайд 16)

Понятие на естественном языке Обозначения Понятие на математическом языке
Относительный прирост в данной момент времени Р = х ´ ( t)
Средняя скорость химической реакции V (t) = p ´ (t)
Удельная теплоемкость тела C(t) = Q ´ (t)
Сила тока I = g ´ (t)
ЭДС E = – Ф ´ ( t)

IX.

  1. Работа с сильными (слайды 17-20)
  2. Группам раздаются конверты, в которых лежат по 5 задач.

Консультант раздает каждому ученику из своей группы по одной задаче. Через пять минут он организует обсуждение решенных задач в группе так, чтобы каждый смог объяснить их решение перед классом.

Задачи

№1. Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону х(t) = 3t2 – 7t + 6. Найдите скорость точки в момент времени t = 6.

№2. При движении тела по прямой его скорость v (м/с) меняется по закону v ( t ) = - t3 + t + l , где t – время движения в секундах. Найдите ускорение (м/с 2) через 2 секунды после начала движения.

№3. Найдите силу F , действующую на материальную точку с массой m , движущуюся прямолинейно по закону x( t ) = 2t3 – t2 при t = 2.

№4. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см , отстоящей от точки А на расстоянии n , масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m ( l ) = 3l2 + 5l . Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня.

№5. В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающего через проводник, задается формулой: а) q = t + 4/t.

Какие способы доказательства вы можете предложить?

Те, кто сделает это вперёд всех и правильно, я проверю и оценю, после чего могут начать выполнять №46

Итак: мы повторили навык доказательства формул, очень рада, что у … все хорошо получается, а вот … нужно дома хорошо поработать.

X. Самостоятельная работа.

(тест) (7–10 минут)

(На столах лежат листочки, в которые нужно вносить ответы теста)

Прежде, чем приступать к ответам на вопросы теста, покрутите головой, найдите на стенах класса понравившийся тренажёр для глаз, пройдите глазками по стрелкам 3 – 5 раз. Не забывайте делать похожие упражнения дома во время выполнения домашней работы, работой за компьютером или просмотром телевизора. Не забывайте постоянно следить за своей «царственной» позой и дома, и на улице. А сейчас сделаем массаж межбровной точки или пальчиков и приступим к ответам на вопросы теста.

(«Сильные» получают карточки).

(Работа идет под музыку)

XI. Заключительная часть.

Итак: наш урок подходит к концу. Мы с вами повторили формулы производных, правила дифференцирования, вывели новые формулы.

Учитель:

  1. Что называется производной в точке?
  2. Сформулируйте физический смысл производной? Геометрический смысл?
  3. Когда существует производная?
  4. Какой момент был самым интересным на уроке?
  5. Какой был самым трудным?

XII. Разгадывание кроссворда.

(слайд 21)

XIII. Домашнее задание.

Выучить таблицу производных. Вычислить производные (см. карточки)

Что же, вы доказали, что смогли сами определить и исследовать понятие производной. Я хочу вам вручить Нобелевскую премию – вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты.

Затем лидеры в группах объявляют оценки и дают краткую характеристику работы каждого члена группы.

Приготовимcя к перемене

C цепите руки замком, положите их на затылок. Положите голову на парту, резко сядьте прямо, примите «царственную» позу. Повторите это ещё раз.

Урок окончен. Всем спасибо. До свидания.

XIII. Итог урока.

(слайды 22-23)

Самомассаж (слайд 24)

Самомассаж от простуды предложен доктором М.И. Уманской. Он эффективен, его можете выполнять сами. Для самомассажа рекомендовано 9 активных зон. Особенно рекомендовано проведение массажа людям, подверженным острым респираторным заболеваниям, особенно в период эпидемий.

Массаж делается таким образом: 9–10 круговых движений в одну сторону в обозначенной точке, затем 9–10 – в другую. Сила давления – 5–6 кг. Чем больше давление, тем более активна ожидаемая реакция. Минимальное давление носит обычно профилактический характер, максимальное – лечебный.

Здоровье – это наша способность удовлетворять в разумных пределах наши потребности. (слайд 25)

Литература:

  1. Статья «Фестиваль «Открытый урок» Т.Ю. Черкасовой «Использование здоровьесберегающих технологий на уроках математики»
  2. Статья Т.П.Парной «Методический материал уроков по теме: «Производная: от формального знания к пониманию»