Урок "По следам Эйлера"

Разделы: Математика

"Геометрия приближает разум к истине".
Платон

Цели:

Образовательные:

  • Научить получать теоретические законы (теорему Эйлера) в ходе исследовательской деятельности;
  • Формировать навыки применения теоремы Эйлера к решению разного рода задач;

Развивающие:

  • Сформировать представления о значении теоремы Эйлера;
  • Сформировать представление о роли Эйлера в развитии математики;
  • Развивать основные операции логического мышления: умения сравнивать, обобщать, анализировать, делать выводы;
  • Развивать память, речь, внимание, умение самостоятельно искать пути решения проблемных ситуаций;
  • Развивать познавательный интерес к предмету;

Воспитательные:

  • Формировать научную организацию труда и времени;
  • Формировать научное мировоззрение;
  • Формировать умение анализировать свои достижения.

Оборудование: модели многогранников для демонстрации, комплект многогранников для индивидуальной работы.

План

  1. Организационный момент. Сообщение цели и плана урока……………..2 мин.
  2. Жизнедеятельность Л. Эйлера — сообщение обучающегося…………......4 мин.
  3. Устная работа — актуализация опорных знаний………………………… 7 мин.
  4. Проблемная ситуация — решение головоломки……………………….. .10 мин.
  5. Исследовательская работа — вывод формулы теоремы Эйлера……… .10 мин.
  6. Решение задач с использованием теоремы……………………………… ..8 мин.
  7. Итог урока. Д/з. Рефлексия….…………………………………………… ...4 мин.

Ход урока

1. Организационный момент.

Преподаватель: Эпиграфом сегодняшнего занятия я выбрала слова Платона: "Геометрия приближает разум к истине". Надеюсь, что в ходе сегодняшнего урока мы совершим открытие важной теоремы геометрии самостоятельно и подтвердим высказывание известного философа.

2. Сообщение обучающегося

Преподаватель: Так как нам предстоит пройти по следам Л.Эйлера неплохо узнать, что это за ученый, основные открытия, жизненный путь.

Сообщение обучающегося о жизнедеятельности ученого.

Вопрос к обучающимся: В каком возрасте Л.Эйлер начал самостоятельную профессиональную деятельность? Где провел большую часть своей жизни?

3. Актуализация опорных знаний

Для успешной дальнейшей работы нам необходимо повторить изученный ранее материал:

Вопрос 1: Назовите геометрические тела, представленные для демонстрации?

Ответ обучающихся: Треугольная призма, параллелепипед, четырехугольная пирамида, октаэдр и т.д.

Вопрос 2: Являются ли эти многогранники выпуклыми или невыпуклыми? Почему?

Ответ обучающихся: Выпуклые. Если положить каждый на любую грань, он окажется все время по одну сторону грани.

Вопрос 3: Показать элементы многогранника (ребра, грани, вершины) на модели?

Вопрос 4: На чертеже № 1 определить многогранник, назвать его элементы?

Ответ обучающихся: Треугольная призма. АВС — верхнее основание, АВВ1А1— боковая грань, ВВ1— ребро, С — вершина и т.д.

Вопрос 5: Какое тело может быть изображено на чертеже № 2?

Ответ обучающихся: Треугольная пирамида, вид сверху.

Вопрос 6: Наглядно ли это изображение (достаточно ли понятно изображает пирамиду)?

Ответ обучающихся: Не видна высота, возможны трудности при решении задач — чертеж должен быть максимально наглядным.

Вопрос 7: Что еще может быть изображено таким же образом не только в математике?

Ответ обучающихся: строение молекулы в химии, схема соединения городов дорогами и т.д.

Вопрос 8: Можно ли чертежи назвать иначе?

Ответ обучающихся: схемы.

Преподаватель: В математике и других науках соединение вершин ребрами называют графом.

4. Проблемная ситуация

Преподаватель: Перед началом исследования хочу предложить вам занимательную задачу.

Задача: Имеются три дома и три колодца. Можно ли провести дорожки от каждого дома к каждому колодцу, чтобы они не пересекались?

Вопрос: Что необходимо сделать, чтобы решить задачу?

Ответ обучающихся: Построить чертеж, или граф.

К доске приглашаются желающие: 3-4 человека. После выполнения обучающиеся делают вывод о невозможности осуществить данную задачу.

5. Исследовательская работа

Преподаватель: Математика имеет инструменты для теоретического доказательства тех или иных фактов, установленных практическим путем. А если не имеет, то пытается их найти, чтобы подтвердить теорией практику. Сегодня будем искать теоретическое обоснование этого факта в геометрии. Попробуем ответить на вопрос: как наша головоломка связана с изучаемой темой "Многогранники". Проведем исследование и попробуем найти связь между элементами многогранников. Выполнение работы оформляете на бланках. Работаете в парах или индивидуальною (Бланк — Приложение)

Задание 1: Определите название многогранников, находящихся у Вас на парте, занесите в таблицу.

Задание 2: Подсчитайте количество соответствующих элементов у многогранников и занесите полученные данные в таблицу.

Задание 3: В последней колонке таблице попытайтесь найти формулу, связывающую элементы каждого многогранника.

Задание 4. Попытайтесь сформулировать теорему о связи элементов многогранника. Запишите ее в качестве вывода.

В ходе работы несколько обучающихся заполняют таблицу на доске. Два-три человека формулируют формулу и теорему.

Теорема Эйлера: Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2

Преподаватель: Обращаю внимание на то, что речь идет о выпуклых многогранниках.

Терема Эйлера является первой теоремой топологии, раздела геометрии, который изучает свойства тел, неизменяющиеся при деформации без разрывов.

6. Решение задач с использованием теоремы

Преподаватель: Как же можно применить теорему Эйлера к теоретическому решению нашей головоломки о домах и колодцах?

Чертеж многогранника — это схема граф, схема головоломки — граф. Значит, схему задачи можно принять за чертеж какого-то многогранника. А к нему применить теорему Эйлера.

Допустим, что провести непересекающиеся дорожки возможно. Количество вершин — 6(три колодца, три дома). Количество ребер (дорожек) — 9. Тогда граней должно быть: 2-6+9=5. Грани в данном случае это области, на которые делиться вся плоскость ребрами. Значит всего областей (кусочков) между дорожками должно получиться 5.

Но каждая грань (область) имеет минимум 4 ребра (дорожки). Тогда ребер — 5*4, но так как каждое ребро принадлежит сразу двум областям, то Р=5*4/2=10. Ребер (дорожек) должно быть 10. А у нас точно 9 дорожек (ребер). Противоречие. Следовательно, ответ в задаче: невозможно.

Задача 1: Гранями выпуклого многогранника являются треугольники. Сколько вершин и граней, если ребер 12?

Решают обучающиеся. Совместное обсуждение. Один оформляет у доски.

Решение: В каждой грани три ребра. Значит всего ребер: 3*Г. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то Р=3*Г/2. 3*Г/2=12. Отсюда Г= 2*Р/3=2*12/3=8. Из теоремы Эйлера: В=2-8+12=6.

Вопрос: Какой многогранник может быть?

Ответ обучающихся: октаэдр.

Задача 2: Грани многогранника — четырех угольники. Количество ребер — 12. Найти количество граней и вершин.

Решение: В каждой грани по 4 ребра, значит количество ребер 4*Г, но так как каждое ребро принадлежит двум граням, то Р=4*Г/2. Отсюда Г=2*Р/4=24/4=6. Тогда вершин: В=2-6+12=8.

Вопрос: Какой это многогранник может быть?

Ответ обучающихся: четырехугольная призма.

Дополнительные задачи:

  1. Гранями выпуклого многогранника являются треугольники. Сколько вершин и граней, если ребер 15?
  2. Из каждой вершины многогранника исходят три ребра. Всего ребер 12. Найти количество граней и вершин.

7. Итог урока

Д/З. Можно ли провести 5 дорог между 10 городами, чтобы они не пересекались?

Вопросы:

  1. Какие новые понятия сегодня узнали?
  2. Что повторили?
  3. Какая связь между графами и многогранниками?
  4. Что связывает теорема Эйлера?
  5. Как можно применить теорему Эйлера?
  6. Что дал наш урок каждому? В ходе сегодняшней работы приблизился ли Ваш разум к истине? Прав ли Платон?

Преподаватель (обобщает высказывания обучающихся): Мне урок показал, что вы умеете самостоятельно мыслить, настойчивы в поиске решения, умеете искать закономерности. Можете быть исследователями. Всем нам урок показал, что трудная наука геометрия поддается тому, кто хочет мыслить и действовать.

На бланке исследовательской работы отметьте уровень своего понимания материала на "Лестнице познания". Кто не стесняется — на доске.

Приложение 1.

Литература.

  1. Смирнова И.М. Геометрия 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль). Мнемозина.2007.
  2. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 10-11 классы. Методические рекомендации для учителя. Мнемозина .2003.