Одной из проблем современного российского образования является низкое качество знаний выпускников средней общеобразовательной школы по геометрии. Это объясняется тем, что на протяжении последних десяти лет геометрия была практически не востребована на этапе государственной итоговой аттестации выпускников средней общеобразовательной школы. Поэтому и учитель, и учащиеся привыкли считать геометрический материал второстепенным и необязательным для изучения.
Сегодня ситуация в корне изменилась: с 2009г. ЕГЭ по математике стал включать в себя задачи по геометрии, и число этих задач год от года только растет. Однако роста качества знаний выпускников средней общеобразовательной школы по геометрии, к сожалению, так и не происходит (таблица 1).
Таблица 1. Статистические данные fipi
| Задание ЕГЭ по математике | Результаты 2011 г. | Результаты 2012 г |
| В3 (решение задачи на вычисление площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге) | 76% | 90% |
| В6 (решение задачи на вычисление углов в треугольнике) | 89% | 70% |
| В9 (решение простейшей стереометрической задачи на вычисление диагонали прямоугольного параллелепипеда) | – | 69% |
| В11 (решение стереометрической задачи на вычисление элементов цилиндра) | 62% | 27% |
| С2 (решение стереометрической задачи на вычисление угла между плоскостями) | 7% | 3% |
| С4 (решение планиметрической задачи повышенного уровня сложности на комбинацию окружности и треугольника) | 0,9% | 0,02% |
Для решения данной проблемы необходима вооружить новая педагогическая технология, которая, не отрицая значения системных знаний и действенных умений, будет способствовать воспитанию у старшеклассников персональной ответственности за результаты учебного труда, развитию умений самостоятельно приобретать, перерабатывать и использовать учебную информацию, формированию адекватной самооценки и положительной учебной мотивации (целевая составляющая педагогической технологии обучающего тематического контроля).
Перечислим основные особенности данной педагогической технологии: (1) Стабильная и заранее известная учащимся система оценивания; (2) Высокая вариативность учебных материалов; (3) Всесторонний охват вопросов программного содержания; (4) Педагогическая поддержка учащихся на, после и до уроков контроля; (5) Преемственность методических средств обучения в основной и старшей школе.
Охарактеризуем каждую из особенностей технологии обучающего тематического контроля в отдельности. Стабильная и заранее известная учащимся система оценивания заключается в следующем: (1) уровень усвоения программного материала считается базовым и соответствует отметке в 3 балла, если учащийся демонстрирует знание, понимание и умение работать по образцу; (2) уровень усвоения считается успешным и соответствует отметке в 4 балла, если к базовым умениям добавляются умения применять полученные знания в измененной ситуации, локально обобщать и систематизировать знания; (3) уровень усвоения считается повышенным (высоким) и соответствует отметке в 5 баллов, если учащийся выполняет задания, превышающие успешный уровень.
Высокая вариативность учебных материалов обеспечивается наличием задач двух различных типов, дополненных тридцатью индивидуальными наборами числовых данных для величин, заданных в задачах в виде букв латинского алфавита. Для проверки знания теории в 10 классе разработаны индивидуальные карточки восьми аналогичных вариантов.
Всесторонний охват вопросов программного содержания в 10 классе обеспечивается системой зачетов по следующим темам предметного содержания: (1) взаимное расположение точек, прямых и плоскостей; (2) параллельность прямых и плоскостей в пространстве; (3) углы и расстояниям в пространстве; (4) векторы и их координаты в пространстве. Каждый зачет состоит из теоретической и практической частей и проводится на двух следующих друг за другом уроках (8 контрольных уроков за год).
Всесторонний охват вопросов программного содержания в 11 классе обеспечивают восемь контрольных работ базового уровня сложности по (1) площади поверхности прямой призмы; (2) площади поверхности пирамиды; (3) площади поверхности многогранника; (4) площади поверхности цилиндра; (5) площади поверхности конуса; (6) площади поверхности шара; (7) объему многогранника; (8) объему тела вращения и четыре контрольных работы профильного уровня сложности по (1) площади поверхности составного тела вращения; (2) площади поверхности геометрического тела; (3) объему составного тела вращения; (4) объему геометрического тела. Каждая работа проводится на одном-двух уроках (всего 12 или 24 контрольных урока за год).
Педагогическая поддержка учащихся на уроках решения контрольных задач заключается в свободе перемещения по классу, использовании тетрадей для классных и домашних работ, учебников, справочников, калькуляторов, таблиц и плакатов, а также образцов решения аналогичных задач в тетрадях более успешных одноклассников. На уроке контроля учащимся предлагается не только решить задачи, но и сверить полученные ответы с ответами учителя по таблицам промежуточных и конечных ответов, что позволяет найти место возникновения ошибки и самостоятельно ее исправить. За одно подобное исправление отметка учащегося снижается на полбалла, за два исправления – на балл и т.д.
Педагогическая поддержка учащихся после уроков контроля состоит в реализации их права на повышение контрольных отметок во внеурочное время. Это возможно в двух случаях: (1) в работе учащегося нет ни одной ошибки и недочетов в оформлении, но количество решенных задач недостаточное; (2) отметка за работу выставлена, но учащегося не устраивает. В первом случае имеется возможность доделать задачи того же типа и варианта, во втором – выполнить задачи противоположного типа и соответственно другого варианта. Заметим, что отметки за теоретический зачет не исправляются, что приучает старшеклассников готовиться к урокам проверки теоретических знаний (имеется единственная возможность повысить “2-ку” до “3-ки).
Педагогическая поддержка учащихся до уроков контроля обеспечивается знакомством с технологией и учебными материалами к ней задолго до уроков контроля, что способствует снижению уровня тревожности, дает возможность самостоятельно готовиться к урокам контроля. Кроме того, подготовка к обучающему контролю происходит на всех уроках изучения соответствующего программного материала (схемы взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, теоретические таблицы по всем ключевым разделам программы, решение опорных задач по теме и т.д.).
Преемственность методических средств обучения в основной и старшей школе заключается в том, что методика решения стереометрических задач целиком и полностью опирается на следующие вопросы программного содержания курса математики основной школы: (1) правила преобразования дробных выражений; (2) правила преобразования формул (уравнений) к виду пропорции; (3) правила преобразования выражений, содержащих арифметический квадратный корень; (4) правила решения прямоугольного треугольника; (5) правила решения правильного n-угольника через характерный для него прямоугольный треугольник.
Правила преобразования дробных выражений лежат в основе вычислительных умений и навыков старшеклассников и задаются учащимся в виде следующих ассоциаций:
а) правило-ассоциация “лыжник”: 
;
б) правило-ассоциация “акробат”: 
;
в) правило-ассоциация “и вашим, и нашим”: 
.
Правила преобразования формул (уравнений) к виду пропорции лежат в основе умения решать простейшие дробные рациональные уравнения и тоже задаются учащимся ассоциативно в виде последовательности следующих шагов: (1) Представить формулу (уравнение) в виде пропорции; (2) Мысленно “встать” на место неизвестного члена пропорции и оценить “расстояние” от него до всех известных членов пропорции; (3)
Выразить неизвестный член пропорции через известные, сформировав дробное выражение, в знаменателе которого – “самый дальний” член пропорции, в числителе – те два, что находятся “поближе”.
Например: 
, 
.
Если в прямоугольном треугольнике задан один
из его острых углов, правило решения этого
треугольника заключается в последовательном
выполнении следующих алгоритмических шагов: (1)
выразить синус, косинус или тангенс известного
острого угла через стороны треугольника; (2) в
правой части уравнения записать табличное
значение синуса, косинуса или тангенса этого
угла; (3) преобразовать каждое из уравнений к виду
пропорции и решить их относительно неизвестных
сторон треугольника; (4) Найти второй острый угол
треугольника вычитанием первого из 
.
Например < Рисунок 1 >:
Рисунок 1.
Дано: 
Найти: 
Решение:
Если в прямоугольном треугольнике ни один из его острых углов не задан, правило решения этого треугольника заключается в последовательном выполнении следующих алгоритмических шагов: (1) По теореме Пифагора найти в треугольнике неизвестную сторону треугольника; (2) Выразить синус, косинус или тангенс одного из острых углов через стороны данного треугольника; (3) От синуса, косинуса или тангенса в левой части уравнения перейти соответственно к арксинусу, арккосинусу или арктангенсу действительного числа, вычисленного в правой его части; (4) Найти угол как значение соответствующей обратной тригонометрической функции; (5) Найти второй угол треугольника.
Например < Рисунок 2 >:
Дано: 
Найти: 
Решение:
Правило решения правильного n-угольника
заключается в последовательном выполнении
следующих алгоритмических шагов: (1) построить
прямоугольный треугольник, характерный для
данного правильного n-угольника (одна из его
вершин совпадает с центром правильного n-угольника,
другая – с вершиной n-угольника, а третья – с
серединой стороны n-угольника); (2) обозначить
стороны характерного прямоугольного
треугольника через элементы заданного n-угольника
(катеты треугольника равны соответственно
радиусу окружности, вписанной в n-угольник, и
половине стороны этого n-угольника, а
гипотенуза – радиусу окружности, описанной
около n-угольника); (3) найти острый угол при
одной из вершин характерного прямоугольного
треугольника как половину величины внутреннего
угла n-угольника; (4) решить характерный
прямоугольный треугольник и тем самым найти
элементы правильного n-угольника; (5)
вычислить периметр и площадь правильного n-угольника
по следующим формулам: 
и 
, где 
- сторона n-угольника, 
- площадь
характерного прямоугольного треугольника.
В качестве примера рассмотрим решение правильного 6-угольника < Рисунок 3 >:
Пусть 
- правильный шестиугольник с центром 
, стороной ,
внутренним углом 
, радиусом вписанной окружности
, радиусом
описанной окружности 
. Проведем 
, тогда в прямоугольном
треугольнике 
1) 
,
откуда 
или 
;
2) 
,
откуда 
или 
;
3) 
,
откуда 
или 
.
Далее по формулам 
и 
находим периметр и площадь
правильного шестиугольника.
Преобразования выражений, содержащих арифметический квадратный корень сопровождают решение практически любой геометрической задачи и сводятся к следующим основным правилам: (1) перенос арифметического квадратного корня из знаменателя дробного выражения в его числитель; (2) вынесение множителя из-под корня; (3) преобразование произведения (частного) корней в корень из произведения (частного); (4) сокращение дробных выражений, содержащих арифметический квадратный корень.
После актуализации вышеперечисленных знаний и умений из курса математики основной школы старшеклассникам предлагается следующий обобщенный алгоритм решения стереометрической задачи: (1) решить правильный n-угольник через характерный для него прямоугольный треугольник (если таковой присутствует как грань или сечение многогранника); (2) построить высоту геометрического тела и решить соответствующие прямоугольные треугольники; (3) построить углы (расстояния), заданные в задаче, и решить соответствующие прямоугольные треугольники; (4) построить сечения, заданные в задаче, и решить соответствующие прямоугольные треугольники; (5) ответить на вопросы, поставленные в задаче, используя при необходимости формулы площади, объема и пр.
В качестве первого примера применения данного алгоритма рассмотрим решение стереометрической задачи базового уровня сложности < Рисунок 4 >:
Рисунок 4
1) Пусть прямоугольник 
- осевое сечение цилиндра с осью 
, причем
диагональ 
этого сечения составляет угол 
с
плоскостью основания цилиндра, тогда, обозначив
радиус основания цилиндра через, а его образующую -
через 
,
из прямоугольного 
, получим:
- образующая
цилиндра,
, 
- радиус
цилиндра;
2) 
-
площадь кругового сечения, 
- площадь осевого
сечения;
3) 
,
В качестве второго примера применения данного алгоритма рассмотрим решение стереометрической задачи профильного уровня сложности: < Рисунок 5 >
Рисунок 5
1) Пусть дано осевое сечение 
тела вращения с осью 
,
полученного вращением прямоугольного
треугольника
, тогда: 
- объем тела вращения, где 
– объем конуса с
радиусом основания 
и образующей , 
– объем конуса с радиусом основания и
образующей 
;
2) Обозначив радиусы оснований каждого из
конусов через 
, а
образующую второго конуса – через 
, из прямоугольного 
получим:
–
образующая второго конуса,
–
гипотенуза 
;
3) Из прямоугольного 
, получим:
;
4) 
, 
,
Раздаточный материал для зачета по геометрии в 10 классе состоит из индивидуальных карточек восьми аналогичных вариантов для проверки теоретических знаний учащихся (таблица 2), одинаковых для всех пар учащихся листов с текстами задач (таблица 3) и пятнадцати видов парных карточек с индивидуальными числовыми данными для этих задач (таблица 4).
Таблица 2. Образец индивидуальной карточки для теоретической части зачета № 1
| 1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (схема). |
2. Сформулировать и изобразить: если  , то: 1)  ; 2) . |
| 3. Дать понятие угла между пересекающимися прямыми. |
| 4. Сформулировать теорему по рисунку и
указать, признак это или свойство.
10.1.7 |
Таблица 3. Текст задач для практической части зачета № 1
| № п/п | Вариант (1) | Вариант (2) |
| 1 | Один конец отрезка AB лежит в
плоскости  , а
другой – нет. Через середину С отрезка
проведены параллельные прямые |
|
 , пересекающие
плоскость в точках  ,  . |
 , пересекающие
плоскость в точках  ,  . |
|
Найдите длину отрезка  . |
||
| 2 | Отрезок CD находится вне
плоскости и не параллелен ей. Через середину М
отрезка и его концы проведены параллельные
прямые  ,
пересекающие плоскость соответственно в точках  . Найдите
длину отрезка |
|
, если  . |
 , если  . |
|
| 3 | Дан пространственный
четырехугольник ABCD, K, L, M, N – соответственно
середины его сторон AB, BC, CD и AD, Е –
середина отрезка BD. а) Постройте точку Q – след прямой PN на плоскости ABC, где |
|
 .б) Найдите расстояние между точками А и С, |
 .б) Найдите расстояние между точками B и D, |
|
| если периметр четырехугольника
KLMN равен p, а его диагонали взаимно
перпендикулярны. в) Приведите по одному примеру на все случаи взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. |
||
Таблица 4. Образец “парной” карточки с числовыми данными для практической части зачета № 1
| № варианта № задачи |
1.1.1 | 1.1.2 |
| 1 |  |
 |
| 2 | 
|
|
| 3 |  |
 |
Раздаточный материал для контрольной работы по геометрии в 11 классе состоит из одинаковых для всех пар учащихся листов с текстами задач (таблица 5) и пятнадцати видов парных карточек с индивидуальными числовыми данными для этих задач (таблица 6).
Таблица 5. Текст задач для контрольной работы № 4 по площади поверхности цилиндра
| № п/п | Вариант (1) | Вариант (2) |
| 1 | Дан прямой круговой цилиндр.
Найдите площади его кругового, осевого сечений,
боковой и полной поверхности, если диагональ
осевого сечения цилиндра равна  см
и составляет угол в  градусов с |
|
| плоскостью основания цилиндра | образующей цилиндра | |
| 2 | Найдите площадь боковой и полной поверхности прямого кругового цилиндра и диагональ его осевого сечения, если площадь его | |
| кругового | осевого | |
сечения равна  кв. см, а |
||
образующая цилиндра равна  см |
радиус основания цилиндра равен  см |
|
| 3 | Найдите площадь хордового
сечения прямого кругового цилиндра с высотой  см, если
хорда опирается на угол в градусов, а |
|
диаметр основания цилиндра равен  см |
расстояние от центра основания
цилиндра до его хорды равно см |
|
| 4 | Найдите площадь поверхности и
площадь хордового сечения прямого кругового
цилиндра, если хорда опирается на дугу в градусов,
равна по длине образующей цилиндра и |
|
| расстояние от центра основания
цилиндра до плоскости хордового сечения равно см |
диаметр основания цилиндра равен см |
|
| 5 | Найдите площадь боковой и полной
поверхности прямого кругового цилиндра, если
площадь его хордового сечения равна кв. см, хорда делит
окружность основания цилиндра в отношении  , а |
|
| высота цилиндра равна см |
образующая цилиндра равна см |
|
Таблица 6. Образец “парной” карточки с числовыми данными для контрольной работы № 4
| № варианта № задачи |
4.15.1 | 4.15.2 |
| 1 | 
|
|
| 2 | 
|
|
| 3 | 
|
|
| 4 | 
|
|
| 5 | 
|
|
В заключение перечислим основные преимущества педагогической технологии обучающего тематического контроля перед традиционными технологиями: (1) индивидуализация образовательного процесса (за счет персонификации числовых данных для решения задач); (2) технологизация образовательного процесса (наличие целевого, содержательного, диагностического и результативного признаков технологии); (3) гуманизация образовательного процесса (за счет личностно-ориентированного характера взаимодействия педагог-учащийся); (4) преемственность в обучении (за счет решения стереометрических задач на базе системных знаний и действенных умений, полученных в основной школе); (5) здоровьесбережение (за счет педагогической поддержки учащихся на, до и после уроков контроля); (6) развивающий и обучающе-воспитывающий эффект от применения технологии (за счет формирования у учащихся положительной учебной мотивации, адекватной самооценки, стабильного роста качества знаний и уровня учебных притязаний).
Данная педагогическая технология может быть воспроизведена любым учителем математики при условии наличия: соответствующих раздаточных материалов (Приложения 3.1, 3.2 и 3.3), таблиц с промежуточными и конечными ответами к задачам (Приложение 4 и Приложение 5) и методических средств обучения решению стереометрических задач на основе правил преобразования дробных выражений; формул (уравнений) к виду пропорции; выражений, содержащих арифметический квадратный корень; решения прямоугольных треугольников и правильных n-угольников через характерный прямоугольный треугольник.
Список литературы
- Белобрысова, Т.С. Здоровьесберегающая и инновационная роль технологии обучающего контроля и коррекции знаний учащихся / Т.С. Белобрысова // Сборник трудов IV межд. науч.-практ. конференции “Информационные и коммуникационные технологии в образовании, науке и производстве”: в 2 ч. / под ред. Ю.А. Романенко. – Серпухов, Управление образования и науки, 29 июня – 2 июля 2010. Ч 1. – С. 127-129.
- Белобрысова, Т.С. Приемы интенсификации процесса обучения математике в школе / Т.С. Белобрысова // Сборник трудов V межд. науч.-практ. конференции “Информационные и коммуникационные технологии в образовании, науке и производстве”: в 2 ч. / под ред. Ю.А. Романенко, Е.В. Лоцмановой. – Протвино, Управление образования и науки, 4-8 июля 2011. Ч 1. – С.40-42.
- Белобрысова, Т.С. Формирование положительной учебной мотивации учащихся как один из путей повышения качества личностно-ориентированного образования / Т.С. Белобрысова // Сборник трудов IV межд. науч.-практ. конференции “Информационные и коммуникационные технологии в образовании, науке и производстве”: в 2 ч. / под ред. Ю.А. Романенко. – Серпухов, Управление образования и науки, 29 июня – 2 июля 2010. Ч 1. – С. 37-40.
- Кожабаев, К.Г. Теория и методика воспитательно-развивающего обучения математике в школе: монография / К.Г. Кожабаев. – Кокшетау: Кокшетаус. Гос. ун-т им. Ш.Ш. Уалиханова, 2004. – 210 с.