Урок знакомства учащихся с методами решения продуктивного уровня сложности (вывод формул суммы и первых членов арифметической и геометрической прогрессий)

Тип урока: комбинированный урок (систематизация изученного и дополнение изученного новым учебным материалом).

Цели урока:

• Образовательные:
  • создать условия для анализа ошибок, допущенных учащимися в контрольной работе по формуле n-ого члена прогрессий, и систематизации знаний по теме «Прогрессии»;
  • познакомить учащихся с алгоритмами решения нестандартных задач по теме «Прогрессии»;
  • вывести формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий на основе алгоритмов решения нестандартных задач;
  • закрепить полученные знания и мотивировать учащихся на выполнение творческого домашнего задания (участие в неделе математики и информатики).
• Развивающие:
  • продолжить развитие у учащихся таких познавательных процессов, как восприятие, осмысление, мышление, произвольное внимание, память;
  • совершенствовать умение логично и аргументировано излагать свою точку зрения;
    способствовать развитию положительной учебной мотивации.
• Воспитательные:
  • продолжить воспитание привычки к систематическому труду, аккуратному ведению тетрадей по математике;
  • совершенствовать умение критично слушать ответы товарищей;
  • активизировать деятельность учащихся на уроке.

Задачи урока:

• повторить все изученные ранее определения и формулы на примере решения тестовых заданий с выбором ответа из прошедшей контрольной работы;
• продемонстрировать учащимся методы решения нестандартных задач по теме «Прогрессии»;
• на основе алгоритмов решения нестандартных задач вывести формулы суммы n-первых членов арифметической и геометрической прогрессий;
• предъявить учащимся примеры применения выведенных формул;
• систематизировать теоретический материал по теме «Прогрессии» в ходе решения самостоятельной работы на установление соответствия между формулой и ее названием;
• оценить самочувствие и степень удовлетворения от урока.

Оснащение урока:

• компьютер;
• мультимедийный проектор;
• презентация в Power Point;
• экран;
• индивидуальные карточки с заданием на поиск соответствия между формулой и ее названием (на одной стороне карточки) и тестом-рефлексией (на другой стороне карточки);
• классная доска (на левом крыле доски в процессе урока формируется список формул для решения арифметической прогрессии, на правом крыле – для решения геометрической прогрессии).  

План урока

1. Закрепление уже изученного материала и актуализация опорных знаний

Слайды № 1-25:

Учащимся устно сообщаются цели и задачи урока, а затем предлагается решить задачи, аналогичные тем, что составили блок заданий на «3» в проведенной накануне контрольной работе (Приложение 1). Учащийся, выбравший правильный ответ, аргументирует свой выбор, выходя к доске. Учитель резюмирует ответ учащегося, оценивает его и обращает внимание на способ решения данной задачи при помощи той или иной формулы (на крыльях доски постепенно формируется список формул по теме «Прогрессии»).

Вопрос 1. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

А. Последовательность натуральных степеней числа 3.
Б. Последовательность натуральных чисел, кратных 7.
В. Последовательность квадратов натуральных чисел.
Г. Последовательность чисел, обратных натуральным.

Вопрос 2. Какая из следующих последовательностей не является геометрической прогрессией?

А. Последовательность степеней числа 3.
Б. Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу 3.
В. Последовательность, состоящая из чередования чисел 3 и –3.
Г. Последовательность, первый член которой равен 3, а все остальные – нули.

Вопрос 3. Какое число не является членом арифметической прогрессии 6, 12, 18, …?

А. 60                 Б. 63                    В. 66                  Г. 72

Вопрос 4. Какое число является членом геометрической прогрессии 6, 12, 24, …?

А. 192               Б. 100                  В. 84                  Г. 60

Вопрос 5: известны несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …–12; x; 14; 27… Найдите число x.

А.  – 1                Б. 0                     В. 1                     Г. 2

Вопрос 6. известны несколько последовательных членов геометрической прогрессии: …2; y; 8; –16;… Найдите число Y.

А.  – 4               Б. – 5                   В. 4                     Г.  5

Вопрос 7. Найди сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если известно, что ее первый член равен  48, а знаменатель равен (– 0,5).

А.  – 93              Б.  –33                В. 33                    Г.  93

Вопрос 8: Найди сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если известно, что ее первый член равен  4, а разность равна (– 2).

А.  – 18               Б. – 20                В. – 24                  Г. – 32

При решении задач на поиск суммы первых нескольких членов прогрессий встает закономерный вопрос: имеются ли формулы, облегчающие данные подсчеты для большого числа слагаемых?

2. Изучение нового материала и его первичное закрепление

Слайд № 26.

Имеются, а вывести эти формулы помогут алгоритмы решения двух нестандартных задач. Первая задача называется задачей Гаусса.
Рассказывают, что, когда, великий немецкий математик Карл Гаусс учился в начальной школе, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда от 1 до 100. Предполагая, что ученики будут складывать числа по порядку и на это им потребуется не менее 10 минут, учитель тем самым рассчитывал немного отдохнуть от непоседливых мальчишек. Какого же было его удивление, когда маленький Карл через 1-2 минуты заявил, что он задание выполнил и дал правильный ответ.
Как же мальчик сумел сложить первые сто натуральных чисел так быстро?

Слайды № 27-28:

Очень просто: Карл выписал сумму первых ста натуральных чисел сначала по их возрастанию, а потом – по убыванию, а затем почленно сложил получившиеся равенства (так, как мы это делали при решении систем уравнений способом сложения!) Упростив левую и правую части полученного равенства, Карл легко получил нужный ответ.
Теперь давайте применим тот же самый алгоритм к выводу формулы n первых членов арифметической прогрессии, поскольку первые сто натуральных чисел – пример такой прогрессии с первым членом, равным 1, последним членом, равным 100 и разностью прогрессии, равной 1.
Далее учитель предъявляет учащимся доказательство формулы №1 для определения суммы n первых членов арифметической прогрессии и дополняет ею список формул на левом крыле доски.

Слайд № 29:

На основе выведенной формулы и формулы n-ого члена арифметической прогрессии можно вывести еще одну формулу, которую используют тогда, когда в прогрессии известны первый элемент и разность.

Слайд № 30:

Например (записываем пример в тетрадях):

Слайд № 31:

Итак, весь список формул для арифметической прогрессии у нас готов. Сопоставим эти формулы с их названиями:

Слайд № 32:

Чтобы вывести формулу для поиска n первых членов геометрической прогрессии, рассмотрим вторую нестандартную задачу – задачу о сметливом крестьянине и глупом купце.

Однажды незнакомец пришел к купцу и предложил ему такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей, а ты мне в первый день за 100 000 рублей отдашь 1 копейку, во второй день – 2 копейки, в третий день – 4 копейки, в четвертый – 8 копеек и так далее. Если тебе выгодна эта сделка, то с завтрашнего дня и начнем». Купец подсчитал, что за 30 дней он получит от незнакомца 3 000 000 руб., отдавая всего лишь какие-то копейки и охотно согласился. На следующий день сделка вступила в законную силу. Кто же оказался в выигрыше и какова его прибыль?

Слайд № 33:

Давайте попробуем сначала выписать искомую сумму, а затем вспомним, что верные равенства можно не только почленно складывать, но и домножать на одно и то же число, а также почленно вычитать. Домножим первое равенство на число 2 для того, чтобы потом вычесть его из второго равенства. После почленного вычитания в левой части нового равенства возникнут подобные слагаемые, а в правой его части – противоположные числа 2 и (– 2), 4 и (– 4) и т.д. После упрощения левой и правой частей равенства получим следующий ответ: прибыль крестьянина составит больше миллиарда копеек или более 10 миллионов рублей! Значит доход крестьянина составил почти семь миллионов рублей, что свидетельствует не только о сметливости, но и о знании математики и темы Геометрическая прогрессия», поскольку речь шла именно о геометрической прогрессии с первым элементом 1, тридцатым элементом 2²⁹ и знаменателем прогрессии 2.

Слайд № 34:

Далее учитель предъявляет учащимся доказательство формулы №3 для определения суммы n первых членов геометрической прогрессии и дополняет ею список формул на правом крыле доски. При этом внимание учащихся обращается на то, что выведенная формула «удобна» для возрастающей геометрической прогрессии, у которой q > 1.

Слайд № 35:

Учащимся предлагается самим подумать над тем, как именно будет выглядеть формула суммы n первых членов геометрической прогрессии для убывающей (0 < q < 1) и постоянной геометрической прогрессии (q = 1).

Слайд № 36:

На основе выведенной формулы и формулы n-ого члена геометрической прогрессии демонстрируется вывод еще одной формулы, которую используют тогда, когда в прогрессии известны первый элемент и знаменатель.

Слайд № 37:

Например (записываем пример в тетрадях):

Слайд № 38:

Итак, весь список формул для геометрической прогрессии у нас готов. Сопоставим эти формулы с их названиями:

Слайд № 39:

3. Домашнее задание

1)  читать п.п. 26 и 28 учебника; 2) выполнить для недели математики творческую работу «Шпаргалка по формулам на прогрессии»; 3) записать в тетради доказательство всех выведенных на уроке формул.

Слайд № 40:

4. Подведение итогов урока

В заключение, учащимся предлагается в карточках, лежащих на партах, установить соответствие между формулами и их названием, а также ответить на вопросы небольшого теста (рефлексия):

1. Результатом своей личной работы считаю, что я …    

А. Разобрался в теории.
Б. Научился решать задачи.
В. Повторил весь ранее изученный материал.          
Г. Не узнал ничего нового.

2. Чего мне не хватало на уроке при решении задач?

А. Знаний.
Б. Времени.
В. Желания.
Г. Решал нормально.

3. Кто мне оказал наиболее существенную помощь в преодолении трудностей на уроке?

А. Одноклассники.
Б. Учитель.
В. Слайды презентации.
Г. Никто.

Источники информации:

1. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.А. Макарычев и др.; под редакцией С.А. Теляковского. – М.: ОАО «Московские учебники», 2010.
2. https://urok.1sept.ru/articles/566227/
3. https://urok.1sept.ru/articles/532845/
4. Анимированная картинки:
   • http://smayli.ru/smile/dengia-43.html   Монеты
   • http://smayli.ru/smile/ludia-2327.html  Путешественник
   • http://smayli.ru/smile/ludia-1911.html  Купец.

Циклограмма урока:

Замечание: на следующем уроке учащиеся знакомятся с допущенными в самостоятельной работе ошибками (если ошибок очень много – проверка безоценочная, если – нет, то ставится оценка (за 10-12 «+» – «5», за 7-9 «+» – «4», за 3-6 «+» – «3»), после чего используют карточки с формулами и названиями для формирования в тетради двух теоретических таблиц (таблица формул для арифметической прогрессии и таблица формул для геометрической прогрессии).

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4