Пояснительная записка
В школьном курсе алгебры изучается арифметическая и геометрическая прогрессии. В первой части экзаменационной работы в 9 классе обычно представлены задачи, решаемые либо с помощью формулы n – ого члена прогрессии, либо с помощью формулы суммы n – первых членов прогрессии.
Базовая проверка подготовки учащихся предлагает по данной теме:
1) усвоение основных алгоритмов и правил;
2) понимание важнейших понятий и их свойств;
3) знание содержания применяемых приемов;
4) умение применять знания в простейших
практических ситуациях;
5) распознавать стандартные задачи в
разнообразных формулировках;
6) умение пользоваться разными математическими
языками и переходить с одного из них на другой;
7) продемонстрировать определенную системность
знаний.
Во второй части экзаменационной работы предлагаются задания, требующие применения рекуррентных формул, характеристического свойства прогрессий, а также задания, решение которых сводится к решению уравнений и их систем, неравенств и их систем.
К сожалению, в основной школе, на изучение темы отводится 19 часов. Также задачи есть в ЕГЭ, но в 11 классе очень мало времени отводится на повторение. Поэтому мы предлагаем МСЗ по данной теме.
Многоуровневая система задач является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, её цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся. При направляющей роли учителя школьники могут самостоятельно сформулировать новый ход решения той или иной задачи. Все должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Ученику необходимо давать время на размышления, учить рассуждать, выдвигать гипотезы. В системе задач заложена возможность дифференцированного обучения. При решении ряда задач необходимо рассмотреть несколько случаев. Задачи имеют большую практическую значимость, раскрывают механизм составления задач, традиционно они вызывают неподдельный интерес учащихся, позволяют утвердиться в своих способностях. Система разноуровневых задач преследует задачу более полного овладения, углубления и совершенствования уровня, позволяет усилить линию алгоритмического мышления, перейти на более высокий уровень знаний, превысить государственный стандарт за счет активизации обучения, совмещать информационные и деятельные методы, сформировать навыки использования информационных ресурсов и информационных технологий в практике.
Цели:
- систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по теме “Прогрессии”;
- способствовать приобщению к творческой и исследовательской деятельности по математике;
- сформировать у учащихся понимание необходимости знаний алгоритмов решения задач с помощью арифметической и геометрической прогрессий для дальнейшего решения задач практического содержания и прикладных задач по биологии, физики, астрономии;
- формировать навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний в результате их применения в незнакомой ситуации;
- подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ/
Задачи:
- способствовать усвоению знаний и умений, установленных программой курса;
- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы;
- продолжить формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении задач разного вида.
Тематическое планирование
(1ч в неделю всего 18ч.)
| Номер занятия | Наименование тем курса |
Количество часов | Типы занятий |
||
| теория | практика | всего | |||
| 1 | Вводный урок | 0,5 | 0,5 | 1 | Беседа. Предварительное тестирование |
| 2,3 | Повторение базовых знаний | 1 | 1 | 2 | Лекция с элементами беседы. Закрепление ранее изученного материала. |
| 4,5 | Решение задач практического содержания с помощью прогрессий | 1 | 1 | 2 | Практикум. Промежуточный контроль знаний. |
| 6,7 | Решение уравнений с помощью прогрессий | 1 | 1 | 2 | Лекция. Проверка коррекция знаний и умений. |
| 8,9 | Решение прикладных задач | 1 | 1 | 2 | Практикум, применение знаний и умений. |
| 10,11 | Решение задач с модулем | 1 | 1 | 2 | Семинар. Закрепление ранее изученного материала. |
| 12,13,14 | Решение задач с параметрами | 1 | 2 | 3 | Практикум. Обобщение и систематизация знаний. |
| 15,16 | Заслушивание докладов и рефератов учащихся | 2 | 2 | Сообщения учащихся | |
| 17,18 | Итоговая зачетная работа | 2 | 2 | Итоговый контроль знаний | |
Базовые задачи по теме “Арифметическая и геометрическая прогрессии”
Б З.1. Задача подведения данной числовой последовательности под понятие арифметической прогрессии (по определению)
Б.З.2. Задача подведения данной числовой последовательности под понятие арифметической прогрессии (по характеристическому свойству)
Б.З.3. Задача подведения данной числовой последовательности под понятие геометрической прогрессии (по определению)
Б.З.4. Задача подведения данной числовой последовательности под понятие геометрической прогрессии (по характеристическому свойству)
Б.З.5. Задача на комбинацию арифметической и геометрической прогрессий
Б.З.6. Задача нахождения взаимосвязи между основными атрибутами арифметической прогрессии (а1 ,d, аn , n, Sn)
Б.З.7. Задача нахождения взаимосвязи между основными атрибутами геометрической прогрессии (b1, q, bn, Sn, n)
Б.З.8. Приложение прогрессии в геометрии и в текстовых задачах и т.д.
МСЗ по теме: “Арифметическая и геометрическая прогрессии”
Уровень I (знакомые задачи)
1. Является ли последовательность арифметической прогрессией -2, -4, -6, -8…..
2. Последовательность (сn) – арифметическая прогрессия. Найдите: с5 , если с1 = 20 и d =3.
3. В геометрической прогрессии (bn) в1 = 12,8 и q =0,25 . Найдите в7
4. В арифметической прогрессии (аn) а1 = – 5, а2 = – 7. Найдите двадцать первый член этой прогрессии.
5. Найдите шестой член геометрической прогрессии – 2; 6;…
6. Найдите первый член арифметической прогрессии (хn), если х30 =128, d =4.
7. Найдите разность арифметической прогрессии (уn), в которой:у1 = 10, у5 = 22.
8. Бригада в январе изготовила 8 деталей, а в каждый следующий месяц изготавливала на 7 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей бригада изготовила через n месяцев?
9. Какое число не является членом арифметической прогрессии 4; 7; 10;…..
А. 28 Б. 64 В. 95 Г. 127
10. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (хn), если х16 = – 7 и х26 = 55
11. Из арифметической прогрессии , заданной формулой п – ного члена выберите ту, которой выполняется условие а8 – 1 > 0
1) аn = n-7
2) аn = -3n+26
3) аn = 2n -15
4) аn = -4n+ 31
12. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 170, которые делятся на 6. (2436)
13. Геометрическая прогрессия (вn) задана
условиями: в1 = 4, вn +1 = вn *3.
Найдите пятый член прогрессии. (324)
14. Найдите шестой член последовательности, заданной рекуррентным способом в1 = 1,в2 = 1, вn+1 = вn-1+ вn (n> 2). (8)
15. Последовательность задана условиями с1 = -1/6, сn+1 = -1/сn Найдите восьмой член прогрессии. (6)
16. В арифметической прогрессии (аn) а71 = 38, а73 = -128. Найдите семьдесят второй член этой прогрессии. (– 45)
17. В геометрической прогрессии (вn) в9 = 411 , в11= 413 . Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии. (q= 4 или q= – 4 в1 = 64)
18. В геометрической прогрессии (вn) в1 = 8 , в3 = 24. Найдите в5. (72)
19. В геометрической прогрессии (вn) известно, что в12 = 4 , в14= 16. Найдите шестнадцатый член прогрессии. (64)
20. В арифметической прогрессии (аn) а34= 54, а36 =80. Найдите разность прогрессии. (d = 13)
Уровень II (модифицированные задачи)
1. Сколько отрицательных членов содержит арифметическая прогрессия (аn): -18; – 17,3;…..?
2. Известно, что в арифметической прогрессии (аn) а1 + а5 = – 4, а2 * а6 = – 16. Найдите разность и первый член прогрессии.
3.Найдите ближайший к нулю положительный член арифметической прогрессии 49,5; 47,7;… (0,9)
4.Ученик 9-ого класса Петя решил делать по утрам зарядку с начала месяца. Каждый день он делал отжиманий на 2 больше, чем в предыдущий. Сколько отжиманий сделал Петя в период с 19-ого по 31-й день месяца, если в первый день он уже сделал 10 отжиманий? (754)
5. На первую клетку шахматной доски положили 1 зерно, а на каждую следующую на 2 зерна больше, чем на предыдущую. Сколько зерен положили на последнюю клетку? (127)
Сколько всего зерен оказалось на шахматной доске? (4096)
6. Согласно легенде, изобретатель шахмат попросил у падишаха в качестве награды такое количество пшеницы, которое получится, если на 1-ую клетку шахматной доски положить одно зернышко, а далее удваивать количество зерен на каждой последующей клетке. Падишах распорядился слугам принести мешок зерна. Определите, на какой клетке закончился бы этот мешок, считая массу мешка равной 50 кг, а массу 1 зернышка 0,5 грамма? (17)
7. В арифметической прогрессии (аn) известно, что а3 = 33, а5 =4. Найдите сумму семи первых членов прогрессии. (35)
8. Между числами 3 и 48 вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию. (3,6,12,24,48 или 3,-6,12,-24,48)
9. Сумма второго, восьмого и одиннадцатого члена арифметической прогрессии равна 69. Найдите седьмой член этой прогрессии. (23)
10. В геометрической прогрессии сумма первого, второго и третьего члена равна 14, а сума второго, третьего и четвертого члена равна 7. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. (7 7/9)
11. Известно, что сумма первого, второго и шестого членов арифметической прогрессии равна 36. Найдите сумму второго и четвертого членов этой прогрессии. (24)
12. Четвертый член геометрической прогрессии равен 36, а сумма второго и третьего членов равна 16. Найдите знаменатель этой прогрессии, если известно, что она является возрастающей. (3)
13. Найдите сумму всех натуральных чисел меньше 180, которые не делятся на 3 и на 7.
Уровень III (незнакомые комбинированные задачи)
1. Найдите ближайший к нулю положительный член арифметической прогрессии 49,5; 47,7;…..(0,9)
2. Существует ли арифметическая прогрессия, в которой а3 = 7, а6 = 13, а8 = 17? (да)
3. Могут ли числа 
3, 2, 8 быть членами
(необязательно последовательными)
арифметической прогрессии? (Нет)
4. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии bn = 16 • (– 0,5)n зачеркнули все члены, имеющие четные номера. Найдите сумму оставшихся членов. (– 0 2/3)
5. Три положительных числа b1, b2, b3 образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна 14, а сумма обратных им величин равна 7/8. Найдите b1 • b2 • b3. (64)
6. Первый член арифметической прогрессии равен 47. Найдите второй и третий её члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел. (64, 81)
7. Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если из этих чисел вычесть соответственно 1, 2, 11, 44, то получим четыре числа, образующих арифметическую прогрессию. Найдите числа, образующие арифметическую прогрессию. (1, 4, 7,10)
8. Рассмотрим “ Треугольник Серпинского”. Для этого берём равносторонний треугольник, затем отмечаем середины сторон, проводим средние линии и исключаем средний треугольник. В оставшихся трёх треугольниках опять проводим средние линии и исключаем средние треугольники и т.д. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его – получим точную копию целого. В данном случае имеем дело с полным самоподобием.
“Смоделировать геометрический фрактал “ Треугольник Серпинского” и рассчитать площадь треугольника после 10 генераций”. (3/1024 см.)
9. Турист, поднимаясь в гору, достиг в первый час высоты 580 км, а каждый следующий час поднимался на высоту на 40 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты 2500 м, поднимаясь от подножия горы? (5ч.)
10. В бильярдной пирамиде пять рядов и 15 шаров. Сколько шаров в подобной пирамиде с 39 рядами? (780)
11. В искусственный водоем внесли 10 кг одноклеточных водорослей. Определите, через сколько дней масса этих водорослей в водоеме заведомо превысит 1тонну, если количество водорослей в водоеме удваивается через каждые 3 дня? (21)
12. Положительные числа x1, x2, x3,
x4 образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию. При этом x1, x2
– корни уравнения
x2 – 12x + a = 0; x3, x4 – корни
уравнения x2 – 3x + b = 0. Найдите a и b. (а = 32, в = 2)
13. На опушке леса живут 4 куницы, которые питаются белками. Белки питаются орехами. Одна куница съедает 10 белок. Для улучшения плодородия сосны сибирской (кедр) нужны почвенные бактерии. Сколько нужно белок, орехов, бактерий, чтобы построить экологическую пирамиду данного участка леса, используя геометрическую прогрессию. (на 4 куницы 40 белок, 400 орехов, 4000 бактерий)
14. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 250, которые при делении на 4 дают в остатке 3. (7750)
15. Три различных числа a, b, c, сумма которых положительна, являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числа a+b, b+c, c+a являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите отношение большего из чисел a, b, c к меньшему из этих чисел. (-1,4)
16. Найдите все значения а, которые являются корнями уравнения
(х – а)(х2 – 8х + 15) = 0 и выписанные в любом порядке являются членами
1) арифметической прогрессии
2) геометрической прогрессии.
Выписать эти прогрессии. Сколько их? (14 прогрессий)
17. Найдите сумму всех чисел, являющихся одновременно членами двух арифметических прогрессий 5; 9; 13; ……, 3; 9; 15……, если известно, что каждая прогрессия содержит по 200 членов (27135)
18. Вычислите сумму 522 – 492 + 482 – 472 + …..+22 – 12 (1275)
19. Решите уравнение (х + 248) + (х + 243) + (х +238) + ….+(х + 3) = 6225 (х = -1)
20. Решите уравнение 
(х = 19)
Зачет по теме: “Арифметическая и геометрическая прогрессия”
Уровень I (базовый)
№1 Является ли арифметической прогрессией последовательность (an) заданная формулой an=4n+3, где n €N.
№2 Используя характеристическое свойство А.П., докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена аn=10-5n,является арифметической прогрессией.
№3 является ли геометрической прогрессией последовательность (bn), заданная формулой bn=2n, где n €N.
№4 Используя характеристическое свойство Г.П., докажите, что последовательность bn=5n является Г.П..
№5 Три числа, из которых третье равно 16, составляют Г.П. Если вместо 16 взять 12, то три числа составляют А.П.. Найти эти числа. (4 и 8 или 36 и 24)
№6 Первый член А.П. равен 6, а её разность равна 4. Начиная с какого номера члены этой прогрессии больше 260? (начиная с номера 65)
№7 Найти первый член Г.П., если q=3, aS6=1820. (b1=5)
№8 За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и тоже число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день? (3)
II Уровень (повышенный)
№1 Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырехугольника, выпуклого пятиугольника и т.д. является А.П.
№2 При каких значениях 
числа 2; 2; 16-2, взятые в указанном
порядке, образуют А.П.. (
)
№3 Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же образом вписан третий и т.д. Докажите, что периметр треугольников образуют Г.П..
№4 При каких значениях
числа 1; 2; 6-2, взятые в указанном
порядке, образуют Г.П.? (
)
№5 Разность А.П, отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый в указанном порядке составляют Г.П.. Найти её знаменатель. (q=-2)
№6 Сумма трех чисел, образующих А.П., равна 3, а сумма квадратов этих же чисел 11. Найти эти числа. (-1; 1; 3 или 3; 1; -1)
№7 Знаменатель Г.П. с конечным числом членов
равен 
,
третий член равен 
и сумма всех членов прогрессии 1
. Найдите число
членов прогрессии. (4)
№8 Решите уравнение 
, где > 0, 
Z. ( = 7)
III Уровень (высокий)
№1 Известно, что при любом n первых членов некоторой числовой последовательности выражается формулой Sn=2n2+3n. Докажите, что эта последовательность является А.П.
№2 Доказать следующее утверждение: для того
чтобы три числа 
; 
; 
; составляли А.П.
необходимо и достаточно, чтобы числа a2,b2
и c2 также составляли А.П.
№3 В угол, содержащий 60° , вписан пять окружностей с радиусами r1, r2, r3, r4, r5 так, что каждая последующая окружность, начиная со второй, касается предыдущей. Докажите, что последовательность r1, r2, r3, r4, r5 является Г.П.
№4 Доказать следующее утверждение: для того
чтобы три числа c , y, z в указанном порядке
составляли Г.П., необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство 
№5 Сумма трех чисел, составляющих убывающую А.П., равна 60. Если от первого числа отнять 10, от второго отнять 8, а третье оставить без изменения, то полученные числа составят Г.П. Найдите эти числа (34; 20; 6)
№6 Найти сумму 19 первых членов А.П. (аn), если известно, что а4+а8+а12+а16=224. (1064)
№7 Сумма первого и пятого члена Г.П. равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069? (10)
№8 В соревновании по волейболу участвовало n команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу. За каждую игру выигравшей команде зачитывалось одно очко, за проигрыш очки не начислялись; ничьих в волейболе нет. По окончании соревнований выяснилось, что набранные командами очки образуют А.П. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место? (0 очков)
Литература: