Программа элективного курса по алгебре для 10-х классов. Школа в "Кванте". "Некоторые полезные показательные и логарифмические соотношения"

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Основная цель – познакомить учащихся с двумя важными формулами, которые принципиально отличаются от известных им формул, отражающих свойства логарифмов, переход к другому основанию и основное логарифмическое тождество, а также рассмотреть решения показательных и логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма и степени на основании свойства совпадения знаков выражения logab и произведения (a – 1)(b – 1) и, соответственно, ab – ac и (a – 1)(b – c).

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний. Его цель – создать целостное представление о теме, расширить спектр задач нестандартного вида, решение которых становится благодаря введенным свойствам менее трудоемким, что является очень актуальным при итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Все свойства, входящие в элективный курс, и их доказательства не содержат громоздких выкладок, поэтому не вызовут трудности у учащихся. Многие свойства, касающиеся совпадения знаков выражения logab и произведения (a – 1)(b – 1) и, соответственно, ab – ac и (a – 1)(b – c). Учащиеся смогут сформулировать и доказать самостоятельно.

Организация на занятиях должна несколько отличаться от урочной, ученику необходимо давать время на размышления, учить рассуждать, выдвигать гипотезы. Для стимулирования положительной мотивации на занятиях курса есть смысл рассматривать задания, решаемые двумя способами: с применением базисных свойств и вновь введенных, с последующей сравнительной характеристикой того и другого решения. Например: задание (8с, Руководство для подготовки к экзаменам Н.И.Азевич). Вычислите: 2log5 – 5log2.

Программа применима для различных групп учащихся, но ориентирована на тех, для кого изучение математики продолжится при получении высшего образования.

Программа содержит два блока, построенных по модульному типу.

Первый блок систематизирует ранее полученные знания о свойствах логарифмов и содержит новые формулы:

, где a > 0; b > 0; c > 0, с 1 (1)

(2).

Обе формулы вводятся с доказательством.

На первый блок отводится 3 часа вместе с решением задач: логарифмические и показательные уравнения, сравнение чисел, тождественные преобразования показательно-логарифмических выражений.

На второй блок отводится 4 часа, его цель – доказательство утверждений, эффективно используемых при решении логарифмических и показательных неравенств. На доказательство основных утверждений может быть отведен 1 час, в оставшееся время учащиеся учатся применять полученные знания к решению задач.

На изучение двух блоков отводится 9 часов, из них 2 часа на определение успешного усвоения материала.

Цель курса:

Сформировать у учащихся навыки решений заданий повышенной сложности

  • логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма,
  • логарифмические неравенства, содержащие модуль;
  • логарифмические неравенства с параметром;
  • показательные неравенства, содержащие переменную в основании степени;
  • показательные неравенства, содержащие модуль.

Задачи курса:

  • интеграция знаний по разнообразию методов решения неравенств;
  • активизация познавательной деятельности школьников;
  • повышение информационной компетенции учащихся;
  • поощрение самостоятельной работы с научной литературой;
  • обеспечение условий для развития творческой личности школьника;
  • подготовка к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Требования к уровню подготовленности учащихся:

  • в результате изучения курса учащиеся должны уметь решать нестандартные логарифмические и показательные неравенства, используя специальные математические методы;
  • использовать приемы, рационализирующие вычисления;
  • работать с различными источниками информации;
  • обосновывать свою точку зрения;
  • демонстрировать свои достижения;
  • использовать дополнительную литературу с целью углубления материала основного уровня.

Учебно-тематический план элективного курса “Некоторые полезные показательные и логарифмические соотношения”

№ пп

Наименование разделов и тем

Всего часов

Форма контроля

1

 Формулы, оставшиеся за страницами школьного учебника Повторение:
  • понятие логарифма числа,
  • основное логарифмическое тождество
  • формула перехода от одного основания к другому
  • свойства логарифмов:

(); ;,

где

a > 0; b > 0; c > 0, с 1.

Введение формул с доказательством

  1. = bloga ;

2

Составление справочной таблицы
Решение задач

2

 Решение логарифмических и показательных неравенств с применением свойств совпадения знака выражения logab со знаком произведения (a-1)(b-1) и знака выражения ab – ac со знаком произведения (a-1)(b-c).   Изучение Т. 1 и следствий из нее; Изучение Т. 2 и следствий из нее; Решение задач с применением изученных свойств

4

Зачет, контрольная работа

3

 Проверка усвоения знаний учащихся

2

Тест

Тема 1. Формулы, оставшиеся за страницами учебника.

На первом занятии сообщается цель и значение элективного курса. Систематизируются знания учащихся о свойствах логарифмов, формуле перехода от одного основания к другому. В практическую часть к этому разделу необходимо включить задания типа:

а) log54 = a, log53 = b; выразить log5144 через a и b;

б) доказать, что выражение log1218 : (log2454 – 1) принимает отрицательное значение;

в) сравнить числа 2 log25 и 3 log1/8;  так как в этих заданиях свойства логарифмов реализуются в полном объеме.

Для вывода формулы (1), если группа имеет хорошую подготовку, можно предложить решить уравнение: + 2= 15; так как, решая его, фактически выводится формула (1)

5logx + 2*5logx = 15; x =2.

Далее выводится формула (2) с доказательством и рассматриваются примеры на ее использование. В результате учащиеся получают необходимые знания для решения заданий нестандартного характера.

Рекомендуемые задания по I разделу:

  • =

Тема 2. Решение логарифмических и показательных неравенств с применением свойства совпадения знака выражения logabсо знаком произведения (a-1)(b-1) и знака выражения ab – ac со знаком произведения (a-1)(b-c).

Программа не акцентирует внимание на взаимосвязь знаков выражений logab и (a-1)(b-1), а также ab– ac и (a-1)(b-c).

Содержание элективного курса призвано ликвидировать этот пробел. Теоретический материал этой темы состоит из Т.1: для чисел а, b и с таких, что а > 0, а 1, b > 0, с > 0 верны следующие утверждения:

1) неравенства <–> (a-1)(b– c) 0;

2) неравенства <–> (a-1)(b– c)0;

и Т.2: для всех допустимых а и b справедливы следующие утверждения:

ab ac   <–>  (a-1)(b-c) 0;

ab ac <–>  (a-1)(b-c) 0.

Рекомендуемые задания по теме:

  • (x + x – 1) < 0;
  • ;
  • *
    •

Приложение

Литература для учащихся

  1. Виленкин Н.Я. “Алгебра и математический анализ 11”.
  2. Никольский С.М. “Алгебра и начала анализа 10”
  3. Сборник конкурсных задач по математике под редакцией Сканави М.И.

Литература по методике преподавания курса

  1. Виленкин Н.Я. “Алгебра и математический анализ 11”. М. “Просвещение” 1990 г.
  2. Никольский С.М. “Алгебра и начала анализа 10”. М. “Просвещение” 1990 г.
  3. Квант 10. 1990. Издательство “Наука”.
  4. Бесчетнов В.М. “Курс лекций для учащихся 7-11 классов”. М. “Демиург” 1994 г.
  5. Самсонов П.И. “О решении логарифмических и показательных неравенств”. М. 2002г .
  6. Саакян С.М. и др. “Задачи по алгебре и началам анализа”. М. “Просвещение” 2001 г.
  7. Шарыгин И.Ф. “Факультативный курс 11”. М. “Просвещение” 1989 г.