Цели:
- выработать умение рассматривать различные подходы к решению задач и проанализировать “эффект” от применения этих способов решения;
- выработать умение учащегося выбирать метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями, базирующимися на более прочных знаниях и уверенных навыка;
- выработать умение составить план последовательных этапов для достижения результата;
- выработать умение обосновать все предпринимаемые шаги и вычисления;
- повторить и закрепить различные темы и вопросы стереометрии и планиметрии, типовые стереометрические конструкции, связанные с решением текущих задач;
- развить пространственное мышление.
Задачи:
- анализ различных методов решения задачи: координатно-векторный метод, применение теоремы косинусов, применение теоремы о трех перпендикулярах;
- сравнение преимуществ и недостатков каждого метода;
- повторение свойств куба, треугольной призмы, правильного шестигранника;
- подготовка к сдаче ЕГЭ;
- развитие самостоятельности при принятии решения.
Схема урока
Задача 1.
В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точка О – центр грани ABCD.
Найти:
а) угол между прямыми A1D и BO;
б) расстояние от точки B до середины отрезка A1D.
Решение пункта а).
1 способ. Координатно-векторный метод
Поместим наш куб в прямоугольную систему координат как показано на рисунке, вершины A1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).
Направляющие векторы прямых A1D и B1O:
{0; 1; -1} и {½; ½; -1};
искомый угол φ между ними находим по формуле:
cos∠φ =
,
откуда∠φ = 30°.
2 способ. Используем теорему косинусов.
1) Проведем прямую В1С параллельно прямой A1D. Угол CB1O будет искомым.
2) Из прямоугольного треугольника BB1O по теореме Пифагора:
B1O = .
3) По теореме косинусов из треугольника CB1O вычисляем угол CB1O:
cos CB1O = , искомый угол составляет 30°.
Замечание. При решении задачи 2-м способом можно заметить, что по теореме о трех перпендикулярах COB1 = 90°, поэтому из прямоугольного ∆ CB1O также легко вычислить косинус искомого угла.
Решение пункта б).
1 способ. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками
Пусть точка E – середина A1D, тогда координаты E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).
BE = .
2 способ. По теореме Пифагора
Из прямоугольного ∆ BAE с прямым BAE находим BE = .
Задача 2.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны a. Найти угол между прямыми AB и A1C.
Решение.
1 способ. Координатно-векторный метод
Координаты вершин призмы в прямоугольной системе при расположении призмы, как на рисунке: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A1(0; 0; a), C (0; a; 0).
Направляющие векторы прямых A1C и AB:
{0; a; -a} и {a; ; 0} ;
cos φ = ;
φ = arccos .
2 способ. Используем теорему косинусов
Рассматриваем ∆ A1B1C, в котором A1B1 || AB. Имеем
cos φ = .
Задача 3.
(Из сборника ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко)
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E до прямой B1C1.
Решение
1 способ. Координатно-векторный метод
1) Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные оси, как показано на рисунке. СС1, СВ и СЕ попарно перпендикулярны, поэтому можно направить вдоль них координатные оси. Получаем координаты:
С1 (0; 0; 1), Е (; 0; 0), В1 (0;1;1).
2) Найдем координаты направляющих векторов для прямых С1В1 и С1Е:
(0;1;0), (;0;-1).
3) Найдем косинус угла между С1В1 и С1Е, используя скалярное произведение векторов и :
cos β = = 0 => β = 90° => C1E – искомое расстояние.
4) С1Е = = 2.
Вывод: знание различных подходов к решению стереометрических задач позволяет выбрать предпочтительный для любого учащегося способ, т.е. тот, которым ученик владеет уверенно, помогает избежать ошибок, приводит к успешному решению задачи и получению хорошего балла на экзамене. Координатный метод имеет преимущество перед другими способами тем, что требует меньше стереометрических соображений и видения, а основывается на применении формул, у которых много планиметрических и алгебраических аналогий, более привычных для учащихся.
Форма проведения урока – сочетание объяснения учителя с фронтальной коллективной работой учащихся.
На экране с помощью видеопроектора демонстрируются рассматриваемые многогранники, что позволяет сравнивать различные способы решения.
Домашнее задание: решить задачу 3 другим способом, например, с помощью теоремы о трех перпендикулярах.
Литература
1. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса.– М.: ИЛЕКСА, – 2010. – 208 с.
2. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с.
3. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов/ под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное образование, 2011. – 112 с. – (ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе).