Интеграл. Площадь криволинейной трапеции. 12-й класс

(Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова, М.: Просвещение, 2010г.)

Цели:

• Подвести итоги к.р. по теме "Первообразная". Ввести понятие криволинейной трапеции, доказательство теоремы о площади криволинейной трапеции.
• Развивать логическое мышление учащихся через установление причинно-следственных связей.
• Побудить интерес к изучению темы.

Задачи:

• Закрепить навыки по нахождению первообразных функций. Определить криволинейную трапецию, научить использовать формулу для вычисления о площади криволинейной трапеции.
• Развитие познавательного интереса и логического мышления.
• Закрепление изученного.

План занятия

Ход занятия

I Организационный момент

Приветствие, готовность к уроку.

II Мотивационное начало занятия

Постановка целей, показ презентации (первый слайд).

III Итоги и анализ контрольной работы по пройденной теме "Первообразная"

Оценки за контрольную работу. Анализ работ учителем. Учащиеся получают индивидуальные карточки (приложение №1), под руководством учителя разбираются ошибки. Рассматриваются примеры первого задания по готовому решению. Предлагается решить задания второго задания (у каждого отмечен пример).

IV Объяснение нового материала: определение криволинейной трапеции

1 Ввести определение криволинейной трапеции (приложение №2, при объяснении используется презентация).

Пусть на отрезке оси задана непрерывная функция , не меняющая на нем знака. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком и прямыми и называется криволинейной трапецией.

Примеры приведены на рисунках 1-4 (слайды 2-5).

2 Рассматриваем рисунки. Выясняем, какие из предложенных фигур являются криволинейными трапециями.

Урок №2

V Объяснение нового материала: доказательство теоремы

Если - непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а - её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке , т.е.

Доказательство.

Рассмотрим функцию , определенную на отрезке . Если , то - площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку (рисунок 4).

Если , то ;

Если , то , где - площадь криволинейной трапеции.

Докажем, что

По определению производной надо доказать, что

.

Выясним геометрический смысл числителя . Для простоты рассмотрим случай . Поскольку , то - площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 5. Возьмем теперь прямоугольник той же площади , опирающийся на отрезок (рисунок 5).

В силу непрерывности функции верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком , либо содержит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади ). Высота прямоугольника равна . По формуле площади прямоугольника имеем , откуда . (Эта формула верна и при ) Поскольку точка лежит между и , то стремится к при . Так как функция непрерывна, при . Итак, при .

Формула (2) доказана.

Мы получили, что есть первообразная для . Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех имеем: ,

где - некоторая постоянная, а - одна из первообразных для функции . Для нахождения подставим :

, откуда . Следовательно,

Поскольку площадь криволинейной трапеции равна , подставляя в формулу (4), получим: .

VI Закрепление изученного материала

№ 353 (а, б, г).

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

а) .

б) .

г) .

VII Итоги урока

Используется презентация. Проговариваем цели, определение, теорему, формулу. Отмечаются активность и понимание, объявляется благодарность классу и персонально.