Цель: обобщить, систематизировать и сформировать прочные знания и умения по данной теме, используя задания разного уровня сложности; организовать деятельность обучающихся по распознаванию и решению ключевых задач.
Задачи:
- Формировать:
- навыки коллективной деятельности;
- умение выполнять взаимопроверку, самопроверку;
- объективную самооценку своих знаний.
- Проверить:
- степень усвоения темы;
- умение распознавать и применять знания всех приемов решения тригонометрических уравнений на примере одного уравнения.
- Развивать:
- умение объяснять, аргументировать свое решение, убедительно и обосновано доказывать свою точку зрения;
- умение строить аналогии, обобщать и систематизировать;
- умение рефлексировать;
- интерес к изучению математики.
- Воспитывать:
- ответственность и трудолюбие;
- коммуникативность и толерантность;
- уважительное отношение друг к другу.
Формы, методы и педагогические приемы, которые используются на уроке
На уроке-практикуме обучающиеся рассаживаются за столом по 4-6 человек друг против друга, «глаза в глаза». Исходя из целей, задач урока и уровня класса, группы могут формироваться, как одноуровневые, так и разноуровневые. Консультанта в каждой группе может назначать учитель или сама группа. Карточки-задания для групп могут быть разных вариантов с разным уровнем требований к математической подготовке. В группах идет обсуждение и поиск путей решения, работа с информационными источниками (учебники, справочники, конспекты уроков).
Проверка выполнения работы может выполняться по разному:
– представители от групп работают за закрытой доской;
– каждой группе дается образец решении для самопроверки.
План урока
1. Организационный момент
2. Повторение материала
3. Работа в группах
4. Тестирование
5. Домашнее задание
6. Итог урока
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Сообщение темы, цели и плана урока; правила работы в группах; критерии самооценки.
2. Актуализация знаний
Обучающий блок тригонометрических уравнений
– Решая тригонометрическое уравнение, к чему мы стремимся в конечном итоге?
– Какие частные случаи мы выделяем среди простейших тригонометрических уравнений?
– Какие виды тригонометрических уравнений мы рассмотрели и каковы способы их решения?
Обучающиеся, не решая уравнений, сообщают, каким способом, по их мнению, следовало бы решить каждое уравнение. Ответы обсуждаются в быстром темпе.
3. Проверочная работа
Блок уравнений:
- 2 cos² x + 3 cos x + 1 = 0;
- 3sin x = 2 cos2x;
- 2 cos23x + sin 3x – 1 = 0;
- (sin x – 0,5) (sin x + 1) = 0;
- tg3х – tg2x – 3tg x + 3 = 0;
- tg x – 15/tg x = 2;
- sin 2x cos x + 2 sin3x = 1;
- cos x + sin x = √2;
- 8 sin x – 6 sin x cos x + 3 cos x – 4 = 0;
- cos² x = 1;
- cos² πx + 4 sin πx + 4 = 0;
- cos (2x – π/4) = –1;
- 3 sin x + 4 cos x = 2.
4. Работа в группах
sin x + cos x = 1 (*)
Каждая группа, получив задание, обсуждает и решает уравнение (*) своим способом, а затем начинается защита своего способа решения у доски. Один из членов группы выносит решение на доску, остальные учащиеся внимательно слушают, затем оформляют решение в тетрадь.
Учащиеся учатся объяснять своё решение грамотным математическим языком; учатся работать с аудиторией.
I способ. Введение вспомогательного угла
Разделим обе части уравнения на √2:
sin x + cos x = 1 | √2.
sin x + cos x = , или
сos sin x + sin cos x =,
sin (x + ) =,
x + = (–1)n arcsin + πn, n є Z, т.е.
х = – + (–1)n + πn, n є Z.
Ответ: х = – + (–1)n + πn, n є Z.
II способ. Введение выражений для sin α и сos α через tg по формулам:
sin α = 2tg / 1 + tg² , cos α = 1– tg² / 1 + tg² . (1)
Обращение к функции tg x/2 предполагает, что cos x/2 ≠ 0, то есть х ≠ π + 2πn, где n є Z.
Итак, по формулам (1) из исходного уравнения (*) получаем:
2 tg x/2 / 1 + tg² x/2 + 1 – tg² x/2 / 1 + tg² x/2 =1.
Отсюда 2 tg x/2 + 1 – tg² x/2 = 1 + tg² x/2,
2 tg x/2 – 2tg² x/2 = 0 | : 2.
tg x/2 ( 1 – tg x/2) = 0,
tg x/2 = 0 или tg x/2 = 1.
Если tg x/2 = 0, то x/2 = πn, n є Z, и тогда х = 2πn, n є Z.
Если tg x/2 = 1, то x/2 = π/4 + πk, k є Z, или х = π/2 + 2πk, k є Z.
Ответ: х = 2πn, х = π/2 + 2πk, n, k є Z.
III способ. Сведение к одному уравнению
Выразим sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента:
2 sin x/2 · cos x/2 + cos² x/2 – sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2,
2 sin x/2 · cos x/2 – 2sin² x/2 = 0 | : 2 cos² x/2,
tg x/2 – tg² x/2 = 0, или tg x/2 (1– tg x/2) = 0.
Если tg x/2 = 0, то x/2 = πn, n є Z.
Если tg x/2 = 1, то x/2 = π/4 + πk, k є Z.
Ответ: х = 2πn, n є Z, х = π/2 + 2πk, k є Z.
IV способ. Преобразование суммы в произведение
Выразим cos x через sin (π/2 – x):
sin x + sin (π/2 – x) = 1,
2 sin (x+ π/2 – x): 2 · cos (x– π/2 + x): 2 = 1,
2 sin π/4 · cos ( x – = 1 или √2 cos (x – π/4) = 1.
Тогда cos (x – π/4) = √2/2 и х – π/4= ± arccos √2/2 + 2πn, n є Z, x = π/4 ± π/4 + 2πn, n є Z.
Ответ: х = 2πn, n є Z, х = π/2 + 2πn, n є Z.
V способ. Применение формулы sin x + cos x = √2 sin (x + π/4)
√2 sin (x + π/4) = 1 | : √2.
sin (x + π/4) = 1/√2,
x + π/4 = (–1)n arcsin 1/√2 + πn, n є Z.
Ответ: x = – π/4 + (–1)n π/4 + πn, n є Z.
VI способ. Возведение в квадрат обеих частей уравнения (*)
(sin x + cos x)2 = 1,
2 sin x · cos x + 1 = 1,
2 sin x · cos x = 0 | : 2,
sin x = 0 или cos x = 0.
Если sin x = 0, то x= πn, n є Z.
Если cos x = 0, то x= ± π/2 + πk, k є Z.
Этот способ требует отбора решений.
Из серии чисел x= πn решением будет серия x = 2 πn, а серия
x = π + 2πn, (n є Z) – постороннее решение.
Из серии чисел х= ± π/2 + πk серия х= π/2 + πk – решение, а серия х= – π/2 + 2πk – постороннее решение.
Ответ: x = 2πn, n є Z, x= π/2 + 2πk, k є Z.
VII способ. Замена cos x выражением ± √1 – sin² x:
sin x ± √1 – sin² x = 1,
± √1 – sin² x = 1 – sin x,
1 – sin² x = (1 – sin x)² ,
(1 – sin x) (1 + sin x) – (1 – sin x)² = 0,
(1 – sin x) (1 + sin x – 1 + sin x) = 0,
2(1 – sin x) sin x = 0,
sin x = 1 или sin x = 0.
Если sin x = 1, то x = π/2 + 2πn, n є Z.
Если sin x = 0, то x = πk, k є Z.
Из серии x = πk решением является только x = 2πk.
Ответ: x = π/2 + 2πn, n є Z, x = 2πk, k є Z.
4. Самостоятельная работа (в двух вариантах)
I вариант
№ 1. Решить уравнение: cos 0,5x = – 1 .
№ 2. Решить уравнение: .
№ 3. Решить уравнение: 2 cos2x = 3 sin x .
II вариант
№ 1. Решить уравнение: sin 0,5x = – 1 .
№ 2. Решить уравнение: .
№ 3. Решить уравнение: 2 sin2x – 5 = – 5 cos x .
5. Домашнее задание
Выполнить уравнения, способы решения которых рассматривали в начале урока (Обучающий блок тригонометрических уравнений)
6. Итог урока (Приложение 1)
Описание проверочных работ для учащихся по теме урока
В качестве проверочных работ по данной теме очень хорошо использовать задания самостоятельных работ С -39 – С-42, а так же С- 43*, С-44*, предложенных в 4-х вариантах в книге «Дидактические материалы. Алгебра и начала математического анализа. 10.» М.К. Потапова, А.В. Шевкина. – М.: Просвещение, 2010.
Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме.
На таком уроке – практикуме успешно реализуются как учебные, так и воспитательные цели образовательного процесса, обеспечивающие: высокий уровень усвоения учебного материала; активность учебного процесса; развитие обучающихся через совместную коллективную деятельность.
А самоконтроль и взаимоконтроль с последующей самооценкой своих знаний и умений играет важную роль в развитии ребенка, формировании положительной «Я-концепции».
Учитель же имеет возможность формировать характер общения в процессе взаимодействия «учитель и учащийся», «учащийся и учащийся», развивать коммуникативность и толерантность, умение и желание сотрудничать с другими людьми, что очень в будущем.