Урок "Занимательная математика"

Цели:

• углубить знания школьников;
• расширить кругозор учащихся;
• привить детям любовь к математике и её истории;
• способствовать развитию самостоятельности, внимания, мышления, памяти учащихся
• приобщить учеников к творческой деятельности.

Оборудование:

• экран, проектор, компьютер;
• презентация (анимация на каждом слайде запускается после первого щелчка автоматически, переход от слайда к слайду по щелчку);
• материал для подготовки приглашенных учащихся старших классов

Ход мероприятия

(Слайд 1)

1 ученик.

Почему торжественно вокруг?
Слышите, как быстро смолкла речь?
Это о царице всех наук
Начинаем мы сегодня вечер.
Не случайно ей такой почёт,
Это ей дано давать ответы,
Как хороший выполнить расчёт
Для постройки здания, ракеты.
Есть о математике молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, математика, даёшь
Для победы трудностей закалку,
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
И за то, что в творческом труде
Выручаешь в трудные моменты,
Мы сегодня искренне тебе
Посылаем гром аплодисментов!

4-5 учащихся (монтаж):

Ракета небо прочеркнула,
Ей в космос путь давно не нов.
Не слышно рокота и гула
Уж из-под облачных ковров.
И укращённый мирный атом
Послушен разуму людей.
Всё это - плод людских исканий,
Всё это создано не вдруг
Могучей силой точных знаний
И мастерством рабочих рук!
И прежде чем, заметьте кстати,
Ракете той был дан прицел,
Её маршрутом математик
На крыльях формул пролетел…
Сухие строки уравнений...
В них сила разума влилась,
В них – объяснение явлений,
Вещей разгаданная связь.
Математика повсюду.
Глазом только поведёшь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдёшь.
Встал ты рано или поздно
Начинаешь уж решать:
Идти тихо или быстро
Чтоб на урок не опоздать!
Вот строительство большое.
Прежде чем его начать,
Нужно всё ещё подробно
Начертить и рассчитать.
А иначе рамы будут с перекосом,
Потолок провалиться.
А кому, друзья, скажите,
Это может нравиться?
Если хочешь строить мост,
Наблюдать движенье звёзд,
Управлять машиной в поле
Иль вести машину ввысь,
Хорошо работай в школе,
Добросовестно учись.

Слово учителя.

“Предмет “математика” настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным” – писал выдающийся учёный XVII века Блёз Паскаль. И хотя математика по-прежнему кажется многим не только серьёзной, но и скучной наукой, иногда и в ней проскакивает озорная улыбка. В математике издавна существуют интересные задачи и софизмы. Но решают их люди не только ради развлечения. Иногда такая задача позволяет глубоко проникнуть в суть правила, лучше его запомнить.

(Слайд 2)

Учитель:

Софизм - (от греческогоsophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.

Экскурс в историю

(Слайд 3, рассказывает ученик)

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.

Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста - представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Там не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов.

(Слайд 4, рассказывает учитель)

Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным. Кроме того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом.

Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : “Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога”. Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это- двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: “Все, что ты не терял. . .”, то вывод стал бы логически безупречным.

Познакомимся с некоторыми интересными софизмами: (Слайд 5-11)

“Все числа равны между собой”. (Слайд 5)

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а -2ab+b = b -2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)2 = (b-а)2.

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно

a=b.

“Единица равна двум”. (Слайд 6)

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6+ ,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т.е.

(1-) =(2- )

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1- =2-

откуда следует, что

1=2.

“Неравные числа равны”. (Слайд 7)

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-b = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим

(а-b)² = c(a-b),

a раскрыв скобки, придем к равенству

a²-2ab + b² = = ca-cb,

из которого следует равенство

а²- аb - ас = аb -b² -bc.

Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-b-с), получаем, что а=b,

другими словами, два неравных между собой произвольных числа а и b равны.

Разбор софизма: Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откуда а-b-с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а-0= b-0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется путем деления обеих частей (1) на равное нулю число а-b-с = 0. Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство а 0 = b 0 выполняется при любых а и b. Поэтому вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны, неверен.

“Спичка вдвое длиннее телеграфного столба”

Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и  a   обозначим через c.

Имеем b - a = c, b = a + c.

Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b² - ab = ca + c².
Вычтем из обеих частей bc. Получим: b²- ab - bc = ca + c² - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c),

откуда: b = - c, но c = b - a,

поэтому b = a - b, или a = 2b.

Где ошибка???

В выражении b(b-a-c)= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0. Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Катет равен гипотенузе.

С = 90^о, ВD - биссектриса СВА, СК = КА, ОК СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВD, ОМ АВ, ОL ВС.

Имеем:

LВО =МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, КОА=ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые),

ОАК = МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.

“Один рубль не равен 100 копеек”. (Слайд 10)

1 р. =100 коп.

10 р. =1000 коп.

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10 р. =100000 коп., откуда следует:

1 р. =10000 коп.

“Два умножить на два будет пять”. (Слайд 11)

2*2=4

4/4=5/5, вынесем за скобки слева 4, справа 5

4(1/1)=5(1/1), разделим левую и правую часть на (1/1), получим 4=5, откуда следует 2*2=5.

Математика дисциплинирует ум, учит логическому мышлению. Удивительное сравнение можно сделать, основываясь на математических понятиях. Например, Л.Н.Толстой сделал такое сравнение: “Человек-это дробь. Числитель - это достоинства человека, знаменатель – это оценка человеком самого себя. Увеличить свой числитель не во власти человека, но всякий может уменьшить свой знаменатель – своё мнение о самом себе, а этим уменьшением приблизить себя к совершенству.”

А теперь… Встречаем гостей! К нам пожаловали самые мудрые из мудрых! Старейшины нашей школы, учащиеся 11, заметьте, М-класса! Встречайте!

За годы обучения в лицее они достигли совершенства не только в счёте, но и овладели великими тайнами числа, о которых нам сейчас и поведают.

(Слайд 12)

Гость 1:

Знаю я одно интересное число 6174, о нем вам и хочу рассказать.

Выбрать любое четырехзначное число, в котором не все цифры одинаковые. Расположить цифры сначала в порядке убывания, затем, переставив их в обратном порядке, образовать новое число. Вычесть новое число из старого. Повторяя этот процесс с получающимися разностями (не более чем за семь шагов) получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя.

Производя вычитания нули следует сохранять.

Примеры:

4321 - 1234 = 3087

8730 - 0378 = 8352

8532 - 2358 = 6174.

1100 - 11 = 1089

9810 - 189 = 9621

9621 - 1269 = 8352

8532 - 2358 = 6174.

(Слайд 13, гость 2):

А вот еще одно интересное число - 145.

Возьмем любое натуральное число и вычислим сумму квадратов цифр. С полученным числом повторим операцию. Будем поступать таким же образом и далее.

Тогда, если процесс не приведет к единице, то получим число 145, после которого появляется цикл: 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89.

Примеры:

1118= 67= 85= 89= 145;
11118= 68= 100= 1;
123=14 =17= 50= 25= 29= 85= 89=145.

(Слайд 14, гость 3)

А я знаю циклическое число 142857.

При умножении числа 142857 на числа от 1 до 6 получается произведение, записанное теми же цифрами, переставленными в циклическом порядке:

142857 x 1 = 142857;
142857 x 2 = 285714;
142857 x 3 = 428571;
142857 x 4 = 571428;
142857 x 5 = 714285;
142857 x 6 = 857142.

Что интересно, если умножить 142857 на 7, то получится число 999999.

(Слайд 15, гость 4)

А кроме интересных чисел, существуют еще и интересные утверждения о числах:

• Любое нечетное число можно представить в виде разности квадратов двух чисел.

23 = 144 - 121
25 = 169 - 144
27 = 196 - 169

• Любое натуральное число, кратное 4, можно представить в виде разности квадратов двух чисел.

44 = 144 - 100
40 = 121 - 81
36 = 100 - 64

• Любое натуральное число, дающее в остатке 1 при делении на 4, можно представить в виде суммы двух квадратов.

45 = 36 + 9
41 = 25 + 16
37 = 36 + 1

Гость 1:

А еще мы умеем делать фокусы с числами. Вот, например, я умею отгадывать задуманные вами числа.

1. Задумайте число от 1 до 20.

2. Прибавьте к нему 5.

3. Результат умножьте на 3.

4. От того, что получилось, отнимите 15 и запомните ответ.

5. Если вы назовете мне ответ, я скажу, какое число вы загадали.

(Для этого, названный ответ нужно разделить на 3. Получится число, задуманное зрителем.)

Гость 2:

Я великий математик. Могу мгновенно сложить в уме три многозначных числа.

1. Запишите на доске любое многозначное число.

2. Теперь я напишу еще два любых числа.

3. Ответ я уже знаю. Получиться… Проверьте!

(Первое число пишет зритель, второе ты сам, любое из стольких же цифр, а третье число такое, чтобы каждая цифра в сумме с соответствующей цифрой второго числа давала бы девять; сумма этих трех чисел вычисляется легко: в ней будут цифры первого числа в том же порядке, только последняя цифра будет на 1 меньше и эта 1 ставится в самом начале вычисляемой суммы.)

(Cлайд 16)

Учитель: Существует еще такая интересная наука – нумерология.

Нумерология – это наука о числах. Нумерология также имеет еще одно распространенное название – Магия Чисел. По своей концепции она очень схожа с такой наукой древности, как астрология.

Своими корнями эта наука уходит в глубокую древность – еще первобытные племена пользовались числами. Люди осознанно или не осознанно подчиняются нумерологии. Ярким примером тому служат бытующие в народе суеверия, например: цветов в букете должно быть нечетное число, повторять нужно три раза, или же пугающее всех число “13”, 666 – число Дьявола. Можно привести еще множество подобных примеров.

Люди занимающиеся нумерологией могут высчитать для каждого человека число его судьбы, имени, души, числа которые несут данному человеку удачу или невезение, и даже могут определить что сулит номер вашей автомашины. Я предлагаю вам сейчас посчитать что обозначает номер машины ваших родителей или знакомых, а может быть это будет номер машины бабушки и дедушки.

(Слайд 17):

Для определения нумерологического индекса автомобильного номера нужно найти сумму всех цифр, входящих в него, а затем сократить ее до одиночной цифры.

Например, номер машины: В 836 АХ

Находим сумму (буквы, входящие в номер, не учитываются): 8+3+6=17=1+7=8

Таким образом, индекс равняется 8.

(Слайд 18): Расшифровка полученных результатов. Учащиеся ищут получившееся у них число и читают, что оно обозначает.

1. Ваш автомобиль предназначен для деловых поездок за границу и заключения крупных контрактов.

2. Эта машина предназначена для объезда и проверки различных объектов.

3. Все вопросы, связанные с получением и дачей кредитов, — вот сфера деятельности машины-“тройки”.

4. Такой автомобильный номер полезно иметь людям творчества: он укрепит их материальное положение и позволит спокойно создавать свои шедевры.

5. Это машина путешествий. Смело отправляйтесь на ней отдыхать и развлекаться.

6. Хотите гарантировать себе спокойную обстановку в семье? Тогда почаще сажайте все свое семейство в эту машину и совершайте с ним кратковременные поездки.

7. “Семерка” — число одиночек. Тем, кому проще зарабатывать деньги, работая в одиночестве, нужно обзавестись машиной с таким индексом.

8. Это автомобиль для работников сферы недвижимости. Разъезжая на нем, вы сможете заключить много выгодных сделок и существенно пополнить свой кошелек.

9. Номер этой машины благоприятствует работникам сферы правосудия. Если вам предстоят также частые поездки в общественные учреждения, постарайтесь обзавестись автомобилем с таким номером.

Учитель:

Закончился уже 20-й век.
Куда ж стремится человек?
Изучены и космос, и моря,
Строенье звёзд и вся земля!!!
Но математиков зовёт известный лозунг:
“Прогрессио – движение вперёд!”

(Cлайд 19)

Спасибо всем за внимание!!! До новых встреч!!!

Литература

1. А.Г. Мадера и Д.А.Мадера, “Математические софизмы”, М., “Просвещение”, 2003 г.
2. Обреимов В.И., , “Математические софизмы”, СПб,1989 г.
3. http://www.astrolive.org (интересные числа, нумерология).