Средняя линия треугольника

Разделы: Математика

Цель урока: ознакомить обучающихся с теоремой о средней линии треугольника и свойством медиан треугольника

Задачи:

Обучающие:

– сформировать навык применения теоремы о средней линии треугольника и свойства медиан треугольника при решении задач;
– совершенствовать навыки решения задач на применение теорем подобных треугольников.

Развивающие:

– развивать внимание, логическое и математическое мышление, познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели; умение анализировать, сравнивать, делать выводы;
– развивать у учащихся математические коммуникативные компетенции.

Воспитательные:

– воспитывать: трудолюбие, целеустремленность, доброжелательное отношение друг к другу, чувство сотрудничества и взаимопомощи;
– побуждать учеников к самоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Тип урока: урок изучения нового.

Используемые технологии: проблемное обучение, КСО.

Формы учебной деятельности учащихся: индивидуально-групповая.

Дидактический материал: слайды с задачами.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран.

Продолжительность урока: 40 мин.

План урока:

  1. Организационный момент(1 мин.).
  2. Анализ контрольной работы (3 мин.)
  3. Актуализация знаний учащихся (6 мин.)
  4. Изучение нового материала (8 мин.)
  5. Первичное осмысление и применение нового материала к решению задач (20 мин.)
  6. Домашнее задание (1 мин.).
  7. Подведение итогов урока (1 мин.)
  8. Рефлексия учащихся.

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин.).

Психолого-педагогический этап, приветствие детям.

Объявление ученикам цели и темы урока.

II. Анализ контрольной работы (3 мин.).

а) сообщить общий результат выполненной работы.
б) обсудить идею решения задач, с которыми не справились большинство учащихся (чертежи и данные задач спроецированы на доску при помощи мультимедийного проектора).
в) предложить самостоятельно выполнить работу над ошибками дома.

III. Актуализация знаний учащихся (6 мин.).

Ученикам предлагается решить задачи на применение темы “подобие треугольников” с целью их подготовки к восприятию нового материала. На экран с помощью мультимедийного проектора выведены чертежи и данные к задачам, предлагаемым для устного решения.

Задача 1.

Дано:

CD = 4, AD = 8,

CE = 5, BE = 10.

Доказать:

1) СDE CAB;

2) AB || DE.

Доказательство:

Фронтальный теоретический опрос.

После решения первого задания ученикам предлагается ответить на вопросы:

  1. Дайте определение подобных треугольников.
  2. Сформулируйте признаки подобия треугольников.
  3. Какие прямые называются параллельными ?
  4. Назовите признаки параллельности прямых.

Задача 2.

Дано:

ABCD – трапеция.

Доказать:

а) BO : OD = CO : OA;
б) DO : BO = 2, если BC = AD / 2

Доказательство:

а) Рассмотрим BOC и DOA.

1.

2. BO:OD = CO:OA, что и требовалось доказать.

б) 1. Так как BOC DOA, то

2. BC = DO : BO = 2, что и требовалось доказать.

IV. Изучение нового материала (8 мин.).

1. Учитель предлагает ученикам:

а) построить в тетради треугольник: первому варианту – тупоугольный; второму варианту – прямоугольный; третьему варианту – остроугольный;
б) ввести обозначение этого треугольника;
в) отметить середины двух любых его сторон и обозначить их;
г) соединить полученные точки отрезками.

Учитель объясняет ученикам, что полученный ими отрезок называют средней линией треугольника и задает вопросы :

– Почему он так назван?

- Используя принцип построения, попробуйте сформулировать определение средней линии.

– Сколько средних линий можно построить в треугольнике?

2. Творческое задание. (Работа осуществляется в группах по 4 человека с последующим обсуждением решения задания. В каждую группу входят ученики, имеющие в своих тетрадях разные варианты построения треугольников). Ученикам предлагается исследовать, какими свойствами обладает средняя линия треугольника и выполнить следующие задания (задания спроецированы на доску при помощи мультимедийного проектора):

Задания для индивидуального выполнения

а) Найдите отношение средней линии треугольника к стороне, напротив которой она построена.
б) Проанализируйте результаты и рисунки каждого члена группы и попробуйте выдвинуть гипотезы, дать им теоретическое обоснование.

Подведение итогов выполненной работы производится в устной форме.

3. Оформление теоремы о средней линии треугольника с доказательством на доске и в тетради учащихся.

Теорему о средней линии треугольника по готовому чертежу, выполненному на обратной стороне доски, устно доказывает один из учеников класса. Затем второй ученик с целью развития математической грамотности и культуры письма оформляет доказательство данной теоремы на доске, а остальные ученики – в своих тетрадях.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано: ABC, MN – средняя линия.

Доказать:

1) MN || AC;
2) MN = AC : 2.

Доказательство:

1. MBN ABC, т.к. BM : BA = BN : BC = 1 : 2, B – общий.

2. 1 = 2 => MN || AC

3. MN : AC = BM : BA = 1 : 2 => MN = AC : 2, что и требовалось доказать.

V. Первичное осмысление и применение нового материала к решению задач (20 мин.).

1. Ученикам предлагается, применяя полученные ими знания по новой теме, решить задачи по готовым чертежам, проецируемым на доску при помощи мультимедийного проектора.

Задача 1. (предлагается решить устно)

а) Дано:

BE = EA, BF = FC,

EF = 3,5 см

Найти: CA.

Ответ: 7 см.

б) Дано:

BE = EA, BF = FC,

CA = 11 см

Найти: FE.

Ответ: 5,5 см.

Задачу № 2 учитель предлагает решить самостоятельно, записав решение в тетрадь. Трое учащихся, решившие задачу первыми, сдают тетрадь учителю для проверки. Дальнейшая проверка решения задачи осуществляется при помощи мультимедийного проектора.

Задача 2.

Дано: ABC,

AB = 18 см,

BC = 22 см,

AC = 24 см,

AK = KB, BM = MC, AN = NC.

Найти : P KMN.

Решение.

Ответ : 32 см.

Задача № 3 ( ученики решают устно)

Дано: АВС

BE = EC, AK = KC

Р ECK = 15,5 см.

Найти: Р АВС

(Ответ: 31 см)

2. Творческое задание.

Ученикам, работающим в группах по 3-4 человека, предлагается выполнить творческое задание.

Задание. Определите, каким свойством обладают медианы в треугольнике.

Каждой группе дается карточка с указаниями для ее выполнения.

Указания для решения задачи:

  1. Постройте треугольник ABC.
  2. Постройте медианы BB1 и AA1. Обозначьте точку пересечения медиан буквой O
  3. Соедините точки A1 и B1 отрезком. Что вы можете сказать о треугольниках AOB и A1OB1 ?
  4. Докажите, что точка О делит каждую из медиан AA1 и BB1 в соотношении 2:1, считая от вершины.
  5. Постройте третью медиану CC1. Докажите, что она проходит через точку пересечения первых двух и делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
  6. Анализируя решение задачи, сделайте соответствующий вывод.

Ученики, используя данные указания, поэтапно решают задачу и самостоятельно делают вывод, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

После того, как учащиеся закончили решение задачи, один из учеников доказывает выведенное им утверждение у доски (чертеж к задаче, со всеми необходимыми дополнительными построениями проецируется на экран при помощи мультимедийного проектора).

Учитель доводит до сведения учащихся, что данное утверждение называется свойством медиан треугольника и широко используется при решении задач.

3. Устное решение задачи.

С целью закрепления свойства медиан треугольника ученикам предлагается устно решить задачу, условие и чертеж к задаче спроецированы на экран.

Задача.

В треугольнике MNL медианы MM1, NN1 и LL1 равные соответственно 12 см, 6 см и 9 см, пересекаются в точке O. Найти MO+ON+LO

(Ответ: 18 см).

VI. Домашнее задание (1 мин.).

Домашнее задание: п.62, вопросы 8,9, № 566, 567, 570.

Дается рекомендация по его выполнению.

VII. Подведение итогов урока (1 мин.).

Оценивается работа учащихся.

VIII. Рефлексия

1. Сегодня на уроке я . . .

– научился …
– было интересно …
– было трудно …
– мои ощущения …

2. Поставьте пожалуйста точку под рисунком, соответствующим вашему настроению.