Программа элективного курса "Поисково-исследовательские методы решения задач по геометрии". 9-й класс

Пояснительная записка

1. Категории учащихся.

Данный курс предназначен для учащихся 9 классов, интересующихся геометрией. Курс рассчитан на 17 часов и позволяет учащимся ответить на вопрос “Могу ли я и хочу ли углублено изучать математику?”. Данный курс освещает намеченные, но не проработанные в общем курсе школьной геометрии вопросы.

Курс предполагает развитие математического мышления у учащихся через решение разнообразных задач, трудность которых заключается в нестандартном подходе. Это позволит формировать умения и навыки по решению задач на комбинацию нескольких геометрических фигур.

Такие навыки необходимы для успешного изучения курса стереометрии в 10–11кл; для подготовки к ЕГЭ и поступлению в ВУЗ.

Усвоение предметного содержания курса и сам процесс изучения его становятся средствами, которые обеспечивают переход от обучения к самообразованию.

2. Цели курса.

А) Расширить возможности учащихся к адаптации в современном мире.
Б) Формировать у учащихся понимания роли математических знаний как инструмента, позволяющего выбрать лучший вариант действий из многих возможных.
В) Развивать интерес учащихся к изучению геометрии.
Г) Углубить и расширить базовые знания учащихся по геометрии.

3. Задачи курса.

А) Расширить научный кругозор учащихся.
Б) Обучить учащихся решению учебных и жизненных проблем, способам анализа информации.
В) Развивать логическое и творческое мышление учащихся.
Г) Развивать у учащихся навыки организации умственного труда и самообразования.
Д) Увеличить объём знаний по геометрии.

4. Формы и методы преподавания.

Основной формой обучения в рамках данного курса является поисково-исследовательская деятельность. При проведении занятий могут применяться традиционные формы организации учебной деятельности, такие как лекция и семинар. На первом месте такие организационные формы как выступление с докладом, дискуссия, различные формы индивидуальной и групповой деятельности учащихся.

5. Организация и проведение аттестации учащихся.

Чтобы проследить динамику усвоения учащимися материала необходимо иметь объективную информацию об уровне знаний и умений.

Однако особенность материала, составляющего данный курс, такова, что проведение аудиторных письменных работ не целесообразно.

Вместо самостоятельных работ учащимся предлагаются индивидуальные домашние задания, доклады в дополнение к лекционному выступлению учителя, домашние контрольные работы.

Также будет осуществляться текущий контроль (беседы с учащимися по изученным темам, активность и качество работы ученика на занятиях).

6. Предпологаемые результаты изучения курса.

В ходе изучения данного курса школьники получают:

А) Навыки решения задач повышенной сложности.
Б) Навыки самообразования.
В) Умение анализировать и выбирать оптимальный метод решения.

7. Структура программы.

Курсу отводится 1 час в неделю в течение 0,5 года, всего 17 часов.
Программа курса имеет блочную структуру.

Основное содержание курса.

Блок 1. Замечательные точки и линии в треугольниках.

Вопросы к уроку:

1. Свойства медианы, биссектрисы, высоты в треугольнике.
2. Формулы, связывающие длину медианы, биссектрисы со сторонами треугольника.
3. Радиус вписанной и описанной окружности.

Индивидуальное задание:

Доказать справедливость формулы: 1/ha+1/hb+1/hc=1/r,
где r – радиус круга, вписанного в данный треугольник, а ha, hb, hc – его высоты.

Групповые задания:

1. Если две биссектрисы углов треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
2. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Блок 2. Прямоугольный треугольник.

Сообщения учащихся:

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
2. Признаки подобия прямоугольных треугольников.
3. Расположение центров вписанной и описанной окружности в прямоугольном треугольнике.
4. Свойство медианы, проведённой к гипотенузе.

Групповые задания:

1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5см и12см. Найти катеты треугольника.
2. В прямоугольный треугольник с катетами a и b вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.

Блок 3. Площадь треугольника.

Вопросы к уроку:

1. Основные формулы площади треугольника.
2. Формула Герона.
3. Формулы площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружности.

Сообщения учащихся:

1. Понятие о равновеликих фигурах (треугольниках).
2. Расположение центра вписанной и описанной окружностей в различных треугольниках (остроугольном, тупоугольном, прямоугольном, равностороннем, произвольном).

Групповые задания:

1. Доказать, что для всякой точки внутри треугольника справедливо равенство где h-расстояние этой точки до соответствующей стороны.
2. В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна медиане BN. Найти площадь треугольника ABC, если AM=m, BN=n.

Блок 4. Подобие треугольников.

Сообщения учащихся:

1. Признаки подобия треугольников.
2. Подобие фигур произвольной формы.

Индивидуальное задание:

В треугольнике ABC проведены высоты AD и BE. Доказать, что треугольник ABC подобен треугольнику DEC.

Групповые задания:

1. Три окружности касаются попарно внешним образом. Две окружности имеют радиусы, равные 3, а одна 1. Найти площадь треугольника ABC, если A,B,C – точки касания.
2. Боковая высота равнобедренного треугольника делит его площадь в отношении 1 к
3. Определить меньшую из площадей, если основание треугольника 48.

Блок 5. Метрические соотношения в треугольнике и круге.

Сообщения учащихся: Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Индивидуальное задание: Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом в точке K, а их общая внешняя касательная касается окружностей в точках A и B. Определить стороны треугольника ABK.

Блок 6. Окружность. Свойства хорд, секущих и касательных.

Сообщения учащихся:

1. Углы, измеряемые с помощью дуг окружности:

а) вписанный угол;
б) углы с вершинами внутри круга;
в) углы с вершинами вне круга;
г) угол, образованный касательной и хордой.

2. Свойство секущей и касательной.
3. Свойство пересекающихся хорд.

Блок 7. Четырёхугольники. Теорема Птолемея.

Сообщения учащихся:

1. Основные сведения о четырёхугольниках. Выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.
2. Вписанные и описанные четырёхугольники.

Вопросы к уроку:

1. Формулы площади четырёхугольника.
2. Теорема Птолемея.

Индивидуальное задание:

На гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 3см и 4см построен квадрат, причём центр квадрата и вершина прямого угла лежат по разные стороны от гипотенузы. Найдите расстояние от центра квадрата до вершины прямого угла.

Блок 8. Задачи на построение треугольников и четырехугольников.

Индивидуальное задание:

Вписать в данную окружность трапецию по её высоте и боковой стороне.

Групповые задания:

1. Построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла, заключённого между ними.
2. Построить треугольник по высоте и двум медианам, проведенным из других вершин.

Блок 9. Урок-зачёт по решению планиметрических задач.

Оценка:

<3> – 7 баллов.
<4> – 8–10 баллов.
<5> – 11–13 баллов.

Вариант 1

1. Около окружности с диаметром 15дм описана равнобедренная трапеция с боковой стороной 17дм. Найти основания трапеции. (3 балла)

Ответ: 9дм, 25дм.

2. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 4см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если длина медианы равна 3см. (4 балла)

Ответ:

3. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16см, а расстояние от точки А до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от её центра на 5см. (5 баллов)

Ответ: 13см.

4. Площадь прямоугольника , а величина одного из углов образованного диагоналями равна . Найти стороны прямоугольника. (4 балла)

Ответ: и .

5. Две окружности касаются внешним образом, их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна . Определить периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей. (7 баллов)

Ответ: .

Вариант 2

1. Дана точка Р, удалённая на 7см от центра окружности с радиусом 11см. Через эту точку проведена хорда длиной 18см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р? (3 балла)

Ответ: 12см и 6см.

2. Прямые, содержащие боковые стороны равнобочной трапеции пересекаются под прямым углом. Найти длины всех сторон трапеции, если её площадь равна , а длина высоты равна 2см. (4 балла)

Ответ: 4; 8; ;.

3. Точка на гипотенузе, равноудалённая от обоих катетов делит гипотенузу на отрезки длиной 30см и 40см. Найти катеты треугольника. (5 баллов)

Ответ: 42см и 56см.

4. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5см и 20см. Найти биссектрису угла при основании треугольника. (4 балла)

Ответ: 6см.

5. Внутри прямого угла дана точка М, расстояния которой от стороны угла равны 4см и 8см. Прямая, проходящая через точку М отсекает от прямого угла треугольник с площадью . Найти катеты треугольника. (7 баллов)

Ответ: 20 и 10 или 5 и 40.

Вариант 3

1. Хорда окружности равна 10см. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой – секущая, параллельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12см. (4 балла)

Ответ: 6,25см.

2. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга равна S. Определить радиус этого круга, если угол при основании трапеции равен . (4 балла)

Ответ: .

3. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3см, а меньший катет 10см. (5 баллов)

Ответ: .

4. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом , если радиус вписанного угла равен см. (4 балла)

Ответ: .

5. Основания трапеции 4см, 16см. Найти радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют. (7 баллов)

Ответ: 4 и .

Вариант 4

1. В окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12см. и высотой 8см., проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключённой между сторонами треугольника. (4 балла)

Ответ: 3см.

2. Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной 12см., а расстояние между точками касания 14,4см. Определить радиус окружности. (4 балла)

Ответ: 9см.

3. Один из углов трапеции равен , а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10см., а одно из оснований – 8см. (3 балла)

Ответ: 3см.

4. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга равна S. Определить боковую сторону трапеции, если угол при основании равен . (5 баллов)

Ответ:

5. Около круга радиуса 3см. описан равнобедренный треугольник с острым углом . Определить стороны треугольника. (7 баллов)

Ответ: ; .

Вариант 5

1. В треугольнике основание равно 12см., один из углов при основании равен , сторона, лежащая против этого угла равна 28см. Определить третью сторону. (4 балла)

Ответ: 20см.

2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см. а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3см. Найти площадь этого треугольника. (4 балла)

Ответ: .

3. Основания трапеции равны a и b. Углы при большем основании равны и . Найти площадь трапеции. (3 балла)

Ответ: .

4. Стороны треугольника равны 13см, 14см и 15см. Найти отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов. (5 баллов)

Ответ: .

5. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 10см. и 12см. Найти радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4см. (7 баллов)

Ответ: 6,25.

Вариант 6

1. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой содержат 16см. и 44см. а непараллельные 17см. и 25см. (3 балла)

Ответ: .

2. Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5. Найти отношение площадей вписанного и описанного кругов. (4 балла)

Ответ: .

3. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24см. и 18см. (4 балла)

Ответ: и см.

4. В окружности с центром в точке O проведена хорда AB, пересекающая диаметр в точке M и составляющая с диаметром угол, равный . Найти OM если АМ=10см., ВМ=4см. (5 баллов)

Ответ: 6см.

5. Перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длинной 6см. и 15см. Разность длин сторон параллелограмма равна 7см. Найти длины сторон параллелограмма и его диагональ. (7 баллов)

Ответ: 10см.; 17см.; 21см. и см.

Литература

1. Санина Е.И. Обобщающее повторение геометрии. Тула, 2000.
2. Пособие по математике для поступающих во ВТУзы/ Под ред. Сканави М.И. М., 1998.
3. Зубелевич Г.И. Сборник задач московских математических олимпиад. М., 1971.
4. Пособие по математике для поступающих во ВУЗы/ Под ред. Яковлева Г. Н. М., 1981.