Пояснительная записка
В десятых – одиннадцатых классах любой школы имеется группа учащихся, которые глубоко интересуются математикой, любят решать интересные сложные задачи и стремятся получить углублённые знания по данному предмету. Для развития творческих способностей этих учащихся желательно заниматься с ними дополнительно. Одной из форм таких дополнительных занятий является кружковая работа.
На занятиях кружка “Математический гений” углубленно изучаются вопросы, предусмотренные программой базового курса, а также рассматриваются некоторые темы близкие к школьной программе.
Углубление реализуется на базе обучения методам и приёмам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление.
Тематика задач, как правило, не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный.
На занятиях кружка конспективно повторяются теоретические вопросы основных разделов школьной программы и предлагаются для решения и обсуждения задачи от простых до конкурсных и олимпиадных, с постепенным увеличением уровня сложности. Учащимся наряду с навыками логических рассуждений прививаются навыки эвристического мышления. Во время занятий кружка акцентируется внимание на тех вопросах, которые либо не рассматриваются в школьном курсе, либо на их изучение отводится недостаточное количество времени.
Для осознанного усвоения изучаемого материала особое внимание уделяется использованию деятельного подхода к обучению: практическим занятиям, групповой работе, знакомству с историческими фактами. В процессе занятий учащимся предлагается подготовить рефераты, исторические справки по отдельным темам курса, исследовательские работы на выбранные темы.
Программа занятий кружка рассчитана на два года, занятия проводятся еженедельно по два часа. Всего 158 часов.
Знания, полученные учениками на занятиях кружка, пригодятся учащимся для подготовки к единому государственному экзамену по математике и к успешному поступлению в вузы.
Занятие, как правило, состоит из двух частей: сначала разбирается заранее запланированная тема (вспоминается изученный ранее теоретический материал или изучается новый, рассматриваются различные способы решения задач на заданную тему, прослушиваются и обсуждаются сообщения учеников по вопросам истории
математики или рефераты на изучаемую тему), а затем идёт вторая часть занятия – индивидуальное или групповое решение учащимися предложенных им задач.
Во время прохождения второй части занятия очень важно, чтобы учитель, консультируя учеников, не указывал им пути решения задачи, а наводящими вопросами подталкивал их самих к поиску этого пути.
В первый год (79 часов занятий) учащиеся знакомятся с нестандартными приёмами решений уравнений и неравенств, интересными алгебраическими задачами, приобретают опыт работы над рефератами, выполняют практические работы.
Во второй год занятий (79 часов) учащиеся продолжают осваивать новые нестандартные приёмы решения алгебраических задач, повторяют курс планиметрии, решая опорные задачи по геометрии 7 – 9 классов и применяют эти знания для изучения стереометрии и решения геометрических задач повышенной сложности, продолжают накапливать опыт выполнения практических работ, написания рефератов, выступления на научных конференциях.
Цели программы:
- повышение уровня математической подготовки;
- развитие логического мышления, математической интуиции и потенциальных творческих способностей каждого учащигося;
- формирование представления о математике как общекультурной ценности и возможности использования математических знаний в различных сферах деятельности;
- подготовка учащихся к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике, продолжению образования в вузе.
Задачи занятий
- Образовательные задачи:
- знакомство учащихся с новыми нестандартными подходами к решению различных задач;
- развитие алгоритмической культуры учащихся;
- расширение объёма знаний учащихся;
- формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности;
- формирование навыков применения математических знаний на практике;
- обобщение знаний по планиметрии, подготовка учащихся к применению этих знаний для решения задач по стереометрии.
- Задачи развития:
- развитие самостоятельного мышления, умения находить разные способы решения одной задачи и выбирать из этих способов наиболее рациональный;
- развитие умения проводить обобщения, делать логические выводы, развитие интеллекта;
- развитие речи учащихся, умения объяснять и обосновывать своё решение;
- развитие воли, выработка умения преодолевать трудности.
- Воспитательные задачи:
- воспитание воли, укрепление самодисциплины;
- воспитание честности;
- эстетическое воспитание.
Формы занятий
- Дискуссии на основе эврестического метода обучения.
- Решение заданий для самостоятельной работы в форме индивидуальной, групповой работы с последующим обсуждением.
- Беседы.
- Лекции.
- Рефераты.
- Тесты.
- Работа с учебной и справочной литературой.
- Доклады.
- Выполнение индивидуальных заданий с последующим выступлением на семинаре.
- Решение практических задач.
- Исследовательские методы.
- Конференции.
Ожидаемые результаты
- Повышение интереса учащихся к математике и к учёбе вообще.
- Усиление способности к логическому мышлению.
- Развитие творческого отношения к решению различных задач.
Способы проверки ожидаемых результатов
- Выступление на школьной математической конференции.
- Участие в математических олимпиадах и конкурсах различного уровня.
- Успешная сдача ЕГЭ по математике.
- Успешная сдача вступительных экзаменов в вузы.
Содержание курса
Первый год обучения
Раздел 1. Преобразование числовых и алгебраических выражений.
Действия с рациональными числами, выраженными бесконечными периодическими дробями. Действия с иррациональными числами, сложными радикалами. Бином Ньютона. Разность степеней с натуральными показателями, суммы степеней с натуральными показателями. Метод неопределённых коэффициентов.
Раздел 2. Числовые последовательности.
Понятие последовательности, числовой последовательности, прогрессии.
Арифметическая прогрессия: определение, свойства, примеры, формула n-го члена, формула суммы n слагаемых, применение при решении задач.
Геометрическая прогрессия: определение, свойства, примеры, формула n-го члена, формула суммы n слагаемых, применение при решении задач.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Применение при решении различных задач математики и естествознания (медицина, география, физика).
Решение уравнений, содержащих прогрессии в неявном виде.
Раздел 3. Уравнения и неравенства.
Равносильность уравнений. Уравнения – следствия. Целые рациональные уравнения. Возвратные уравнения. Замена переменой. Симметричные уравнения. Дробно – рациональные уравнения. Нестандартные приёмы решения уравнений. Равносильные неравенства и неравенства – следствия. Метод интервалов. Уравнения и неравенства с модулем. Иррациональные уравнения и неравенства.
Раздел 4. Текстовые задачи.
Решение текстовых задач на движение, на производительность труда, на проценты, на сплавы, на концентрацию, задачи с целочисленными переменными. Решение различных практических задач. Викторина на решение текстовых задач.
Раздел 5. Тригонометрия.
Повторение основных понятий тригонометрии, тригонометрического круга, основных тригонометрических формул, формул приведения. Преобразование тригонометрических выражений, доказательство тригонометрических тождеств. Табличные значения тригонометрических функций, вычисление значений тригонометрических функций различных аргументов.
Решение практических задач с помощью тригонометрии. Обратные тригонометрические функции. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Способы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
Раздел 6. Решение задач с параметрами.
Понятие параметра, основные типы задач с параметрами, канонический вид линейного уравнения с параметром, запись ответа в задачах с параметром, решение дробно – рациональных уравнений с параметром, исследование корней линейных уравнений с параметром и их количества.
Канонический вид квадратного уравнения с параметром, исследование количества корней квадратных уравнений с параметром, решение дробно – рациональных уравнений, сводящихся к квадратным.
Исследование корней квадратного трёхчлена. Основные методы решения систем линейных уравнений, количества решений системы в зависимости от коэффициентов, решение систем с параметрами. Исследование и решение линейных и квадратных неравенств с параметрами, решение неравенств на заданных интервалах. Решение различных типов задач с параметрами из вариантов вступительных экзаменов в вузы и ЕГЭ.
Раздел 7. Конференция.
На конференции заслушиваются и обсуждаются исследовательские работы участников кружка над которыми они работали в течение года.
Второй год обучения
Раздел 1. Решение задач с модулем.
Определение, свойства модуля, доказательство основных свойств. Геометрический смысл модуля. График и свойства функции f(x)=IxI. Схемы решения линейных уравнений и неравенств с модулем. Метод интервалов. Метод интервалов при решении рациональных уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства со “сложным” модулем. Иррациональные уравнения и неравенства с одним и несколькими модулями. Основные типы и способы их решения. Построение графиков функций, содержащих модуль с использованием определения модуля. Решение уравнений и неравенств с двумя переменными, содержащими модуль.
Раздел 2. Обратные функции.
Определение обратной функции, примеры обратных функций.
Раздел 3. Показательная и логарифмическая функция.
Определение логарифма, его свойства. Показательная и логарифмическая функции и их свойства. Преобразование логарифмических выражений. Способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с модулями, с параметрами, комбинированных. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств из вариантов ЕГЭ. Выполнение контрольного теста.
Раздел 4. Элементы аналитической геометрии.
Метод координат. Вычисление расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве, вычисление координаты середины отрезка, деление отрезка в заданном отношении. Уравнения различных линий на плоскости.
Раздел 5. Векторы.
Определение вектора на плоскости и в пространстве, правила действий с векторами. Решение задач.
Раздел 6. Геометрия.
Обобщение курса планиметрии через решение опорных задач. Решение комбинированных задач. Обобщение курса стереометрии через решение опорных задач. Решение геометрических задач из вариантов ЕГЭ.
Раздел 7. Конференция.
Выступления участников кружка с исследовательскими работами за текущий учебный год или два последних года.
Обсуждение выступлений.
Учебно-тематические планы представлены в Приложении 1.
Методическое обеспечение
Занятия на кружке должны быть не только доступными и достаточно сложными, но обязательно интересными. Это достигается подбором специальных заданий, постепенным увеличением их сложности, а также использованием различных форм организации деятельности учащихся, которые обеспечивают комфортный характер обучения. Например, предлагается широко использовать групповую работу, практикумы, лабораторные работы, творческие работы. Так, к числу последних можно отнести сообщения об исследовании корней квадратного трёхчлена или решение одной геометрической задачи многими способами, самостоятельно найденными учащимися; доклады об истории создания логарифмов, о возникновении и развитии тригонометрии и так далее.
Особое внимание следует уделять развитию умений учащихся самостоятельно приобретать новые математические знания. Каждое занятие направлено на развитие умений учащихся организовывать работу на отдельных этапах математической деятельности. Найденные в процессе работы приёмы и способы выполнения различных действий, а также выявленные особенности математического познания отдельно обсуждаются с учащимися с целью привлечения к ним внимания всех присутствующих на занятиях.
Подобранные для решения на занятиях кружка и для домашних заданий задачи, направленные на развитие мотивации изучения математики, позволяют учащимся выявить и оценить свои способности к математике. Набор задач включает в себя задания различного уровня сложности. Содержание для каждого занятия подбирается таким образом, чтобы учащиеся любого уровня могли активно включиться в
учебно – познавательный процесс и максимально проявить себя. При подготовке к занятиям кружка можно пользоваться методическими разработками лабораторных работ, семинаров, практикумов, приведенных в книгах (списки рекомендуемой литературы для педагога и для учащихся – Приложение 2).
При проектировании исследовательской деятельности учащихся в качестве основы берётся модель и методические исследования, разработанные и принятые в науке за последние несколько столетий:
- постановка проблемы;
- изучение теории, посвященной данной проблеме;
- подбор методик исследования и практическое овладение ими;
- сбор собственного материала;
- анализ и обобщение собранного материала;
- собственные выводы.
Занятия кружка надо стараться проводить так, чтобы все учащиеся занимались с интересом, участвовали в обсуждении и решений предложенных задач и поднимались на новую ступень познания.
Приёмы и методы организации учебно-воспитательного процесса.
Подведение итогов по каждой теме осуществляется в виде тестов, семинаров, практикумов – исследований. В конце каждого года итоги самостоятельных разработок и исследований учащихся подводятся на математической конференции.