Цели:
Обучающая:
- Познакомить с комбинаторными задачами,
- Научить решать простейшие задачи с помощью схем.
Развивающая:
- Развивать логику.
Воспитывающая
- Воспитывать интерес к предмету.
Ход урока
- Орг. момент - 2-3 мин.
- Устная работа - 7-8 мин.
- Объяснение нового материала - 15 мин.
- Закрепление - 15 мин
- Подведение итогов и постановка д/з - 5 мин.
I . Орг. момент.
Проверить готовность класса к уроку, собрать тетради .
Эпиграф урока.
Учитесь думать, объяснять,
Учитесь мыслить, рассуждать,
Ведь в математике, друзья,
Без логики никак нельзя!
II. Устная работа.
1. Вычислите устно
15*6 100-19 60-11 :8 :3 :7 *19 +23 *15 +6 *4 -25 ? ? ?
2. Вместо некоторых цифр поставлены *. Можно ли сравнить числа?
а) 32** и 31** в) **** и *** б) *1** и 8** г) *5* и 1 **
3. Подумайте, по какому правилу составлен ряд чисел и найдите три следующих числа
а) 20, 22, 24:
б) 2, 4, 8, 16:
в) 1, 4, 9, 16:
III. Объяснение нового материала
Сегодня мы познакомимся с новыми задачами - комбинаторными.
Живут эти задачи в особом разделе математики, который называется комбинаторика.
Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно составить.
Рассмотрим задачу.
Задача 1.
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.
Решение.
В записи числа на первом месте (в разряде сотен) может стоять цифра 1 или 2
1
Или
2
На втором месте (в разряде десятков) в каждом случае также может стоять одна из двух цифр 1 или 2
На третьем месте (в разряде единиц) в каждом из полученных четырех случаев также можно записать либо 1, либо 2
Получим восемь чисел:
111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222.
Задача 2.
В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами можно это сделать?
Решение.
Президентом фирмы можно избрать одного из пяти человек:
Президент:
После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать одного из четырёх оставшихся членов правления:
Значит, выбрать президента можно 5-ю способами и для каждого из выбранного президента 4-мя способами можно выбрать вице-президента.
Т.о. общее число способов
5 * 4=20.
IV. Закрепление.
Задача 3.
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры о и 7 . Найдите сумму этих чисел и разделите её на 211.
Решение (коллективная работа).
- Какая цифра может стоять на первом месте? (выполняется схема на доске)
- На втором месте?
- На третьем?
700; 707;
770; 777;
(700 + 707+ 770+ 777) : 211 = 14.
Задача 4.(решить самостоятельно, используя схему)
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 5 и 7.
Ответ: 555; 557; 575; 577; 755; 757; 775; 777.
Задача 5.
В футбольной команде 5-го класса 7 человек. Члены команды выбирают капитана и вратаря.сколькими способами это можно сделать?
Решение.
- Сколько человек в команде?
- Какие варианты существуют? (капитан может быть вратарем и не может)
- Рассмотрим вариант, когда вратарь не может быть капитаном.
- Сколько вариантов выбора капитана существует? (7)
- Сколько существует вариантов выбора вратаря для выбранного капитана?(6)
- Сколькими способами можно выбрать капитана и
вратаря?
7 * 6 = 42. - Как изменится решение задачи, если вратарь может быть капитаном?
- Сколько способов выбора существует при этом
условии?
7 * 7 = 49.
V. Подведение итогов и постановка д/з.
С каким разделом математики мы сегодня познакомились?
Что такое комбинаторика?
Домашнее задание (раздается в распечатанном виде)
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0; 2; 4; 6; если цифры в записи числа не повторяются? Запишите все эти числа.
Для того чтобы открыть дверь подъезда, нужно набрать трёхзначный код замка. Сколькими способами можно выбрать код замка, если все его цифры должны быть различными?
Исторические сведения.
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в XVII веке. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике и др.
С задачами, которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы. Комбинаторные навыки оказались полезными в часы досуга. Со временем появились различные игры: нарды, шашки, шахматы, карты. В каждой из этих игр проходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
Но не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Ещё с давних пор дипломаты. Стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других стран пытались эти шифры разгадать. Позднее стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах.
Задачи, в которых идёт речь о тех или иных комбинациях объектов, называют комбинаторными.
Комбинаторика как наука стала развиваться параллельно с возникновением теории вероятностей, т.к. для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок.1499-1557), Г. Галилею(1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе "Об искусстве комбинаторики", опубликованной в 1666 году. Он же впервые ввел термин "комбинаторика". Значительный вклад в развитие комбинаторики внес JI. Эйлер.
В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика добилась новых успехов. Так, с помощью ЭВМ была решена комбинаторная задача, известная под названием "проблема четыpex красок": удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две страницы, имеющие общую границу, не будут окрашены в один и тот же цвет.
Литература.
- Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. Математика. Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. М.:Мнемозина.
- Л.П.Попова. Поурочные разработки по математике к ученому комплекту Н.Я.Виленкина 5 класс. Москва "Вако".2009