Решение иррациональных уравнений входит в стандарт общего образования, однако, все учителя математики знают, какой нелегкой является задача качественного обучения учеников решению иррациональных уравнений. Далеко не каждый ученик (а чаще в классе их вообще единицы) способен осознать и неукоснительно соблюдать тождественный переход от иррационального уравнения к системе рациональных условий. Ну а если решать иррациональные уравнения без соблюдения эквивалентных переходов, то, скорее всего, возникнут посторонние корни. Многие ученики ошибочно думают, что при решении иррациональных уравнений достаточно учесть область допустимых значений уравнения. Если же уравнение содержит несколько радикалов, у учащихся могут возникнуть затруднения в методах решения таких уравнений. Учитывая сложность восприятия учащимися данной темы, многие учителя рекомендуют (а иногда и просто требуют) выполнять проверку корней подстановкой в уравнение. Это, конечно, выход, если уровень подготовки учащихся невысок, уравнение не слишком сложное, корни рациональные, и задание не требует полного оформления решения, нужно дать только ответ (например, задачи типа В в ЕГЭ по математике).
В профильных же математических или физико-математических классах, такой подход неприемлем. Ученики поступали в профильные классы с целью получить глубокие знания, позволяющие им справляться с задачами повышенного уровня, к которым относятся и иррациональные уравнения. При обучении необходимо каждый раз при решении иррационального уравнения проговаривать логику решения, которая ведет к выписыванию системы рациональных условий. При решении каждого уравнения нужно обсуждать необходимость указания условия неотрицательности левой и правой частей уравнения перед возведением его в четную степень. А после возведения – обсуждать необходимость учета области допустимых значений уравнения. Нужно приучить ребят не бездумно использовать “схему решения”, а осознавать необходимость записи условий тождественного перехода при решении иррациональных уравнений.
В более сложных уравнениях, содержащих два и более радикала, радикалы разных степеней, особое внимание стоит уделить не только методам решения, но и наиболее эффективным способам решения. Например, чтобы избежать наложения условий тождественного перехода на разность радикалов при возведении в квадрат, нужно посоветовать перегруппировать уравнение таким образом, чтобы в левой и правой частях уравнения стояли неотрицательные выражения или суммы радикалов.
В профильных классах необходимо научить ребят решать сложные иррациональные уравнения методом замены, при этом не забыть обратить внимание на ограниченность множества значений радикалов четной степени.
Уравнения, содержащие двойные радикалы часто приводят с помощью замены переменной к полному квадрату под знаком квадратного корня, что неизбежно приведет к появлению модуля.
В профильных классах обязательным будет и обучение учащихся решению уравнений, представляющих собой произведение сомножителей, один из которых содержит переменную под знаком радикала четной степени. Такие уравнения достаточно часто предлагаются в качестве задания С3 в ЕГЭ по математике. Типичная ошибка многих учащихся при решении уравнений такого типа заключается в том, что они забывают проверить на ОДЗ корни сомножителя, не содержащего радикал. Именно этим и определяется повышенный уровень сложности этих уравнений.
Изучение решений иррациональных уравнений начинается в 9-х классах. Считаем, что именно в 9-ом классе учащиеся профильных классов должны получит прочное усвоение логики решения иррациональных уравнений, приемов и методов их решения, навыков эффективного выбора стратегии решения. Очевидно, качество обучения в определенной степени зависит от качественной проверки знаний, умений и навыков учащихся. Идеальным является такой вид контроля ЗУН, при котором будут проверяться все элементы обучения, задания расположены в порядке возрастания сложности, а набор заданий обеспечит “слабому” ученику, но старавшемуся усвоить этот непростой учебный материал, “уверенную тройку”, ну а “сильный” ученик сможет продемонстрировать свои знания на “отлично”. При этом хорошо бы иметь большое количество вариантов данного вида контроля знаний, ведь учителю важно проверить знания каждого ученика, а не двоих – троих в нескольких экземплярах. Это в идеале. А на деле, часто учитель просто не имеет достаточно времени для методической работы по составлению качественной зачетной работы по каждой теме, тем более работая в профильных классах (нужно составлять практически все работы для контрольных мероприятий). Кроме того, проверить работу класса в восьми вариантах, займет значительно больше времени, чем в двух. И эти обстоятельства мешают учителю качественно контролировать знания, умения и навыки учащихся.
Учитывая важность и сложность обучения иррациональным уравнениям в классах физико-математического профиля, мы предприняли попытку создания качественного продукта по контролю ЗУН учащихся по иррациональным уравнениям. Его можно условно назвать “Зачет по иррациональным уравнениям”. Зачетная работа разработана в 16-ти вариантах, каждый содержит по 8 уравнений разного типа: от простого к сложному. Все варианты одинаковой сложности, проверяют одни и те же элементы обучения. Работа рассчитана на 1 академический час. Однако при полном оформлении решения каждого уравнения она может занять большее количество времени. Чтобы сократить время на выполнение работы и упростить проверку предлагается провести этот зачет в полутестовой форме. Т.е. учащимся выдается двойной лист для черновика, на котором (и это обязательно оговаривается учителем перед началом работы) ученик обязательно должен показать логику решения (систему тождественного перехода, при необходимости ОДЗ, замену переменных и пр.). Простые выкладки можно не выполнять, проверять условия устно, сразу записывать ответ. Ответы ученики записывают в бланк ответов и сдают вместе с черновиком учителю. С учетом большого числа вариантов тестовый контроль знаний не повлияет на качество проверки, кроме того при проверке учитель обязательно просматривает черновик. Именно просматривает, а не проверяет. Если все схемы решения выписаны правильно, а ответ в бланке верный, значит это задание выполнено безошибочно. Мы тщательным образом подбирали примеры так, чтобы верный ответ не был получен случайно, чтобы условие тождественного перехода влияло на отбор корней. В некоторых заданиях требуется записать сумму полученных корней. Сделано это намеренно. Это приучает учащихся внимательно читать условие, осознавать и понимать его. Зачастую этим условием мы проверяли, не произошла ли потеря решения (например, при “сокращении” уравнения на переменную величину).
Таким образом, мы предлагаем качественный, на наш взгляд, “Зачет по иррациональным уравнениям” для учащихся 9-х классов математического и физико-математического профилей. В приложении представлены 16 вариантов зачета, таблица с ответами, а также образцы бланков для записи ответов.
Данная методическая разработка прошла неоднократную апробацию в классах физико-математического профиля ГБОУ Лицей №1523, получила высокую оценку коллег, многие их которых используют ее в своей педагогической деятельности. Можно с уверенностью сказать, что данный вид контроля настраивает учащихся на серьезную проработку сложной темы и обеспечивает качественный контроль знаний, умений и навыков по иррациональным уравнениям.