Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Название ситуации учения_обучения:

Линейные уравнения с двумя переменными и их системы.

Номинация: Знаки прошедшего: увидеть движение там, где его казалось бы нет.

Область знаний, на материале которой разработан сценарий: математика

Форма проведения занятий: урок

Возраст учащихся: 7-й класс

Единица содержания: 

Способы решения линейных неравенств с двумя переменными и их систем. Через мышление и коммуникацию, осуществляя ряд действий по доращиванию способа ( от решения линейных уравнений с двумя переменными и простейших неравенств до решения линейных неравенств с двумя переменными и их систем). Тип содержания – мыследеятельностный. По традиционной методике даются готовые способы решения неравенств с двумя переменными и их систем. При использовании МДП ученики сами выводят способы решения линейных неравенств с двумя переменными и их систем.

1.Схема единицы содержания в соответствии с названным типом содержания: 

Место осваиваемой единицы содержания в системе других единиц типа содержания. Чем обеспечено освоение выбранной единицы? 

Учащиеся владеют двумя методами решения линейных уравнений с двумя переменными: аналитическим - метод перебора и графическим. При применении этих методов к решению неравенств и их систем, учащиеся сталкиваются с ситуацией "сбоя" и необходимостью "дорастить" имеющийся способ, т.е., осуществить переход от поиска множества решений уравнения к поиску нахождения областей решений неравенств и их систем. Этот материал является основой для изучения сложных тем старшей школы, ВУЗа, используется в прикладных науках, дает представление о графическом методе решения задач линейного программирования с двумя переменными.

Технология, обеспечивающая освоение единицы содержания:

ЗФО учебного процесса, суть которой состоит в том, что учащимся учителем предлагаются задания, внешне похожие на предыдущие, но требующие другого способа решения. Дети самостоятельно ищут пути решения задач, имея для этого достаточно знаний, приобретенных на предыдущих уроках. Применяя которые в данной нестандартной ситуации приходят к правильным выводам. В результате открывают для себя новое в исследуемом предмете.

 Схема описанной технологии или ее фрагмента в том виде, в котором она реализуется в сценарии:

 Этапы занятия, необходимые для освоения единицы содержания по данному сценарию:

Задание, создающее ситуацию успеха: решение уравнения у-х=2 по группам аналитическим (метод перебора), и графическим методами (выражают одну переменную через другую, строят график по двум точкам).

Задания, создающие ситуацию сбоя:а) решение неравенств с двумя переменными у-х>2(у-х2), у-х<2(у-х2) и системы неравенств: у>х+2, у6, х>1.

Идет доращивание нового способа:

1.соотносят смысл знаков неравенств с местом на графике 2. определяют “вид” прямой в соответствии с их принадлежностью (сплошная или пунктирная); 3.Находят отличия между найденным множеством решений уравнения и множеством решений неравенств и их систем на графике, определяя область решений. Самостоятельно закрепляют полученные знания.

Рефлексия. Дети объясняют, почему не сработал известный способ, как получили новый, в чем его отличие от известного.

Учебный материал:

Решите уравнение у-х=2. У:Какие способы использовали? Решите неравенства: у-х>2 (у-х<2). У:Почему заштриховали верхнюю(нижнюю) часть плоскости? Решите неравенства: у-х2(у-х2).Чем отличаются данные неравенства? Тогда что можно сказать о точках прямых, являющихся графиками уравнения у=х+2? Самостоятельно изобразите множества точек, которые задают на координатной плоскости неравенства: у<-0,2х+3;

у-х+1. Задача. "Пусть себестоимость единицы товара выражается формулой у=х+2 (где х-стоимость материала, 2-стоимость работы, потраченной на производство единицы товара). Стоимость материала меняется в зависимости от качества материала (чем выше качество, тем дороже материал). Но товар надо продавать дороже себестоимости, чтобы продавцу было выгодно для получения прибыли. После исследования рынка продавец выясняет, что товар больше 6 не продается. Какие затраты нужно произвести производителю, чтобы его товар был наивысшего качества и покупался?” (у>x+2, у6, х>0).Задать самостоятельно по группам с помощью системы неравенств в координатной плоскости квадрат, прямоугольник ромб, трапецию. По клеткам вычислите их площадь.

Обоснуйте целесообразность и эффективность содержания выбранных учебных материалов (предметного содержания):

Этот материал является основой для изучения сложных тем программы в старшей школе, ВУЗе, используется в прикладных науках. При этом у детей формируется понятие координатной плоскости, способность к определению координат точек, построению точек по их координатам; представление о функциональной зависимости величин, различных способах ее задания (аналитическом, графическом); построение формул и графиков зависимостей между величинами (повышается графическая культура учащихся); понятие области определения и области значения функции; нахождение по графикам множества решений линейных неравенств с двумя переменными, пересечение множеств решений двух и более неравенств, представление о графическом методе решения задач линейного программирования с двумя переменными.

Подведение итогов занятия: 

Выявление различий ранее используемого способа решения линейного уравнения с двумя неизвестными и выведенных способов на уроке, применительно к линейным неравенствам с двумя переменными и их систем. В ходе рефлексии учащиеся анализируют путь своего мыслительного движения к новому способу.

Ситуация успеха:У:Решите ур.:у-х=2.Д:М.П:у=х+2.При х=2, у=4, при х=3, у=5 и т.д. Ответ: множество точек, удовл. ур. у-х=2. Г.М: Графиком у=х+2 является прямая. Все решения ур. находятся на прямой. Ситуация сбоя:У:-Решите неравенство: у-х>2 (у-х<2). Класс делится на группы. Дети работают с выписанным неравенством. Представитель от каждой группы защищает свое решение.Д.1 гр: М.П: -При х=2, у=5; 6,3; 7... до+, не включая у=4 (при х=3, у=4; 3,5; -1 .... до-, не включая у=5).Д.2 гр: М.Г:-Строим график уравнения у=х+2. У одной абсциссы сравним разные ординаты! Если больше, то выше! Если меньше, то ниже! Например: А(3;5) у=х+2. В(3;7) у> х+2, т.к.у=7>у=5. С(3;3) у<х+2, т.к. у=3<у=5. Ответ: все точки выше (ниже) прямой у=х+2 являются решением у>х+2(у<х+2).У:-Таким образом, неравенство у>х+2(у<х+2) задает полуплоскость, расположенная выше (ниже) прямой. Решая нестрогие неравенства определяют, что точки прямой принадлежат полуплоскости неравенства, поэтому выделили ее сплошной линией (в строгих неравенствах-пунктирная линия). Ответ: ух+2 (ух+2) задает на коорд. плоскости прямую у=х+2 и полуплоскость выше(ниже) этой прямой. У:-Задача.2 гр.Г.М: Система: у>х+2, у6 и получают пересечение множества точек, задающих в плоскости общую область-угол, но не могут ответить на вопрос задачи,т.к. стоимость товара х>0, сост. др. систему: у>х+2, у6, х>0. Построив, определили- общая часть множеств решений неравенств- треугольная область. Точки с коорд. х и у, внутри этой области удовл. усл. задачи. При х=4 стоимость будет наибольшей..1 гр: М.П. приводя примеры, не могут дать четкого и ясного ответа для нахождения всех множеств решений системы неравенств и тем более ответить на вопрос задачи. Формулируют отличия (графический способ): все решения уравнения находятся на прямой, неравенства-в полуплоскости, а системы неравенств-в области, получающейся при пересечении нескольких полуплоскостей и новые способы:1.Построить график уравнения; 2.Граничную прямую изобразить в соответствии со знаком неравенства (сплошная или пунктирная); 3. “Цветом” изобразить решение неравенства. Для систем неравенств:1.Построить графики уравнений; 2.Граничные прямые изобразить в соответствии со знаками неравенств. 3.Цветом показать часть плоскости, которая удовлетворяет неравенствам. Закрепляют полученные знания.

Фотография 1: 

Фотография 2: 

 Фотография 3: