Цель урока: развитие исследовательских навыков у учащихся при поиске рационального пути решения.
Задачи урока.
- Научиться распознавать системы уравнений, симметричные относительно знака переменной.
- Научиться анализировать систему уравнений на возможное количество решений.
- Научиться применять метод при решении задач с параметром
- Сравнить данный метод с методом сечений с точки зрения рациональности в случае систем, симметричных относительно знака переменной.
- Применить в практических целях численное исследование решений системы уравнений учащимся 9ФМ класса Виноградовым Марком, полученных в рамках научно-исследовательской работы НОУ.
Понятие системы, симметричной относительно знака переменной
- система симметрична относительно знака x.
- система симметрична относительно знака y.
- система симметрична относительно знака x и y.
Решение задач по теме
Задача 1. При каких значениях а, система уравнений
имеет ровно два решения?
Решение:
Система симметрична относительно знаков x и y. Пусть - решение системы.
Тогда , , - тоже решения системы. Итого – четыре решения. Для того. Чтобы система имела два решения необходимо, чтобы либо , либо были равны 0. Из уравнения (1) следует, что и
. Тогда единственно возможный случай, когда .
или
Таким образом, может удовлетворять условию задачи. При этом - решения системы. Выше изложенные условия являются необходимыми для того чтобы система имела два решения, но недостаточными. Проверим не существуют ли другие решения системы при .
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2). Получим ,
Имеем одно решение . Ответ: .
Рис. 1
На рисунке 1 второе уравнение представляет собой семейство окружностей с центром в начале координат радиусом . Очевидно, что при решений нет. Первое уравнение – две полупараболы, симметричные относительно оси абсцисс. Нас интересует случай, когда в первом уравнении равен . При этом, а
Задача 2. При каких значениях b система уравнений.
имеет ровно три решения? Найдите эти решения.
Решение:
Система симметрична относительно знака . Если - решение системы, то и - решение системы. Следовательно, необходимо существование решения .
Отсюда ; ; .
Проверим достаточность при :
Исключив из (2), получим
, , .
,
.
Итак, при имеем три решения системы уравнений:
Проверим достаточность при :
, , .
Решений нет.
В данном случае имеем одно решение системы уравнений , что не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: ,
Рис. 2
Из рисунка видно, что три решения система имеет, когда вершина параболы касается окружности изнутри. При этом
В задачах №1 и №2 можно показать ход графиков, не прибегая к помощи компьютера, чего уже нельзя сказать о задачах, которые будут рассмотрены ниже.
Задача 3. При каких значениях а, система уравнений
имеет нечетное число решений?
Решение:
Система симметрична относительно знака . Следовательно, необходимо существование решения .
Система, симметрична относительно знака у. Значит, есть решение вида.
Если , то и .
Проверяем достаточность:
.
Отсюда
Итак, имеем одно решение системы . Ответ: .
Рис. 3
В этом случае графическая интерпретация решения системы уравнений становиться достаточно сложной. Поэтому приходиться рассматривать случаи при .
Ответ: .
Задача 4. При каких значениях а система уравнений
имеет нечетное число решений?
Решение:
Система симметрична относительно знака . Следовательно, для существования нечетного числа решений необходимо, чтобы .
Вычтем из первого уравнения второе:
а) при
; (не подходит); . Тогда .
б) при
; ; ; Тогда .
Итак, возможны два случая: , ; , .
Проверяем достаточность:
Ответ: Система не может иметь нечетного числа решений.
Ответ: Система не может иметь нечетного числа решений.
Итак, на уроке не ставилась задача поиска оптимального пути решения, приведенных систем уравнений. Широко известно, что в отдельных случаях возможно достаточно простое аналитическое решение. Однако, хочется обратить внимание на то, что в школьном курсе изучения математики в основном предлагаются для решения уравнения и системы уравнений со специально подобранными коэффициентами. Вследствие чего учащихся возникает ложное представление о возможности аналитического решения уравнений и их систем с произвольными коэффициентами, что, к сожалению совсем не соответствует действительности. В тоже время по приведенным выше графическим интерпретациям хорошо видно, что и численные методы достаточно трудоемки. Тем не менее, они более универсальны и, хочется надеяться, что в будущем школьном курсе математики численные методы решения найдут свое место наряду с аналитическими.
Литература
- Астрахарчик Н.А., Астрахарчик Г.Е., Виноградов М.С. Графический метод решения систем уравнений. Материалы XXI Международной конференции “Применение Новых технологий в образовании”. 28–29 июня 2010 г.
- Зубов А.Б. Использование симметрии при анализе систем с параметром. “Математика в школе”. №2/2002.
- Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами. Издательство Московского университета. 2003.