Аналитический и численный методы решения систем уравнений с параметром

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (2 МБ)


Цель урока: развитие исследовательских навыков у учащихся при поиске рационального пути решения.

Задачи урока.

  1. Научиться распознавать системы уравнений, симметричные относительно знака переменной.
  2. Научиться анализировать систему уравнений на возможное количество решений.
  3. Научиться применять метод при решении задач с параметром
  4. Сравнить данный метод с методом сечений с точки зрения рациональности в случае систем, симметричных относительно знака переменной.
  5. Применить в практических целях численное исследование решений системы уравнений учащимся 9ФМ класса Виноградовым Марком, полученных в рамках научно-исследовательской работы НОУ.

Понятие системы, симметричной относительно знака переменной

- система симметрична относительно знака x.

- система симметрична относительно знака y.

- система симметрична относительно знака x и y.

Решение задач по теме

Задача 1. При каких значениях а, система уравнений

имеет ровно два решения?

Решение:

Система симметрична относительно знаков x и y. Пусть - решение системы.

Тогда , , - тоже решения системы. Итого – четыре решения. Для того. Чтобы система имела два решения необходимо, чтобы либо , либо были равны 0. Из уравнения (1) следует, что и

. Тогда единственно возможный случай, когда .

или

Таким образом, может удовлетворять условию задачи. При этом - решения системы. Выше изложенные условия являются необходимыми для того чтобы система имела два решения, но недостаточными. Проверим не существуют ли другие решения системы при .

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2). Получим ,

Имеем одно решение . Ответ: .

Рис. 1

На рисунке 1 второе уравнение представляет собой семейство окружностей с центром в начале координат радиусом . Очевидно, что при решений нет. Первое уравнение – две полупараболы, симметричные относительно оси абсцисс. Нас интересует случай, когда в первом уравнении равен . При этом, а

Задача 2. При каких значениях b система уравнений.

имеет ровно три решения? Найдите эти решения.

Решение:

Система симметрична относительно знака . Если - решение системы, то и - решение системы. Следовательно, необходимо существование решения .

Отсюда ; ; .

Проверим достаточность при :

Исключив из (2), получим

, , .

,

.

Итак, при имеем три решения системы уравнений:

Проверим достаточность при :

, , .

Решений нет.

В данном случае имеем одно решение системы уравнений , что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: ,

Рис. 2

Из рисунка видно, что три решения система имеет, когда вершина параболы касается окружности изнутри. При этом

В задачах №1 и №2 можно показать ход графиков, не прибегая к помощи компьютера, чего уже нельзя сказать о задачах, которые будут рассмотрены ниже.

Задача 3. При каких значениях а, система уравнений

имеет нечетное число решений?

Решение:

Система симметрична относительно знака . Следовательно, необходимо существование решения .

Система, симметрична относительно знака у. Значит, есть решение вида.

Если , то и .

Проверяем достаточность:

.

Отсюда

Итак, имеем одно решение системы . Ответ: .

Рис. 3

В этом случае графическая интерпретация решения системы уравнений становиться достаточно сложной. Поэтому приходиться рассматривать случаи при .

Ответ: .

Задача 4. При каких значениях а система уравнений

имеет нечетное число решений?

Решение:

Система симметрична относительно знака . Следовательно, для существования нечетного числа решений необходимо, чтобы .

Вычтем из первого уравнения второе:

а) при

; (не подходит); . Тогда .

б) при

; ; ; Тогда .

Итак, возможны два случая: , ; , .

Проверяем достаточность:

Ответ: Система не может иметь нечетного числа решений.

Ответ: Система не может иметь нечетного числа решений.

Итак, на уроке не ставилась задача поиска оптимального пути решения, приведенных систем уравнений. Широко известно, что в отдельных случаях возможно достаточно простое аналитическое решение. Однако, хочется обратить внимание на то, что в школьном курсе изучения математики в основном предлагаются для решения уравнения и системы уравнений со специально подобранными коэффициентами. Вследствие чего учащихся возникает ложное представление о возможности аналитического решения уравнений и их систем с произвольными коэффициентами, что, к сожалению совсем не соответствует действительности. В тоже время по приведенным выше графическим интерпретациям хорошо видно, что и численные методы достаточно трудоемки. Тем не менее, они более универсальны и, хочется надеяться, что в будущем школьном курсе математики численные методы решения найдут свое место наряду с аналитическими.

Литература

  1. Астрахарчик Н.А., Астрахарчик Г.Е., Виноградов М.С. Графический метод решения систем уравнений. Материалы XXI Международной конференции “Применение Новых технологий в образовании”. 28–29 июня 2010 г.
  2. Зубов А.Б. Использование симметрии при анализе систем с параметром. “Математика в школе”. №2/2002.
  3. Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами. Издательство Московского университета. 2003.

Презентация