Актуальность темы: в настоящее время взаимосвязь физики и математики в школьном курсе проявляется все сильнее, в заданиях ЕГЭ по математике включаются задачи физического содержания, многие задачи ЕГЭ по физике решаются проще и быстрее через производную. Интегрированный урок помогает учащимся связать математическую форму с физическим содержанием.
Цель урока: формирование у учащихся представлений о взаимосвязи физики и математики на примере решения задач по физике методом дифференциального исчисления.
Цели урока:
- образовательная: повторить понятие и смысл производной, основные правила ее вычисления, учить применять метод производной для записи некоторых определений и законов физики, учить решать задачи по физике, используя производную;
- воспитательная: воспитывать умение работать в парах, тактично оценивать деятельность одноклассников, анализировать их работу; повышать интерес к физике и математике как к учебным предметам;
- развивающая: развивать самостоятельность мышления, учить применять имеющиеся знания в новой ситуации, анализировать полученный результат.
Тип урока: интегрированный, урок применения знаний
Формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, работа в парах
Оборудование: компьютер. мультимедийный проектор, физическое оборудование для постановки опыта по определению мощности постоянного тока (источник тока, реостат, ваттметр, ключ, соединительные провода).
Место урока в образовательном процессе: урок проводится в 11 классе после того, как на уроках математики изучена тема «Производная» (1 четверть). В дальнейшем эта работа будет продолжена при изучении других тем (в первую очередь темы «Колебания»). Предварительно на дом дается задание повторить тему «Производная» из курса алгебры.
Ход урока
1. Организационный момент (2 мин)
Учитель объявляет цель урока для учащихся, сообщает план урока (см. Презентация, слайды 2,3). Учащиеся записывают тему урока.
2. Актуализация знаний (8 мин.)
Учитель повторяет с учащимися математические сведения. Индивидуально к доске вызываются 3 чел. по вопросам: 1) определение производной; 2) геометрический смысл производной; 3) физический смысл производной. Пока они готовятся, фронтально проводится устная работа по определению производной различных математических функций (см. слайд 4). Затем заслушиваются индивидуальные ответы учащихся, остальные в это время следят за ответами, уточняют и дополняют их.
3. Новый материал (10 мин)
а) Постановка проблемного вопроса
Учитель: В математике рассматриваются функциональные зависимости y(x) и дифференцирование производится по переменной х. В физике, как правило, рассматриваются процессы, протекающие в пространстве с течением времени. Какие переменные используются при этом? (Ответ: время и расстояние или длина). В курсе физики средней школы в большинстве случаев в качестве переменной величины используется время, поэтому сегодня мы будем учиться записывать физические определения и законы в дифференциальной форме для этой переменной.
б) По определению производной 
Следовательно, заменяя переменную х на переменную t, мы получим
В качестве y может быть взята любая физическая величина, в формулу которой входит дробь: 
Давайте попробуем записать некоторые определения и законы в дифференциальной форме для мгновенных значений физических величин. Ваша задача: вспомнить формулы для средних значений скорости, ускорения, угловой скорости, силы тока и мощности, а затем, работая в парах, записать эти формулы для мгновенных значений (учитель обращает внимание учащихся на то, что нельзя формально писать ΔА, потому что не бывает изменения работы, бесконечно малая работа обозначается значком дельта малое). Затем то же самое надо сделать для законов: 2 закон Ньютона, закон электромагнитной индукции, закон самоиндукции. (Задание выполняется с использованием слайдов 5, 6).
в) Кроме переменной t, могут использоваться и другие переменные: длина, расстояние, масса, сопротивление. В конце урока мы рассмотрим пример задачи, в которой переменной величиной является электрическое сопротивление.
4. Практическая часть: применение знания производной для решения задач (23 мин)
а) Решение задач на применение производной
Учащимся предлагается решить три задачи (работа в парах), затем решения первых двух проверяются по слайдам 7,8 (для экономии времени). Третья задача разбирается на доске (вызывается ученик).
Задача №1 (слайд 7). Скорость школьного автобуса массой 5 т возрастает по закону
υ = 0,1t3 + 0,2t. Определить равнодействующую всех сил, действующих на него в момент времени 2с.
Решение: 
, 
,
Задача №2 (слайд 8).Количество вещества, получаемого в химической реакции, зависит от времени следующим образом : 
. Определите скорость реакции.
Решение: 
(если учащиеся еще не изучили данную функцию, её надо заменить другой).
Задача №3 (слайд 9). Уравнение колебаний тела на пружине имеет вид x =5cos 2t. В какой ближайший момент времени скорость тела будет максимальной?
Решение : υ = -10 sin 2t , скорость будет максимальной в тот момент времени, для которого производная скорости равна нулю: υ `= - 20 cos 2t, υ`= 0, cos 2t=0, t=π/4 с.
б). Решение задач на оптимизацию
Предварительно фронтально повторяется материал о задачах на оптимизацию:
- Что это за задачи?
- Что означает слово «оптимизация»?
- Как строится математическая модель для таких задач? (см. слайд 10) (Ответ: 1. Определите оптимизируемую величину О.В., о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь в задаче. Обозначьте ее (например, y). Одну из участвующих в задаче величин, через которую нетрудно выразить О.В., примите за независимую переменную (например, х). Выразите y через х, т.е. запишите функцию у = f(x). 2. Найдите наибольшее или наименьшее значение функции через производную. 3. Дайте ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью)
Далее учащиеся решают задачу №4
Задача №4. Одна задача из ЕГЭ (слайд 11).
а) Постановка проблемного вопроса:
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника постоянного тока, реостата, ваттметра, подключенного к реостату, ключа и соединительных проводов. Будут ли меняться показания ваттметра при увеличении сопротивления реостата?
б) Выслушиваются ответы учащихся, затем проделывается опыт. Учащиеся убеждаются, что сначала мощность на реостате увеличивается, а потом уменьшается.
в) Учитель предлагает решить задачу:
При каком сопротивлении нагрузки полезная мощность источника тока максимальна? ЭДС источника равна ε, внутреннее сопротивление r.
Учитель: эту задачу можно решить разными способами. Мы будем решать ее математическим методом как задачу на оптимизацию. Решение задачи физическим методом вы попробуете найти дома - это ваше домашнее задание.
Решение: начертим схему цепи; выведем формулу для расчета полезной мощности, выделяющейся на реостате: 
Переменная величина – внешнее сопротивление R.
Составляем математическую модель функции: 
определяем порядок нахождения производной (производная частного, степенной функции).
Ответ: полезная мощность максимальна при внешнем сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению источника тока.
5. Итоги урока. Рефлексия. Домашнее задание (2 мин)
Кратко: что нового узнали на уроке, какова практическая польза полученных знаний, достигнута ли цель урока.
Домашнее задание: решить задачу №4 другим способом (физическим).
Литература:
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: в двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2002. – 375 с .
- Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика: Учебник для 11 класса ООУ. - М.: Просвещение, 2007. - 336 с.
- Суханькова Е.П. Производная в физике, технике, природе: межпредметный открытый урок. 11 класс. - М. «Чистые пруды», 2006.- 32 с. (Библиотечка «Первого сентября», серия «Физика». Вып. 5(11)).
- Единый государственный экзамен: физика: контрол. измерит. материалы : 2010. – М.: Просвещение, 2010.
- Фронтальные лабораторные занятия по физике в 7 – 11 классах ООУ. Книга для учителя. Под ред. В.А. Бурова, Г.Г. Никифорова. – М.: Просвещение, 1996. - 368 с.
- Библиотека электронных наглядных пособий «Физика», 7 – 11 кл. ООО «Кирилл и Мефодий», 200 3г.