«Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи.
Причем не только стандартные, но и требующие известной независимости
мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».
Д. Пойа
Цели урока:
- Дидактические: рассмотреть применение метода поиска наибольших и наименьших значений функции к решению разнообразных прикладных задач, в первую очередь, задач на оптимизацию.
- Развивающие цели: развивать гибкость мышления, творческое отношение к изучаемому предмету, формировать независимость математического мышления в ходе решения задач.
- Воспитательные цели: на примере решения прикладных задач с простейшими жизненными ситуациями показать применение методов математического моделирования, поддержать этим интерес к предмету.
Вид занятия. Применение знаний, умений и навыков.
Оборудование. Интерактивная доска, карточки.
Методы – объяснительно-иллюстративное изложение, иллюстративный и демонстрационный.
План урока.
- Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.
- Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений
реальных величин.
Введение.
Современные требования к уроку предполагают использование новых подходов в преподавании математики. При подготовке к уроку преподаватель все чаще использует компьютерные технологии. Уроки с использованием презентаций становятся более насыщенными, эффективными и дают возможность развивать у студентов интерес к предмету, познавательную активность, творческий подход.
На данном уроке применение интерактивной доски должно наряду с самой темой привлечь внимание студентов к прикладной направленности математики. Одновременно текстовые задачи рассматриваются не только как прикладные, но и как умственные манипуляторы. Существует важное сходство между математикой и детской игрой: в обоих случаях исключительно важно творческое воображение. Потребность в умственных манипуляциях никогда не кончается, она присуща и профессиональным математикам на самом высоком уровне.
Решение любой задачи, особенно сложной, требует от ребят напряженного труда и упорства. А упорство проявляется, если задача интересна. Значит, нужно преподавателю подбирать такие задачи, которые студенты хотели бы решать. Чаще всего интерес вызывают задачи практического содержания.
Еще один метод применен на данном уроке для мотивации решения прикладных задач: в их тексты включаются фамилии студентов той группы, где идет занятие. Они становятся прорабами, предпринимателями, хозяевами предприятий и т.д.
Ход урока
1. Организационное начало
Приветствие студентов. Проверка присутствующих.
Сообщение темы занятия и плана работы, конкретизация задач и создание мотивации учебной деятельности. Прием – повествовательное изложение, форма – рассказ-вступление, Для быстрого включения студентов в работу на экран можно вывести слайд, содержащий информацию о плане урока, его целях и задачах.
2. Повторение опорных знаний студентов.
Провести дидактическую игру «Крестики- нолики» по теме «Производная функции». К доске приглашаются два студента. На доске подготовлено игровое поле. Первый, ответивший на вопрос преподавателя по данной теме, получает право выбрать знак («крестик» или «нолик») для себя и назвать первое окошко игрового поля. Если он решает правильно выпавшее ему задание, то имеет право поставить в данное окошко свой знак. Если ему это не удается, то право решить его отдается второму игроку. В итоге побеждает тот, кто закрывает своими значками 3 клетки по диагонали, горизонтали, вертикали или больше, чем 4 клетки.
Задания.
= 
= 
,
= 
,
= ln cosx, 
= 
,
= x+ 
, 
= x
,
= 
, 
= 2
.
3. Применение знаний при решении примеров и задач.
Сегодня на занятии мы вспомним задания на нахождение наибольшего, наименьшего значений функции на промежутке и применение этой темы для решения задач. На прошлом занятии мы записали алгоритм для этого. Повторим его (приглашается для ответа студент, а затем еще раз выводится на экран).
Нахождение наибольшего и наименьшего значений монотонной функции f(x) на отрезке (а;в) достигается на концах отрезка. Если же заданная функция не является монотонной, но известно, что она является непрерывной, то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке применяется правило:
- Найти критические точки функции.
- Найти значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка. Наибольшее и наименьшее значения из этих чисел и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.
Теперь решаем задачи.
Задача 1. Молодой предприниматель Михайлов Юрий в свете экономического кризиса решил выкупить нерентабельное провинциальное перерабатывающее предприятие и пригласил экономиста Гульдерова Германа помочь с расчетами по оптимизации расходов. Одна из задач поставленных перед Германом была следующая: найти, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.
Решение.
Вспомним 3 этапа математического моделирования, применяемые при решении задач на оптимизацию (показ на экране):
- 1 этап. Составление математической модели.
- 2 этап. Работа с составленной моделью.
- 3 этап. Ответ на вопрос задачи.
1 этап. Составление математической модели.
Составление модели облегчается тем, что известна форма банки и оговорено, что она должна быть заданной емкости. Это существенно для составления модели. Существенным является также требование, чтобы расход жести на изготовление банки был минимальным. Это требование означает, что площадь полной поверхности банки, имеющей форму цилиндра, должна быть наименьшей; существенны и размеры банки. Несущественны для составления математической модели конкретное (численное) значение емкости банки и вид консервов (мясных, овощных), для которых банка предназначена.
Обозначив емкость банки через V см³, сформулируем задачу: Определить размеры цилиндра с объемом V см³ так, что бы площадь его полной поверхности была наименьшей.
Для решения задачи обозначим радиус основания цилиндра через х, а высоту его через h (все измерения в сантиметрах). Тогда объем цилиндра
V = 
h = 
.
Полная поверхность цилиндра:
S = 2
x² + 2
x h = 2
x² + 2
x
= 2
x² + 
= 
.
Итак, S(х) = 
.
Так как переменная х может принимать только положительные значения, решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения S(х) на (0;
).
2 этап. Работа с составленной моделью.
Найдем производную S´(х):
S´(х) = 
= 
.
Для нахождения критических точек решим уравнение S´(х) = 0.
Корень уравнения: х = 
.
При х < 0 < 
S´(х) < 0, а при х > 
S´(х) > 0.
Следовательно, в точке х = 
S(х) имеет минимум.
Следовательно, функция в этой точке достигает наименьшего значения.
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объем V, будет наименьшей при h = 2x = 2 
= 
, т.е. когда цилиндр равносторонний.
3 этап. Ответ на вопрос задачи.
Наименьший расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой.
Полезно обратить внимание ребят на то, что в нашей стране выпускаются ежегодно сотни миллионов банок консервов в жестяной упаковке. Экономия 1% жести на изготовление каждой банки позволит за счет сэкономленного материала дополнительно изготовить несколько миллионов новых банок. Вместе с тем промышленность нередко выпускает консервы в жестяной таре, не обеспечивая наименьший расход материала на изготовление банки. Это обусловлено рядом причин: стремлением минимизации отходов при изготовлении банок, соображениями торговой эстетики. Возможностями транспортировки и т.д.
Задача 2. Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкир.
- А цена какая будет? – говорит Пахом.
- Цена у нас одна: 1000 рублей за день.
Не понял Пахом.
- Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?
- Мы этого, – говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь за день , то твое, а цена 1000 рублей.
Удивился Пахом.
- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.
Засмеялся старшина.
- Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.
Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке( на экране).
Обежал он за день, например, прямоугольную трапецию периметром 40 км. С площадью S = 78 км².
Проверим, наибольшую ли площадь при этом получил бы Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму прямоугольника)?
Р = 40 км. a – первая сторона, 20 – а – вторая сторона.
S = а (20 - а) = - а² + 20 а.
S´ = - 2а + 20 = 0, а = 10.
S´´ = - 2 < 0
Следовательно, наибольший четырехугольник – квадрат, т.е. наибольшая площадь – 100 м².
Можно сделать вывод, что пахом вполне мог получить земли больше с меньшими усилиями.
Задача 3. Гарданов Марсель решил сделать своей маме подарок к 8 Марта и заказал другу юности Сабирову Денису шкатулку из драгоценного металла. В мастерскую он принес кусок листа из этого металла размером 80 Х 50 см. Требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставшиеся кромки.
Решение.
Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Легко видеть, что
0<x<25.
Объем при этом у коробки:
V = x (80-х) (50 – 2х) = 4х³ - 260х² + 4000х.
V´ = 12х² - 520х + 4000 = 0,
х
= 100:3 = 33
, х
= 10.
х
- посторонний корень по смыслу задачи.
х
= 10 – единственное решение – высота, 80 – 20 = 60 – длина, 50 – 20 = 30 – ширина.
V = 10
· 60 · 30 = 18000(см³).
Задачи для самостоятельного решения.
4. Требуется огородить прямоугольный участок земли площадью 294 м² и разделить этот земельный участок забором на 2 равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется минимальной? (14 м, 21 м).
Задача 4. Из куска железа в форме прямоугольного треугольника с катетами 2 м и 4м необходимо вырезать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными катетам треугольника.
Решение.
∆ АВС ~ ∆BLE,
,
LC = 4 – 2x,
S = x ( 4 – 2x) = 4x – 2x²,
S´ = 4 – 4x = 0, x =1,
S´´ = - 4 < 0 – т.max
S = 2 · 1 = 2(см²) – наибольшая площадь.
Соответствующие стороны прямоугольника: 1 см, 2 см.
Задача 5. Разрежьте отрезок длиной 18 см на две части так, чтобы приняв их за катеты, получить прямоугольный треугольник с наименьшей гипотенузой.
(9 см, 9 см).
Задача 6. Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?
(2 м, 2 м).
Подведение итогов занятия.
Задание на дом.
Студентам предлагается решить дома задачи из задачника и составить по тексту одной из них задачу прикладного характера.