Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений

Разделы: Математика

Цель урока: сформировать умение по виду системы двух линейных уравнений с двумя переменными определять количество решений системы.

Задачи:

  • Образовательные:
    • повторить способы решения систем линейных уравнений;
    • связать графическую модель системы с количеством решений системы;
    • найти связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе и количеством решений.
  • Развивающие:
    • формировать способности к самостоятельным исследованиям;
    • развивать познавательный интерес учащихся;
    • развивать умение выделять главное, существенное.
  • Воспитательные:
    • воспитывать культуру общения; уважение к товарищу, умение достойно вести себя. закреплять навыки работы в группе;
    • формировать мотивацию на здоровый образ жизни.

Тип урока: комбинированный

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (нацелить учащихся на урок)

– На предыдущих уроках мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными разными способами. Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос: «Как, не решая систему уравнений определить, сколько же решений она имеет?», поэтому тема урока называется «Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений ». Итак, начнём урок. Соберёмся с силами. В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 3 раза. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 2-3 раза.

II. Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)

Показать решение системы разными способами:

А) методом подстановки;
Б) Методом сложения;
В) по формулам Крамера;
Г) Графически.

Пока на доске готовятся к ответам по домашнему заданию, с остальными учениками начинается подготовка к следующему этапу урока.

III. Этап подготовки к усвоению нового материала (актуализация опорных знаний)

– Если вы знаете ответы на вопросы, но вдруг растерялись и всё сразу забыли, попробуйте собраться, убедить себя, что вы всё знаете и у вас всё получится. Хорошо помогает обыкновенный массаж всех пальцев. Во время обдумывания массажируйте все пальчики от основания к ногтю.

– Что называют системой двух уравнений?

– Что значит решить систему линейных уравнений?
– Что является решением системы линейных уравнений?
– Будет ли пара чисел (– 3; 3) решением системы уравнений:

– Расскажите, в чём суть каждого известного вам способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными. (Рекомендуется общение в парах)

Ответы учеников сопровождаются показом слайдов 1-14 (Презентация) учителем. (можно одним из учеников). Проверяем домашнее задание (слушаем ответы учеников у доски).

Учитель: Для решения специфических систем уравнений существует ещё один способ, называется он методом подбора решения. Попробуйте, не решая подобрать решение системы уравнений: . Объясните суть метода.

– Найдите решение системы уравнений:

а)       б)       в)

– Дано уравнение a + b =15, добавьте такое уравнение, чтобы решением полученной системы была пара чисел (– 12; 27)
Перечислите ещё раз все способы решения систем линейных уравнений, с которыми вы познакомились.

IV. Этап усвоения новых знаний (исследовательская работа)

– Прежде чем переходить к следующему этапу урока, немного отдохнём.
Сидя на стуле – расслабьтесь, примите позу пиджака, висящего на вешалке,
«Постреляйте» глазами в соседей. А затем вспомним про «царственную осанку»: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное, соберёмся с мыслями, для чего сделаем массаж межбровной точки или пальчиков и приступим к дальнейшей работе.

Учитель: Мы научились решать системы линейных уравнений с двумя переменными разными способами и знаем, что система таких уравнений может иметь:

А) одно решение;
Б) не иметь решений;
В) много решений.

А нельзя ли, не прибегая к решению, ответить на вопрос: сколько же решений имеет система уравнений? Сейчас мы с вами проведём небольшое исследование.
Для начала разобьемся на три исследовательские группы. Составим план нашего исследования, ответив на вопросы:

1) Что представляет собой графическая модель системы линейных уравнений с двумя переменными?
2) Как могут располагаться две прямые на плоскости?
3) Как зависит количество решений системы от расположения прямых?

(После ответов учащихся используем слайды 6-10 Презентации.)

Учитель: Значит основа нашего исследования состоит в том, чтобы по виду системы понять, как располагаются прямые.
Каждая исследовательская группа решает эту задачу на конкретной системе уравнений по плану (Приложение 1).
Система для группы №1.       

Система для группы №2.      

Система для группы №3.      

На выполнение работы даётся 5 минут, затем делимся своими выводами с одноклассниками. (Приложение 2), а также обращаемся к слайдам 15-17 Презентации.

V. Релаксация

Предлагаю отдохнуть, расслабиться: физкультминутка или психологический тренинг. (Приложение 3)

VI. Закрепление нового материала

А) Первичное закрепление

Используя полученные выводы, ответьте на вопрос: сколько решений имеет система уравнений

а)                 б)                в)

Итак, прежде чем решать систему, можно узнать, сколько она имеет решений.

Б) решение более сложных задач по новой теме

1) Дана система уравнений      

– При каких значениях параметра a данная система имеет единственное решение?

(Работа выполняется в группах по 4 человека: пары поворачиваются друг к другу)

– При каких значениях параметра a данная система не имеет решений?
– При каких значениях параметра данная система уравнений имеет много решений?

2) Дано уравнение – 2x + 3y = 12

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений имела:

А) одно решение;
Б) бесконечно много решений.

3) Провести полное исследование системы уравнений на наличие её решений:

VII. Рефлексия. Методика «Мухомор»

На дополнительной доске (или на отдельном плакате) нарисован круг, разбитый на секторы. Каждый сектор – это вопрос, рассмотренный на уроке. Ученикам предлагается
поставить точку:

  • ближе к центру, если ответ на вопрос не вызывает сомнения;
  • в середину сектора, если сомнения есть;
  • ближе к окружности, если вопрос остался не понятым; (Приложение 4)

VIII. Домашнее задание

Алгебра-7, под редакцией Теляковского. Параграфы 40-44, №1089,1095а), решать любым способом.
Выяснить, при каком значении a система имеет одно решение, много решений, не имеет решений      

– Итак: наш урок подошёл к концу. Приготовим себя к перемене: сцепите руки замком, положите их на затылок. Положите голову на парту, резко сядьте прямо, примите «царственную» позу. Повторите это ещё раз.

– Урок окончен. Всем спасибо. Подойдите к доске и сделайте отметку на предложенном рисунке. До свидания.