Арифметическая прогрессия

Разделы: Математика


Тип урока: объяснение нового материала.

Цели урока:

Образовательные:

– выделить из множества числовых последовательностей арифметическую прогрессию;
– дать чёткое определение арифметической прогрессии;
– вывести формулу n-го члена прогрессии;
– описать характеристическое свойство арифметической прогрессии;
– на примерах осуществить первичную отработку применения формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Воспитательные и развивающие:

– развивать логическое и аналитическое мышление;
– память;
– развитие и осмысление использования в речи математических терминов при ответах на вопросы теории алгебры.

Ход урока

1. Оргмомент :

Учитель сообщает тему и цель урока, план работы на уроке.

2. Устная работа

На доске: Учитель задает вопросы:

1) -4; -3,5; -3; … 1)Какая закономерность наблюдается

2) 2; 0,2; 0,02;… в каждой последовательности?

3) 7; 71/3; 72/3;… 2) Найдите последующий 4-ый и 5-ый члены

4)120; 117; 114;… каждой из числовых последовательностей.

5) 1;4;9;…

3)А можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общем признаком?

3. Объяснение нового материала

Учитель подводит ученика к определению :

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, в которой каждый последующий член равен предыдущему, сложенным с одним и тем же числом.

Слово прогрессия в переводе с латинского означает “движение вперед”.

Число, которое прибавляют к каждому члену прогрессии, что бы найти последующий член называется разностью арифметической прогрессии

d = an+1 – an

Найти разность арифметической прогрорессии: (устно) на доске :

4,5; 4,25; … Учитель комментирует:
-6; -10; -14; … d-может быть любым числом;
а1; а2; 30; 40; … если d>0, прогрессия возрастающая;
8; 8; 8; 8; … если d<0 – убывающая.

Чтобы однозначно задать арифметическую прогрессию достаточно задать:

1способ: 2; 10; (два члена её); 2способ: а1=-6; d=0,4;

другие способ будут рассматриваться далее.

Вспомним, как называется формула для нахождения любого члена числовой последовательность которого используется предыдущим члены (или члена)

- рекуррентная формула

Т. е. найти любой член арифметической прогрессии можно с помощью рекуррентной формулы

an+1=an+d

Найдите 4-е члена арифметической прогрессии:a1=2;d=0,4

a2=2+0,4=2,4

a3=2,4+0,4=2,8

a4=2,8+0,4=3,2

А что если нужно найти 31– й или 100 –й член прогрессии?

Понятно, что выше использованный способ нахождениялюбого (в том числе с большим порядковым номером) члена арифметической прогрессии неудобен из-за значительных вычислений.

Попробуем вывести формулу n-ого члена прогрессии.

Рассмотрим арифметическую прогрессию (an),в которой

an-1-ый член,d-разность.

По определению арифметической прогрессии:

a2=a1+d

a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d

a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d

a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d

Учитель задаёт вопрос: а нет ли какой-то связи между порядковым номером числа прогрессии и числа, стоящего перед d.

Есть: она на 1 меньше.

Тогда an=a1+d(n-1)

Это и есть формула n-ого (т.е. общего) члена арифметической прогрессии.

a26=a1+25d; 5=20+25d; -15=25d; d=-3/5

4. Первичное закрепление

№ 354(a)-ученик у доски

Решение:

c1=10  
c15=1,2 c15=c1+d(n-1)
d-? 1,2=-10+14d,d=0,8

Следующее задание:

Число "-22" является членом арифметической прогрессии 44;32.Найдите номер этого члена прогрессии.

Решение: 1) d=a2-a1;d=38-44=-6

(учитель) 2) a22=a1-6(n-1); -22=44-6(n-1); -22=44-6n+6; -72=-6n; n=12

Значит 12-ый член прогрессии равен =-22

Аналогичный номер из учебника №359(б)-ученик у доски.

a1=2 Решение:
a2=9 1) d=a2-a1;d=9-2=7
число 295 является 2)Пусть 295=an
числом этой прогрессии-? 3)Тогда an=a1+d(n-1)
  295=2+7(n-1); 295=2+7n-7; 300=7n; n=43 1/7

Так как n=43 1/7 не принадлежит N => число 295 не является членом этой арифметической прогрессии.

Приведём примеры числовых последовательностей, которые являются арифметическими прогрессиями:

Учитель работает устно с классом:

– ряд натуральных чисел;

– чётных натуральных;

– кратных 7;

– кратных 10 и т.д.

Запишем арифметическую прогрессию,которая представляет ряд чисел(натуральных) кратных 5 и арифметическую прогрессию заданную

a1=2;d=3

Тогда возвращаясь к a31

a31=a1+d*30

a31=2+0,4*30=14

Число :"А по какой формуле вы найдёте a41;a125;a207-?

№ 348(б) К доске вызывается ученик.

Решение:

a1=11 d=a2-a1;d=7-11=-4
a2=7 a23=a1+22d;a23=11+22*(-4)=-77
a23-? an=a1+d(n-1);an=11+(-4)(n-1)
an-?  

Учитель: Вернёмся к формуле n-ого члена арифметической прогрессии и проанализируйте её.

Часто с формулами вы работаете на уроках и знаете что из одной формулы можно выразить любую неизвестную (в данной задаче) величину,зная все остальные переменные.

Аналогично и по формуле нахождения n-ого члена прогрессии можно найти

-a1;

-n; Если известны остальные переменные.

-d;

Следующий номер:

a1=20;a20=5;d-?

5;10;15;20;25;30;35;...

2;5;8;11;14;17;...

Рассмотрим любые три подряд следующие члены прогрессий.

Вопрос: "А как бы вы могли найти средний из этих трёх чисел,зная последующий и предыдущий? число 25(зная 20 и 30) число 11(зная 8 и 14)"

Ответ: Сложить два соседних и разделить на два.

А как называется значение этого выражения?

– Это среднее арифметическое между 2-мя соседними.

А верно ли это для любой арифметической прогрессии?

Попробуем доказать это свойство, характерное для любой арифметической прогрессии.

Пусть an-1;an;an+1-три любые подряд члена арифметической прогрессии an

Запишем разность d с помощью этих членов

an+1-an=an-an-1

an+1+an-1=2an

an=(an+1+an-1/2),n>=2

Эта формула выражает характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со 2-ого члена является средним арифметическим между двумя соседними с ним членами.

Почему начиная со 2-ого члена: так как у 1-ого члена прогрессии нет предыдущего члена.

Верно и обратное утверждение: Если в числовой последовательности любой член, начиная со второго, является средним арифметическим между двумя соседними, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

То есть данное утверждение можно рассматривать как признак арифметической прогрессии.

Найти: a19, если a20=120; a18=80

a19=(120+80/2)=100

Учащиеся устно находят a19 используя основное свойство прогрессии.

Последнее задание: a8=40; a28=320

Найти d

Учитель вместе с учащимися анализирует условие задачи(и да ),находит,что воспользоваться формулой для нахождения d в данном задании не приведёт к решению. Следовательно нужно искать иной способ решения.

Рассмотрим арифметическую прогрессию(an),в которой известны ak,an,где k>n

Запишем формулу каждого члена арифметической прогрессии:

ak=a1+d(k-1);an=a1+d(n-1)

Составим разность:

ak-an=a1+d(k-1)-a1-d(n-1)=a1+dk-d-a1-dn+d=dk-dn=d(k-n)

ak-an=d(k-n) или d=(ak-an/k-n) или ak=an-d(k-n)

Эта формула выражает связь между двумя любыми членами арифметической прогрессии (следующими не подряд,и среды пятерых нет a1.

Тогда предложенная задача решается просто при использовании выведенной формулы:

d=a28-a8/10; d=340-40/20=14.

5. Итог урока: учитель работает фронтально с классом, задавая вопросы по объяснённому материалу.

Учитель оценивает учащихся, отвечающих у доски и активно с места.

Ученики записывают домашнее задание.