I. Основные формулы:
1. Расстояние между точками А (,
), В
,
) равно
=
.
2. Угол между плоскостями. Если β – угол между плоскостями, заданными уравнениями х+
z+
=0 и
х+
z+
=0, то
.
3. Расстояние от точки до плоскости. Если ρ – расстояние от точки (
,
), до плоскости
х+
z+D =0, то
ρ=.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (
,
),
(
,
),
(
,
), в координатной форме:
=0;
5. Если отрезок, концами которого служат точки А (,
), В
,
) разделен точкой С (х, у,
) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам
Х = ; у=
; z=
.
II. Координаты вершин многогранников.
Определите координаты вершин многогранников:
1. Единичный куб A...D1
Решение: координаты вершин А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D1 (0, 1, 1), С (1, 1, 0), С1 (1, 1, 1).
2. Правильная треугольная призма A…C1 , все ребра, которой равны 1.
Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), С (0,5; , 0), С1 (0,5;
, 1).
3. Правильная шестиугольная призма A...F1, все ребра которой равны 1.
Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), С (1,5; , 0), С1 (1,5;
, 1), D (1,
(1,
Е (0,
,
(0,
,
F(-0,5 , 0),
(-0,5,
1).
4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.
Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (0,5; , 0), D (0,5,
5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.
Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1, 1, 0), D (0, 1, 0 S (0,5; 0,5;
).
6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.
III. Решение задач.
Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1,5; , 0), D (1,
Е (0,
, F (-05,
0), S (0,5;
).
Решение:
- А (0, 0, 0), А1 (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В1 (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D1 (0, 1, 1), С (1, 1, 0), С1 (1, 1, 1).
- Найдем координаты векторов
(1, 0, 1) и
= (0, 1, 1)
- Найдем косинус угла между векторами
=
=
; α=60.
Ответ: 60.
Решение:
- координаты вершин А (0, 0, 0), D1 (
,
, 1), С (0,5;
, 0), Е1 (
;
, 1).
- Найдем координаты векторов:
и
(
,
, 1)
- Найдем косинус угла между векторами
=
=0,7;
Ответ: 0,7.
Полностью текст работы приведен в Приложении.