Творческая мастерская "Все дело в шляпе"

Шляпа – такой знакомый нам с детства, и такой загадочный предмет. Её можно надеть для красоты, а можно – для тепла; её можно надеть на голову и исчезнуть; ею можно накрыть предмет, а, сняв – взамен получить другой; её можно приподнять в знак приветствия, а можно надвинуть на глаза и идти, ничего не замечая.

Ах, эти шляпы, эти шляпы… Большие, маленькие, чёрные, белые, да разве не всё ли равно какие, главное – на какую голову надеты: что в этой голове? Какое содержание, какие мысли? Какие вопросы?

И вот первый вопрос: кто любил загадывать загадки без отгадок, задавать вопросы и не получать ответов?

Конечно, это герои Льюиса Кэрролла в его книгах “Алиса в стране чудес”, “Алиса в Зазеркалье”. В нерасторжимом союзе скромного и несколько чопорного Доджсона и яркого Кэрролла первый явно проигрывал второму: литератор Льюис Кэрролл был лучшим математиком и логиком, чем оксфордский “дон” Чарлз Лютвидж Доджсон. Ребёнком он увлекался кукольным театром, жонглировал и всю жизнь с наслаждением показывал фокусы, особенно детям. Он занялся фотографией на заре этого искусства и фотографировал детей и знаменитостей с удивительным мастерством и вкусом. Он любил всевозможные игры, особенно шахматы, крокет, бильярд. Он изобрёл множество математических и словесных головоломок, игр, шифров. Он придумал и рассказал всему миру о приключениях Алисы, о её встречах с белым кроликом, Додо, шахматной королевой, Шляпником. Именно Шляпник задавал Алисе так много вопросов и загадок.

Вот он. Вместе с ним мы будем сегодня отвечать на вопросы, учиться задавать вопросы, решать задачи.

Прохладным утром или в зной,
С друзьями или без,
Я всех отправиться за мной
Зову в Страну Чудес.
Но как? Но как в неё попасть? – вы спросите сперва.
Нам, вероятно, нужно знать волшебные слова?
И нужно ль брать еду с собой и тёплое бельё?
И сколько километров до неё?
Волшебных слов не нужно знать! Приятель, не грусти.
Путь недалёк – не стоит собираться.
В Страну Чудес не надо плыть, лететь или идти –
В ней нужно оказаться!

А там “всё чудесится и чудесится”. Даже такое. Рассказывают историю об одном Шляпнике, который изучал способность шимпанзе решать задачи. В центре комнаты, к потолку, достаточно высоко, чтобы обезьяна, подпрыгнув, не могла достать его, был подвешен банан. В комнате не было ничего, кроме нескольких ящиков из-под фруктов разбросанных как попало. Тест заключался в том, чтобы проверить, догадается ли шимпанзе составить из ящиков пирамиду в центре комнаты, взобраться на вершину пирамиды и схватить банан.

Обезьяна тихо сидела в углу, наблюдая за тем, как экспериментатор расставляет ящики по комнате. Она терпеливо ждала, пока Шляпник не оказался посредине комнаты, и, когда тот проходил под бананом, внезапно вспрыгнула ему на плечи и, оттолкнувшись от него, взмыла в воздух, схватила банан и была такова.

Мораль этой юмористической истории понять нетрудно: задача, которая нам кажется трудной, может иметь неожиданно простое решение. Обезьяна могла руководствоваться природным инстинктом или накопленным опытом, но главное в том, что она сумела найти прямое решение задачи, которое ускользнуло от внимания экспериментатора.

Суть математики – непрестанный поиск всё более простых способов доказательства теорем и решения задач.

“Стремясь облегчить поиск нестандартных решений, следует обратить внимание на вопросы, которые иногда могут служить своего рода путеводными нитями и позволяют хотя бы приблизительно систематизировать возможные подходы:

1. Нельзя ли свести задачу к более простому случаю?
2. Нельзя ли преобразовать задачу в изоморфную задачу, легче поддающуюся решению?
3. Не существует ли для решения задачи какого-нибудь простого алгоритма?
4. Нельзя ли для решения задачи применить какую-нибудь теорему из другой области математики?
5. Можно ли проверить правильность полученного решения на наглядных примерах или контрпримерах?
6. Какие аспекты задачи несущественны для решения и лишь отвлекают ваше внимание?”

Мартин Гарднер

(Решать нестандартные задачи можно на уроках в форме устной работы, на факультативах. Цель таких уроков – через соответствующий подбор материала увлечь детей, помочь им раскрепоститься, освободиться от определённых алгоритмов, наладить диалог между учителем и учеником).

Итак, диалог.

– Знаю,– ответил тот и снова ушёл в себя.

Согласитесь, наш герой ответил на поставленный вопрос. Правда, Алису на самом деле интересовало, сколько времени. С точки зрения строгого математика, девочка спросила не то, что хотела.

А это пример из нашей школьной жизни.

Учитель: – Маша, твоя работа очень хорошая, но она точно такая же, как у Вовочки. Что я должна подумать?

Машенька: – Что работа Вовочки тоже хорошая.

Не правда ли, Маша ответила учителю в лучших традициях логики? Пожалуй, ответы “Это он у меня списал” или “Не знаю, так случайно получилось” даже менее логичны!

Предлагаю вам завершить несколько анекдотичных диалогов.

1) – Хотел бы я иметь столько денег, чтобы купить слона!

– А зачем тебе слон?

– Слон мне не нужен, мне ……. (нужно столько денег)

2) – Не волнуйтесь, больной! У меня самого была эта болезнь.

– Да, но у Вас был другой……. (врач)

3) – Вы подали кофе или чай?– спросила Алиса белого кролика?

– А что, не можешь различить?

– Да, не могу.

– В таком случае ……… ( какая тебе разница?)

4) – Каких Вам сардин – португальских, испанских, французских?

– Какая разница! Я же не собираюсь…… ( с ними разговаривать)

Трудно научить людей чему-нибудь, если ставить перед ними только сложные вопросы. А вопросы бывают разные.

Иногда вопрос может поставить в тупик, так как задан был неудачно. Это так называемые “дурацкие вопросы”. На них тоже надо уметь отвечать.

Например.

1. Вы зашли в тёмную кухню, где есть свеча, газовая плита и керосиновая лампа. Что вы зажжёте в первую очередь? (Свет или спичку)
2. Висит на стенке, зелёный, длинный, и стреляет? (Полотенце. Почему стреляет? – Чтобы труднее было отгадать!)
3. Большой, зелёный, живёт под землёй и питается камнями. Кто это? (Большой зелёный камнеед).

А что же наш Шляпник, мы про него совсем забыли. О, да он за своим обычным делом: чаепитием. Только вот смотрит на часы. Вы можете подумать – странные часы: показывают число, а которые час не показывают. Но у Шляпника и на это есть своя точка зрения: “Разве часы должны всё показывать?” Вообще, со временем надо бережно обращаться.

…Плохо за часами наблюдали
счастливые,
И нарочно Время замедляли
трусливые,
Торопили Время, понукали
крикливые,
Без причины Время убивали
ленивые.
И колёса времени
Стачивались в трении, –
Всё на свете портится от трения.
И тогда обиделось Время,
И застыли маятники Времени.

Застыли стенные часы и у Шляпника. Но он не расстроился. Ведь у Шляпника есть зашифрованные полезные советы. Алиса тут же подбежала к Соне, охранявшей их, и попробовала прочесть.

“Яияла реаой мбсат внжпу еойжс”.

“Ой, – воскликнула Алиса, – да тут невозможно ничего понять. Прямо какая-то абракадабра.

Варкалось. Хливкие шорьки
Пырялись по наве,
И хрюкотали зелюки,
Как мюмзики в мове”.

Тут к разговору подключился и Белый Кролик: “Стихи обсуждать не будем, а вот совет расшифровать надо. Давай я сначала научу тебя зашифровывать тексты”.

“Ой, как здорово!” – воскликнула Алиса.

Такой способ шифровки называется “Метод перемешанных букв”.

Для него необходимо выбрать ключевое слово.

“Давайте, слово “мечта”.

(В процессе работы на уроке можно использовать словарные слова, трудные термины. Например, проекция, аргумент, Лейбниц, интеграл, логарифм, Мёбиус и т.д.. Единственное требование к слову – каждая буква может повторятся только один раз.)

Итак, слово “мечта”. Нужно также выбрать маршрут чтения – направление, по которому записываются буквы тайного сообщения под ключевым словом.

Например, нужно зашифровать сообщение: “Алиса в Расчудесии”, ключевое слово – мечта, маршрут чтение – по горизонтали.

Первоначально текст принимает вид, где под каждой буквой ключевого слова записывается одна буква сообщения:

Если в сообщении, которое мы хотим отправить, не хватает букв, чтобы заполнить все свободные места под ключевым словом, то пробелы заполняются буквой “х”.

Затем надо расставить буквы ключевого слова в алфавитном порядке:

а е м т ч. Значит набор букв, стоящих под “а”, составит первое слово сообщения, а набор букв под “е” – второе и т.д. Мы получим следующий текст сообщения: “ ачих лрдх авуи сссх иаех”. Для того, чтобы усложнить задачу непосвящённым в переписку, можно сообщения записывать не четвёрками, а сплошным текстом. Тогда получатель должен сам поделить количество букв сообщения на 5 (число букв ключевого слова) и получить необходимые четвёрки, тройки, шестёрки… Количество букв в столбце зависит от длины послания.

Получатель сообщения должен написать ключевое слово, под ним по алфавиту – нужные четвёрки букв:

А теперь расшифруем полезный совет Шляпника.

“А какое ключевое слово я мог придумать?” – спросил Шляпник.

“Конечно же, шляпа!”– воскликнула Алиса. – Попробуем маршрут чтения по горизонтали”. Шляпа – а л п ш я.

Как только Алиса произнесла эти слова, часы пошли.

Поставив точное время 6 часов, все услышали бой часов. Он продолжался 5 секунд. После этого Шляпник спросил у Алисы: “За сколько времени они пробьют 12 часов?” ( Если часы успевают пробить 6 ударов за 5 с, то интервал между отдельными ударами составляет 1 с. Следовательно, 12 ударов часы пробьют за 11 с).

“Ещё один совет я хочу дать, – сказал Шляпник. – Ты, Алиса его зашифруй и вручи Соне. “Время не проведёшь”, ключевое слово время, маршрут чтения – по вертикали”.

Располагаем буквы слова по алфавиту: в е м р я.

Текст шифровки: внвь епдх мрех реех яошх.

Отдав шифровку Соне, Алиса вздохнула: “Да, время надо беречь”.

И… на часы испуганно взглянули
счастливые,
Жалобные песни затянули
трусливые,
Рты свои огромные заткнули
болтливые,
Хором зазевали и заснули
ленивые.
Смажь колёса Времени –
Не для первой премии –
Им ведь очень больно от тренья.
Обижать не следует Время.
Плохо и тоскливо жить без Времени.

Льюис Кэрролл не только учил детей стоять на голове – он учил стоять на голове учёных. А это для головы хорошая тренировка.

(Правильный ответ заключается в том, чтобы третий мальчик стал на руки впереди первых двух, в результате чего образуется число 931, делящееся на 7. Любые другие перестановки ни к чему не приводят.)

В этой несложной задаче главное – отойти от стереотипа. Перебор всех возможных перестановок, вероятно, сделал бы эту задачу неинтересной. Поэтому, следовало бы подумать о другом подходе.

Давайте вернёмся в Страну Чудес: путешествие ещё не закончено. Не все гости выступили со своими задачами. Например, белый кролик. Ему мы посвятим старинную китайскую задачу.

В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Эту задачу можно решать разными способами: составить уравнение, систему уравнений. А мы с вами решим устно.

Представим себе, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку.

– Что сделают кролики? (Встанут на задние лапы, чтобы дотянуться до морковки.)

– Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

– 70 ног.

– Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

– Остальные не посчитаны – это передние лапы кроликов.

– Сколько их?

– 24.

– Сколько же кроликов?

– 12.

– А фазанов?

– 23.

Эту задачу, как и несколько следующих, мы отнесём к задачам о числах, допускающим неожиданно простые решения, додуматься до которых бывает не так просто. Здесь важна роль учителя, он должен показать красоту и многообразие задач, решаемых арифметически (учебники Никольского содержат такой материал).

Ещё одна задача. В ней наконец-то появляется шляпа.

Это задача на внимание.

Школьники утверждают, что прямоугольник, описанный около шляпы, имеет форму квадрата. В чём ошибка? (Ошибки нет.)

Ах, эти шляпы, эти шляпы…
Ах, на кого я только шляп не надевал!
Mon dieu! – с какими головами разговаривал!..
Такие шляпы им на головы напяливал.
Что их врагов разило наповал!

Сорвиголов и оторвиголов видал:
В глазах – огонь, во рту – ругательства и кляпы!..
Но были. Правда, среди них такие шляпы,
Что я на них и шляп не надевал…

И на великом короле, и на сатрапе,
И на арапе, и на римском папе –
На ком угодно шляпы хороши!
Так согласитесь, наконец, что дело – в шляпе,-
Но не для головы, а для души!

Что ж, пора нам возвращаться из нашего путешествия.

Но “Будьте всегда готовы поверить в самую невозможную небыль и принять её с безграничным доверием мечтателей”. (Л.Кэрролл)