Физический смысл производной

Цели урока:

1. Обучающие

• познакомить учащихся с физическим смыслом производной,
• рассмотреть использование механического истолкования производной при решении задач, связанных с физическим смыслом,
• расширить знания учащихся о производной, ввести понятие второй производной,
• закрепить навыки вычисления производных.

2. Развивающие

• развитие логического мышления при установлении связи физических величин с понятием производной,
• развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий (аргументированная математическая речь),
• развитие умений наводить справки с помощью учебника, дополнительной литературы, интернета,
• развиваем познавательный интерес к предмету.

3 Воспитывающие

• воспитание устойчивого интереса к предмету,
• воспитание навыков коммуникативности в работе (умение слушать; признать ошибку; оказать помощь товарищу)
• воспитание таких качеств личности, как инициатива, организованность, привычка к системному труду, дисциплина, добросовестное отношение к порученному делу, самостоятельность.

Девиз урока: “Добывай знания сам!”

Форма проведения урока: семинар.

К семинару учащиеся готовят вопросы:

1. О происхождении терминов “производная”, “предел” и их обозначений.
2. Физический смысл производной.
3. Применение производной в физике.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Учитель.

“Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века”

Ф.Энгельс.

Посмотрите на слова Ф.Энгельса. Речь идет о производной. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 17 веке в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики, но в первую очередь следующих задач:

– определение скорости прямолинейного движения,
– построения касательной к кривой.

Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциальное исчисление. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики, астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки 18 века.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были обоснованны теоретически. И только в начале 19 века французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Вопрос классу: Вспомним определения предела и производной.

Смотрим “Презентация 1”.

XVII век. Зарождение дифференциального исчисления. Мы живем в 21 веке и сейчас используем уже известные нам обозначения. А с чего все начиналось? Каково происхождение терминов и обозначений?

Сообщение учащегося о происхождении терминов и обозначений предела и производной.

3. Актуализация знаний.

К доске вызываются двое учащихся:

• “Заполните таблицу” и “Найди ошибку”.

Остальные в это время по вариантам выполняют задание “Заполните “окошки”(5 мин.).

“Заполните таблицу”:

“Найди ошибку”:

Проверьте правильность заполнения таблицы.

“Заполните “окошки””:

Вариант 1

• (..........) ^/=х²-6х+8;
• (14/(х⁴-8х²+2))^/=(..........);
• (..........) ^/=24х³+13х²+5;
• ((3-х)/8)^/=(..........).

Вариант 2

• (..........) ^/=х³+5-6х⁴;
• (13х/(х-2))^/=(..........);
• (..........) ^/=0,5х²+4х;
• (1/7 х³-24х²-х/2)^/=(..........).

Класс сдает листочки и проверяет ответы у доски (5-7 мин.). Перед проверкой ещё раз повторяем правила дифференцирования (смотрим “Презентация 2”).

4. Проблемная задача.

Две материальные точки движутся прямолинейно по законам

S₁(t)=2,5t²-6t+1,

S₂(t)=0,5t²+2t-3.

В какой момент времени скорости их равны, т.е.V₁(t ₀ )=V₂(t ₀ ), t ₀ -?

“Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение”

Ф.Энгельс.

Учитель.

Рассмотрим физический смысл производной.

Учащиеся, которые готовили этот вопрос, защищают свои проекты (остальные слушают, делают записи в тетради, уточняют непонятные моменты).

Проекты учащихся о применении производной в физике:

• физический смысл производной,

• вторая производная (понятие) и ее физический смысл.

Презентации учащихся:

– “ Презентация 3”,

– “Презентация 4”.

Класс далее решает предложенную проблемную задачу.

5. Закрепление и проверка уровня усвоения (по вариантам).

Вариант 1

1. В чем сущность физического смысла у^/?

А. Скорость.
Б. Ускорение.
В. Угловой коэффициент.
Г. Не знаю.

2. Точка движется по закону S(t)=2t³-3t. Чему равна скорость в момент t ₀ =1с?

А. 15.
Б. 12.
В. 9.
Г. 3.

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=gt²/2. Назовите формулу ускорения.

А. 2gt/2.
Б. 2gt.
В. gt.
Г. g.

4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=t³/3-2t²+3t+1. В какие моменты времени ее скорость будет равна 0?

А. 1 и 3.
Б. 1 и 4.
В. 2.
Г. 2 и 0.

5. Скорость тела определяется по формуле V(t)=5t³+t². Чему равно ускорение тела в момент времени t ₀ =1с?

А. 17.
Б. 32.
В. 30.
Г. 16.

Вариант 2

1. В чем сущность физического смысла у^//?

А. Скорость.
Б. Ускорение.
В. Угловой коэффициент.
Г. Не знаю.

2.Точка движется по закону S(t)=2t³-3t. Чему равно ускорение в момент t ₀ =1с?

А. 15.
Б. 12.
В. 9.
Г. 3.

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=gt²/2. Назовите формулу скорости.

А. 2gt/2.
Б. 2gt.
В. gt.
Г. g.

4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=t³/3-2t²+3t+1. В какие моменты времени ее ускорение будет равна 0?

А. 1 и 3.
Б. 1 и 4.
В. 2.
Г. 2 и 0.

5. Скорость тела определяется по формуле V(t)=15t²+ 2t. Чему равно ускорение тела в момент времени t ₀ =1с?

А. 17.
Б. 32.
В. 30.
Г. 16.