Урок-экскурсия в научно-исследовательский институт "Методы решения тригонометрических уравнений"

Разделы: Математика

Человеку, изучающему алгебру,
часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами,
чем решать три-четыре различные задачи.
Решая одну задачу различными способами,
можно путем сравнения выяснить,
какой из них короче и эффективнее.
Так вырабатывается опыт.
У.У. Сойер

Цели урока:

Главная цель: Развитие интеллекта и мышление ребенка

Обучающие:

  1. Применение различных способов решения уравнения sinx +cosx=1;
  2. Знакомство с новым способом решения уравнения, через введение вспомогательного угла, универсальной подстановки;
  3. Формирование умений применять полученные знания по математике на уроках физики, музыки, геометрии, т.е. формирование целостного мировосприятия:
  4. Отработка у учащихся приемов учебно-познавательной деятельности;
  5. Активизирование личностного смысла учащихся к изучении темы.

Развивающие:

  1. Развитие творческих способностей и познавательного интереса;
  2. Развитие самостоятельности учащихся в выборе способа решения уравнения sinx + cosx = 1;
  3. Развитие общекультурного уровня устной речи учащихся;
  4. Развитие навыков самостоятельности и работы в группах. обучать поискам нескольких способов решения одной задачи и умению выбирать из них наиболее оригинальный, оптимальный;

Воспитательные:

  1. Воспитание воли и настойчивости в достижении конечного результата;
  2. Стимулирование любознательности, творческой деятельности;
  3. Критичности мышления;
  4. Сознательное отношение к учебе и коммуникативных умений

Задачи урока:

  1. Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний решения тригонометрических уравнений через решения уравнения вида sinx + cosx = 1;
  2. Развивать интерес учащихся к занятию, придав ему проблемно-исследовательский характер, что отвечает личностным интересам и потребностям учащихся;
  3. Развивать потребность в исследовательской деятельности.

Содержание темы: Данная тема по программе 10 класса для профильного обучения по учебнику А.Г. Мордкович, П.В. Семенов

Тип урока: Урок систематизации и изучения нового материала с элементами дидактической игры “Экскурсия в НИИ”

Организационные формы общения. Групповая, индивидуальная.

Структура урока:

  1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели (игровой замысел).
  2. Сообщение правил игры.
  3. Входной контроль – игровые действия, в процессе которых происходит актуализация опорных знаний.
  4. Игровые действия, в процессе которых раскрывается познавательное содержание; происходит воспроизведение и коррекция учебных знаний; открытие новых знаний; проводится диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандарта с переходом на более высокий уровень.
  5. Итоги игры, подведение итогов урока.
  6. Творческое домашнее задание.
  7. Рефлексия.

Ход урока

1. Мотивационная беседа с учащимися

Задача этапа: Создать у учащихся рабочий настрой и обеспечить деловую обстановку в классе.

Метод обучения: словесный.

Форма обучения: коллективная.

Деятельность учителя: Приветствие учащихся. Цитирует эпиграф. (Презентация. Слайд 1.)

Сообщает тему урока: (Слайд 2.)

В свой 15 лет вы уже всерьез задумываетесь о своей будущей профессии. Чтобы ее получить необходимо определиться что для этого необходимо знать. Важно попробовать себя в разных направлениях. Но окончательно решать будете вы сами. Хорошее решение может быть принято только на основе знаний. Математика имеет значительные преимущества перед другими предметами, т.к. систематические знания учат правильно рассуждать, принимать верные решения, защищать и отстаивать свое мнение, развивают память, внимание, воображение. Всем известно, что люди творческие – наиболее образованные. Поэтому предлагаю Вам сегодня представить себя сотрудниками лабораторий НИИ по проблемам математики. Приглашаю Вас совершить экскурсию в НИИ. В процессе игры мы обсудим методы решения тригонометрических уравнений. Известно, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом. Ваша задача исследовать и найти, как можно больше методов решения уравнения sinx + cosx = 1. Работа будет проводится в группах – кафедрах, познакомимся со способом решения уравнения через введение вспомогательного угла, понятие которого используется в гармонических колебаниях, т.е. тем самым установим связь с физикой и музыкой и универсальной подстановкой. В процессе игры вы должны показать уровень усвоения темы, умение обобщать и анализировать материал, умение выделять главное, умение выступать перед аудиторией. В конце урока зав. кафедрами оценят работу каждого сотрудника и сотрудники дадут оценку самим себе.

Деятельность учащихся:

Приветствуют учителя. Слушают. Записывают тему урока.

2. Прежде чем попасть в институт проводится проверка безопасности, ваши знания сканировались, чтобы ничего лишнего вы не пронесли в институт. Заранее перед уроком домашнее задание сканировалось у 3 учеников (п. 29 №18(а), 24(б), 30(б)). Проверка домашнего задания с использованием ИД.

3. Выполнение заданий по теме для получения пропуска в НИИ.

В НИИ две лаборатории: исследовательская и проектная.

Исследовательская лаборатория состоит из 2 кафедр: кафедра дополнительного угла и кафедра универсальная.

Проектная лаборатория состоит из кафедр: кафедра теоретической математики и кафедра прикладной математики.

На этапе актуализации знаний происходит воспроизведение и коррекция необходимых знаний и умений.

Сотрудникам кафедры теоретической математики, необходимо показать теоретические знания изученной темы. В пропуске записаны формулы, необходимо провести исследование и указать их названия: Приложение 3. (Слайд 3.)

Сотрудникам кафедры прикладной математики необходимо показать умения применять знания на практике: Выполнить задания “Программированный контроль”:

на перфокартах письменная программированная работа. Приложение 2. (Слайд 4–7)

Сотрудникам исследовательской лаборатории, кафедры универсальной, необходимо исследовать решенные уравнения и найти ошибки, допущенные в решении уравнений.

Каждый пример решает член лаборатории. Если затрудняется ответить, то ему помогают сотрудники лаборатории.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3.

Пример 4.

Членам кафедры универсальной: Установить соответствие между вопросами и ответами. Приложение 1. Тест проводится под копировальную бумагу. Копии решений теста сдаются на проверку. Проверка теста с помощью мультимедийного проектора

Руководители лабораторий выполняют на ИД доске задание: Установить соответствие между вопросами и ответами (Слайд 8, 9, 10.)

(В это время 2 консультанта проверяют работу учащихся у доски и ставят оценку.)

4. Аукцион идей

Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решения, согласно приведенной ниже таблице. Обсуждение проводится в группах и затем делается вывод.

№ Уравнение № метода решения Методы
1. 2sin2x + cos2x = 5sinx · cosx   а) приведением к квадратному
2. sin2x + cos2 2x + sin2 3x =   б) как однородные
3. cos x · sin7x = cos3x · sin5x   в) понижением порядка
4. sin2x – 2 sin x – 3 = 0   г) с помощью формул суммы и разности
5. √2 · cos x – sin x = 0    
6. sin x + sin3x = sin5x – sin x    
7. sin x – sin2x + sin3x – sin4x = 0    
8. 2 cos2x + 3 sin2x + 2cosx = 0    
9. 2 cos2x + 3 sin2x + 2√3 · sin x · cos x = 3    
10. sin2x – sin2x = cos2x    
11. sin x + cos x = 1    

Аукцион идей (каждая лаборатория должна предложить как можно больше способов решения уравнения №11). (Слайд 12.)

Осуществляется самоконтроль и взаимоконтроль. Обращение к имеющимся знаниям детей, понятийность через интерес самих детей. Выслушивание различных точек зрения. Учащиеся учатся слышать друг друга, уступать или отстаивать свою точку зрения. Данная форма работы побуждает и развивает у ребят исследовательский инстинкт, развивает способность анализировать, обобщать, выделять главное.

5. Тренажер “Здоровье” (Слайд 13.)

Путешествие по тригонометрическому кругу - это зарядка для глаз.

Учитель задает упражнения.

1. Глаза открыты. По оси ОХ вправо-влево. По оси ОУ вверх-вниз. По окружности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

2. Глаза закрыты. Повторить эти же упражнения.

6. Эдисон сказал: “Решай, твори, ищи и мысли.”

А) Сотрудникам проектной лаборатории предлагается решить данное уравнение различными способами и составить проект “Методы решения уравнения sinx + cosx = 1” (Слайд 14.)
Работа в парах.

1-й способ (разложением на множители)

sinx + cosx = 1 (используя формулы двойного угла)

2sin cos +cos2 – sin2 = cos2 + sin2

2sin(cos – sin ) =0

Ответ:

Х = π/2 + 2πn; х = 2πn, n Є Z

2-й способ (приведение к однородному уравнению второй степени)

sinx + cosx = 1

sinx + (cosx – 1) = 0; sinx – (1 – cosx) = 0; 2sincos - 2 sin2 = 0

2sin(cos – sin ) =0

Ответ: х = π/2 + 2πn; х = 2ππп nЄZ

3-й способ (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение), используя формулы приведения

sinx + cosx = 1

cosx = sin(π/2 – x); sinx + sin(π/2 – x) = 1

Ответ: х = π/2 + 2πn; х = 2πn, nЄZ

4-й способ (возведение в квадрат обеих частей уравнения)

sinx + cosx = 1 (при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, необходима проверка)

2sinx · cosx = 0

х1 = π/2 + πn; х2 = πn, где nЄZ

Проверка корней:

х = π/2 + πn х = πn, где nЄZ

n = 0, х = π/2 ; n = 0, х = 0

n = 1, х = 3π/2 посторонний корень n = 1, х = π  – посторонний корень

n = 2, х = π/2 + 2πn; n = 2, х = 2π

n = 3, х = 3π – посторонний корень

Ответ: x = π/2 + 2πn; х = 2π, nЄZ

Б) Посещение исследовательской лаборатории, где ее сотрудники изучат и продемонстрирует новые методы решения тригонометрических уравнений.

Кафедра “Вспомогательного угла” (Слайд 15.)

Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике, технике. Такие процессы как колебание пружины, колебание маятника, напряжение в цепи переменного тока описываются функцией, которая задается формулой у = Аsin (ωx + φ)

5-й способ (введение вспомогательного угла) § 30 стр. 230–231

Кафедра “Универсальная”

6-й способ (выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка) § 31 стр. 233.

sinx + cosx = 1

Ответ: х = π2 + 2πn; х = 2πn ,где nЄZ

7. “Непреодолимого ничего нет” Суворов

Сотрудникам кафедры прикладной математики: решить ряд уравнений новыми методами. Ассистенты объяснят использование данного метода при решении неравенств и определении области значения тригонометрического выражения.

№ 30.6 – 4-е человека работают у доски

№ 30.22 на месте 2-а человека решают неравенства

С сотрудниками кафедры теоретической математики проводится игра “Верите ли Вы” (Слайд 16.)

Ребята отвечают на вопросы учителя, поднимая красную (если не верят) или зеленую (если верят) карточки. (Поднимая руки, ребята проводят физкультминутку. Поднимают руку – делают глубокий вдох, опускают – выдох.)

Сотрудникам исследовательской лаборатории выполнить задание: (Слайд 17,18) при помощи введения вспомогательного угла данное тригонометрическое уравнение преобразовали к более простому. Восстановить правую часть. (Слайд 19.)

8. В заключении учащиеся посетят “Выставочный зал”, где познакомятся с портретами ученых, внесших большой вклад в тригонометрию как науку. (Слайд 20–23.)

9. Рефлексия

Изменения в природе характеризуются оттепелью. Если в ваших знаниях произошли изменения, то отразите их, используя символическую сосульку, поместив ее в соответствующее оконце. В конце урока учащиеся отрывают “Сосульку” от крыши дома.

10. Домашнее задание у вас индивидуальное. Составить проект решения любого уравнения различными методами. (Слайд 24.)

Зав. кафедрами решить уравнение:

11. Итог урока.

Я хочу закончить урок словами Герберта Спенсера “Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы!” Спасибо всем!

Учащиеся заполняют памятки.

Памятка сотрудникам лаборатории.

Работа в группе:
Мне как участнику в группе удалось (не удалось)……
Я научился……
Я испытывал затруднения…..
Готовясь к уроку…..
Мне предстоит в дальнейшей работе…..
Мне понравилось…..
Я считаю, что….
Чью работу вы бы отметили?
Я выбирал вариант…. домашнего задания, т. к. считаю……
Я приобрел навыки работы…..

Памятка (зав. кафедр)

Мне как руководителю группы удалось (не удалось)
Сложно ли вам было руководить группой? В чем сложность?
Чем вы довольны? В чем успех группы?
Чью работу вы бы отметили?