Пропорциональные отрезки в треугольнике

Разделы: Математика

Классы: 8, 9

1-й урок

Повторение тем “Подобие треугольников. Свойство биссектрисы треугольника.
Среднее пропорциональное. Теорема Фалеса. Обобщённая теорема Фалеса”

Цели:

  1. Закрепить навык определения хода решения задач;
  2. Закрепить умение проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач;
  3. Закрепить умения и навыки решения типичных задач по данной теме.

Задачи:

  1. Закрепить умения и навыки решения типичных задач по данной теме;
  2. Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
  3. Развитие познавательной и исследовательской деятельности учащихся.

Оборудование: мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Устно:

1) Формулировки всех теорем, связанных с пропорциональными отрезками.

2) Задачи по готовым чертежам (на мультимедийном проекторе).

№ 1. Найти подобные треугольники на чертежах:

Сформулировать признаки подобия треугольников, применяемые для решения данных задач.

№ 2. Найти подобные треугольники на чертежах:

Сформулировать признаки подобия треугольников, применяемые для решения данных задач.

№ 3. Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Отрезки, отсечённые прямыми на одной стороне угла, относятся как . Как относятся отрезки, отсечённые на другой стороне угла?

Сформулировать обобщённую теорему Фалеса.

№ 4. Дано: АВС – прямоугольный (С=90°), СD – высота, АD=4 см, ВD=9 см.

Найти: а) СD; б) АС; в) ВС.

Сформулировать теорему о средних пропорциональных.

II. Решение задач:

  1. В треугольнике АВС АВ=8 см, ВС=9 см, АС=2 см. На сколько надо продолжить сторону АС до пересечения с биссектрисой внешнего угла при вершине В?
  2. В треугольнике АВС ВС=а, АС=b, АВ=с. Докажите, что если , то А=2В.
  3. Постройте прямоугольный треугольник по отношению катетов 2 : 3 и его периметру.
  4. В трапеции АВСD и , АС=15 см, АЕ=9 см. Найти площадь трапеции.

III. Итог урока:

Объявление отметок и домашнего задания.

2-й урок

“Теоремы Чевы и Менелая”

Цели:

  1. Формирование исследовательского подхода к решению задач;
  2. Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и его истории;
  3. Сформулировать и доказать теоремы Чевы и Менелая;
  4. Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при доказательстве теорем, а также логического перехода от одного шага к другому;
  5. Формирование навыка решения задач “в один шаг” на непосредственное применения изученных теорем.

Задачи:

  1. Решение задач, подводящих к формулировке теорем Чевы и Менелая;
  2. Сформулировать и доказать теоремы Чевы и Менелая;
  3. Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при доказательстве теорем, а также логического перехода от одного шага к другому;
  4. Формирование навыка решения задач “в один шаг” на непосредственное применения изученных теорем.

Оборудование: мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Решение задачи с помощью обобщённой теоремы Фалеса.

№ 1. В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ : МС = 1 : 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ.

(Указание: через точки N и С провести параллельные прямые, пересекающие АВ; и через точки М и С провести параллельные прямые, пересекающие АВ).

Эту задачу можно решить более рациональным способом, но для этого нужны дополнительные знания.

II. Доклад о математике Джованни Чева.

Джованни Чева — итальянский математик. Родился в 1648 г. и умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Старался возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении “О взаимопересекающихся прямых”. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Прилагаемый к вопросам, в которых рассматриваются отношения между отрезками, образованными пересекающимися линиями друг на друге, он состоит в помещении в точках пересечения тяжестей, обратно пропорциональных соответствующим отрезкам, и в последующем за тем выводе отношения между тяжестями на основании принципа рычага в статике. Достаточно назвать известное в геометрии под именем теоремы Чевы предложение о произведениях отрезков, образованных на сторонах треугольника трансверсалями, проходящими через общую точку (произведение трех отрезков, не сходящихся попарно в одной общей точке, равно произведению трех других отрезков), и на подобное же предложение об отрезках, образованных на сторонах четырехугольника плоскостью, их пересекающею, если не все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости. Во второй части идеи и теоремы, изложенные в 1-й, прилагаются к коническим сечениям. Наконец, прибавление занимается теоремами о площадях некоторых плоских фигур и об объемах и центрах тяжести тел вращения второго порядка. Чева был инженером-гидравликом и в качестве такового несколько раз служил правительству Мантуи. Смерть его последовала во время осады Мантуи. Считался выдающимся автором в области экономики — первым проницательным математическим писателем по этому предмету. Его брат, Томмазо Чева, математик (1648—1737), иезуит. В 1695 г. изобрел инструмент для механического деления угла на три части.

III. Определение чевианы и доказательство теоремы Чевы.

Определение. Чевианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой на противоположной стороне этого треугольника.

Теорема Чевы.

Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки .  Отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:.

Доказательство:

Необходимость.

Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке O. Проведем через вершину B треугольника прямую a¦AC. Пусть прямые АА1 и ВВ1 пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников АА1С и МА1В1 по двум углам (А1СА = А1ВМ как накрест лежащие и ВА1М = АА1С как вертикальные) имеем: . (1)

Аналогично из подобия треугольников АС1С и ВС1N по двум углам (С1СА = С1NB и С1АС = С1BN – как пары накрест лежащих): . (2)

Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам (ОСА = ONP и ОАС = OMN) получаем . (3)

Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств (1), (2) и (3), получим необходимое равенство.

Достаточность.

Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 проходят через одну точку.

Пусть O – точка пересечения отрезков АА1 и СС1, а C2 – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что .

Сравнивая с условием теоремы, получим . Следовательно, точки C2 и С1 совпадают.

IV. Решение задач.

№ 2. Решить задачу №1 с помощью теоремы Чевы.

№ 3. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD : DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?

V. Презентация о математике Менелае Александрийском.

VI. Доказательство теоремы Менелая. (Доказательство ведётся с помощью мультимедийного аппарата в программе “Живая геометрия”).

VII. Решение задач.

№ 4. В треугольнике АВС точка М – середина АВ, точка N такая, что BN : NC = 3 : 2.

Прямая МN пересекает прямую АС в точке К. Найти отношение КС : АК.

№ 5. В треугольнике АВС отрезки AD и ВЕ, проведённые из вершин А и В к сторонам ВС и АС соответственно, делятся точкой пересечения Q в соотношении AQ : QD = 7 : 5, BQ : QE = 3 : 4. В каков отношении точки D и Е делят сторону треугольника?

VIII. Итог урока:

Объявление отметок и домашнего задания.

3-й урок

Решение задач по теме “Пропорциональные отрезки в треугольнике”
с использованием теорем Чевы и Менелая

Цели:

  1. Уйти от традиционных подходов к решению задач, приводящих к громоздким преобразованиям.
  2. Сформировать умения и навыки применять теоремы Чевы и Менелая к решению задач, позволяющих получать короткое и эффективное решение.
  3. Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и его истории.
  4. Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при решении задач, а также логического перехода от одного шага к другому.
  5. Формирование умения решать выделенные подзадачи.

Задачи:

  1. Уйти от традиционных подходов к решению задач, приводящих к громоздким преобразованиям.
  2. Сформировать умения и навыки применять теоремы Чевы и Менелая к решению задач, позволяющих получать короткое и эффективное решение.
  3. Добиваться осознанного восприятия отдельных шагов при решении задач, а также логического перехода от одного шага к другому и умения решать выделенные подзадачи.
  4. Формирование навыков работы в группах.

Оборудование: мультимедийный проектор.

В результате учащиеся должны:

- прочно усвоить теоремы, связанные с данной темой;

- уметь решать задачи, связанные с данной темой, рациональным способом;

- повысить качество знаний.

Ход урока

I. Повторить формулировки теорем Чевы и Менелая.

II. Работа в группах (4 группы по 5-6 человек).

  1. Каждая группа получает задачу на данную тему и решает её.
  2. Обсуждение решений задач каждой группы по готовым чертежам (готовит учитель на мультимедийном проекте).
  3. Выработка рационального способа решения каждой задачи.

Задачи для урока:

№ 1. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК : ВК = 1 : 3, а на стороне ВС – точка L так, что CL : BL = 2 : 1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQC равна 2. (Ответ: 3)

№ 2. В треугольнике АВС, площадь которого равна 5, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК : ВК = 2 : 3, а на стороне АС – точка L, делящая её в отношении AL : АС = 5 : 8. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой АВ на расстояние 1. Найти длину стороны АВ. (Ответ: 5)

№ 3. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка К, а на стороне ВС точка М так, что СК : КА = 5 : 1, . Найти СМ : МВ. (Ответ: 6 : 5)

№ 4. На медианах АК, BL и CN треугольника АВС взяты точки Р, Q и R так, что AP : PK = 1 : 1, BQ : QL = 1 : 2, CR : CN = 9 : 4. Найти площадь треугольника PQR, если площадь треугольника АВС равна 1. (Ответ: )

III. Итог урока.

Выставление оценок группам. Домашнее задание.

Литература

  1. Б.Г.Зив, В.М. Мейлер “Дидактические материалы по геометрии для 8 класса” (Москва, “Просвещение” 2008 г.)
  2. Л.С. Атанасян “Дополнительные главы” (Москва, “Просвещение” 2002 г.)
  3. Д. Шноль, А. Сгибнев, Н. Нетрусова “Система открытых задач по геометрии” (библиотечка “1 сентября” 2009 г.)
  4. О.Ю. Черкасов “Планиметрия на вступительном экзамене” (изд-во “Московский лицей” 1996 г.)
  5. В.И. Жохов, Г.Д. Карташева, Л.Б. Крайнева “Уроки геометрии в 7-9 классах” (Москва, “Мнемозина” 2005 г.)