Сумма углов треугольника

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

Образовательные:

  • вместе с ребятами “открыть” и доказать теорему о сумме углов треугольника;
  • обобщить и систематизировать изученный материал по данной теме;
  • познакомить учащихся с историческим материалом по изучаемой теме;
  • привить интерес к математике посредством включения в урок игровых технологий;
  • сформировать навыки, умения в решении геометрических задач;
  • научить решать задачи, применяя полученные знания.

Развивающие:

  • развить внимание, память, речь, логическое мышление, самостоятельность;
  • рассмотреть нескольких способов доказательства теоремы, обобщить с использованием элементов исследования, развить математическую речь;
  • сформировать умения сравнивать, обобщать факты и понятия;
  • развить сотрудничество при работе в парах.

Воспитательные:

  • воспитывать стремление достигать поставленную цель; чувство ответственности, уверенности в себе, умение работать в коллективе;
  • воспитывать такие черты характера, как настойчивость, целеустремленность, трудолюбие и дисциплинированность;
  • привить навыки аккуратности при построении чертежей;
  • сформировать гуманные отношения на уроке.

Оборудование: ПК, мультимедийное оборудование, планшеты, листы задания с домашней работой, картонные треугольники, раздаточный материал.

Применяемые формы обучения: Фронтальная, индивидуальная работа учащихся и работа в парах. Для активизации внимания, воображения введены игровые моменты.

Структура урока:

  1. Организация начала урока – 2 мин.
  2. Определение задач урока – 1 мин.
  3. Подготовка к основному этапу урока -5 мин.
  4. Актуализация ранее изученного материала – 4 мин.
  5. Ознакомление с новым материалом – 10 мин
  6. Физкультминутка – 1 мин
  7. Первичная проверка понимания – 5 мин.
  8. Усвоение знаний. Решение задач – 13 мин.
  9. Подведение итогов урока. Рефлексия – 2 мин.
  10. Информация о домашнем задании – 2 мин.

Ход урока

1. Организационный момент.

Слайд 1 – Презентация

Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. На доске тема урока и высказывание:

…Как для смертных истина ясна,
Что в треугольник двум тупым не влиться.
Данте А.

2. Определение задач урока.

Слайд 2.

Ребята, как вы думаете, о какой фигуре пойдет речь на этом уроке? Какие задачи урока?

  • “открыть” и доказать теорему о сумме углов треугольника;
  • научить решать задачи, применяя полученные знания.

3. Подготовка к основному этапу урока.

Сформулируйте определение треугольника. (Треугольник это геометрическая фигура, образования тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)

Назовите элементы треугольника. (Углы, стороны, вершины.)

Назовите названия треугольников по сторонам. (Равносторонний, равнобедренный, разносторонний.)

Один из учащихся выбирает и показывает классу треугольники, заготовленные и лежащие на столе у учителя.

Треугольники различаются и по углам. Попробуем назвать треугольники по углам. (Другой учащийся выбирает: остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольники.)

Давайте ответим на ряд вопросов:

Может ли треугольник иметь:

  1. два прямых угла;
  2. два тупых угла;
  3. один прямой и один тупой угол?

К доске вызывается один ученик и выполняет следующие рисунки:

Далее идет «коллективное обсуждение». Построенные лучи не пересекаются, значит, треугольник не получится. Сумма односторонних углов в первом случае равна 180°, во втором и третьем случае больше, чем 180°. В первом случае прямые параллельны, а во втором и третьем случае прямые расходятся. Делаем вывод: треугольники не могут иметь два прямых, два тупых. А также в треугольнике не может быть одновременно один тупой и один прямой углы. Слайд 3.

Опять посмотрим на модели треугольников и сделаем вывод: в прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два угла острых, в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два острых, в остроугольном треугольнике все углы острые. Но теоретически мы на этот вопрос ответить не можем, пока не узнаем, чему равна сумма углов треугольника.

Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. А как вы думаете, чему равна сумма углов любого треугольника? (Заслушать ответы). Давайте проверим, верны ли ваши предположения с помощью практической работы.

Практическая работа (способствует актуализации знаний и навыков самопознания). (Работа в парах.) Слайды 4-5.

У каждого из вас есть на парте по одному треугольнику разных цветов. Ребята, мы с вами измеряли углы и с помощью транспортира и находили их сумму еще в 5 классе. Сумма углов у всех получалась разная (так может получаться потому, что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).

Я предлагаю найти сумму углов треугольника двумя другими способами: возьмите треугольники, которые лежат у вас на парте. Они желтого или розового цвета. Обозначьте углы треугольника числами 1, 2, 3.

Учащиеся с желтыми треугольниками: оторвите два угла треугольника и приложите их к сторонам третьего угла так, чтобы все вершины были в одной точке. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.

Учащиеся с розовыми треугольниками: сложите углы во внутрь треугольника. Заметим, что перегибать треугольник надо по прямой параллельной к стороне, того угла который мы будем сгибать первым, а данный угол должен касаться данной стороны. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.

Чему равна градусная мера развернутого угла?

К какому выводу мы пришли?

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Выполнив практическую работу, мы установили, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой.

Какую теорему нам нужно доказать?

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

4. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению новых знаний.

Слайды 6-7.

Прежде, чем доказать эту теорему решим две задачи устно они помогут нам при доказательстве теоремы:

1)
 Дано: MK || AC
Укажите:
а) пару накрест лежащих углов;
б) пару внутренних односторонних углов.
Найдите углы треугольника ABC
2)
 Дано: NC || MK
Найдите 3 и 4

5. Этап усвоения новых знаний, умений, навыков.

Слайды 8-9

(Возможны три способа доказательства).

Доказательство теоремы (развивает способность анализировать, обобщать и делать логические выводы, используя ранее изученный материал).

Один учащийся доказывает теорему у доски, по ходу комментируя свои действия. Остальные учащиеся работают в тетрадях. В случае неточности, учитель проводит корректировку.

Учитель: Что нам дано?

Учащийся: Дан треугольник.

Учитель: Постройте у себя в тетрадях произвольный треугольник и обозначьте его вершины А, В и С. Что требуется доказать?

Учащийся: Что сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: ∆ ABC
Доказать: A+B+C=180°

План доказательства:
1) Через вершину B проведем прямую DE || AC
2) Доказать, что 4 =1 , 5 = 3
3) Доказать, что если 4+2+5=180°, значит, 1+2+3=180° или в ∆ ABC A+B+C=180°

Но такой способ доказательства не единственный. Первое доказательство было дано еще Пифагором (5 в. до н.э.) В первой книге «Начала» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Слайд 10.

Ребята доказывают устно:

Доказательство:
1) Через вершину B проведем луч BD|| AC.
2) 4и 3- накрест лежащие при BD||AC и секущей BC.
3) BD|| AC и AB- секущая, то 1+ABD=180° – односторонние углы.
4) тогда 1+2+4=180° , т.к 4=3 ,то 1+2+3=180° или A+B+C=180°

Попробуйте доказать дома эту теорему, используя чертеж учеников Пифагора. (Ребятам раздается лист с чертежами всех трех доказательств на дом.) Слайд 11.

6. Физкультминутка.

  

Слайды 12-14.

7. Закрепление изученного материала.

Теперь, пользуясь теоремой, можно обосновать, почему в треугольнике не может быть двух прямых углов, двух тупых углов, двух углов, один из которых тупой, а другой прямой.

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника (выводится учащимися самостоятельно; это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее).

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой.

Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным.

Устная работа: (планшеты) Слайд 15.

Ответьте на вопросы: Слайд 16.

    1. Если один из углов треугольника прямой, то какие будут два других угла?
    2. Если треугольник прямоугольный, то чему равна сумма острых углов треугольника?
    3. Если один из углов треугольника тупой, то чему равна сумма двух других углов треугольника?
    4. Могут ли все три угла треугольника быть равными?
    5. Чему равна градусная мера каждого из них?
    6. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном или тупоугольном?

8. Усвоение знаний. Решение задач. Листы с заданиями.

Слайды 17-20.

1) Дано: DK – биссектриса,
CDK=28°, CKD=75°

Найти: углы ∆CDE
2) Дано: AB=BC, A=50°
BM – высота.

Найти: CBM
3) Дано: OB=OA, OC=CD,
BOC=137°

Найти: углы ∆AOB и ∆CDO
4) Дано: A=90°СF,
DB – биссектрисы ∆ACD

Найти: COD

Итак, ребята этот урок пополнил ваши знания о треугольнике, но это еще не предел. На следующих уроках мы продолжим изучение треугольников, и вы узнаете еще много интересного и познавательного об этой геометрической фигуре.

9. Задание на дом.

Слайд 21.

  1. Раздаточный маериал: три чертежа для доказательства. (приложение 1)
  2. П. 30-31, стр. 70, №223(а,б), 224, 225, 230

10. Итог урока.

Слайд 22.

Рефлексия:

Продолжите фразу:

  • “Сегодня на уроке я узнал…”
  • “Сегодня на уроке я научился…”
  • “Сегодня на уроке я познакомился…”
  • “Сегодня на уроке я повторил…”
  • “Сегодня на уроке я закрепил…”

Приложение 2.