Математическое мышление – способность человека мыслить, рассуждать, оперируя величинами, количественными отношениями, представляющая собой процесс отражения объективной действительности в представлениях, суждениях, понятиях, а также в пространственных формах.
Знания и передача знаний. Казалось бы, две части одного целого. «Кто ясно мыслит – ясно излагает». Нельзя, конечно, «ясно изложить» то, чего сам не знаешь, но изложить понимаемое не всегда просто. Наверное, дело в том, кому мы объясняем. Если, объясняя, мы сосредотачиваемся исключительно на содержании излагаемой проблемы, значит, мы излагаем её себе самим. Замыкаемся в себе. Ученик же остаётся безразличным «приёмником» излагаемой нами информации. Он живёт в своём собственном мире. Мыслит в собственной логике.
Чтобы постичь проблему учитель вместе с учеником, надо знать психологические особенности ученика, понимать, как ученик мыслит, использовать его доминантную подструктуру мышления.
Знания учеников будут крепкие и прочные, если учитель идёт не впереди ученика, и не в середине, а позади ученика. Преподаватель исподволь «открывает глаза» ученику. И вершину знаний ученик покоряет самостоятельно.
При изучении нового материала и решении задач я пользуюсь переходом от объяснения к вопросам, «высвечивающих» ученику «тропинку вверх по лестнице». При освоении разделов с новой терминологий, например, при изучении дробей, логарифмов, тригонометрии, производных в глазах многих учеников появляется растерянность: нужно определённое время на освоение нового, на привыкание к нему. Для решения этих проблем, да и некоторых других, я учитываю структуру математического мышления и её особенности в преподавании.
Согласно психологическим исследованиям структуру математического мышления можно рассматривать как пересечение пяти подструктур. Любая из них может занять доминантное место и тем самым обуславливать особенности математического мышления ребёнка. Выражается это в том, что разные люди в одном и том же математическом объекте вычленяют различные характеристики и свойства.
Если доминирует топологическая подструктура, то эти школьники в первую очередь легче замечают и легче оперируют такими характеристиками как непрерывно-разрывно, принадлежит - не принадлежит, внутри- вне. Каждое действие они осуществляют очень подробно, стараясь не пропустить в нём ни одной операции.
Эта подструктура появляется у ребёнка самой первой (в три года) и является наиболее доступной для большинства людей. Поэтому, когда что-то непонятно, просят объяснить поподробнее, связно, без пропусков, т.е. топологично.
Те, у кого доминирует проективная подструктура, предпочитают рассматривать и изучать предмет с различных точек зрения, искать и находить различные применения изучаемого объекта на практике.
С доминирующей порядковой подструктурой люди любят сравнивать, оценивать, классифицировать. Работа по алгоритму для них любимое занятие.
Люди с доминирующей метрической подструктурой акцентируют своё внимание на количественных характеристиках. Главный для них вопрос - «сколько?» какова длина, величина, расстояние.
Люди с доминирующей алгебраической подструктурой делают обычно всё быстро, они не любят записывать, объяснять все шаги решения. И при этом часто ошибаются.
В зависимости от доминирующей подструктуры дети по-разному запоминают и овладевают математическими понятиями, строят умозаключения, думают. Поэтому после введения понятия я даю ученику возможность его осмыслить, затем самостоятельно сформулировать и при необходимости откорректировать.
Поэтому построение урока планирую с учётом индивидуальных особенностей математического мышления детей.
В работе я учитываю одно из важнейших положений педагогической психологии: обучение должно вести за собой умственное развитие. Учу школьников накапливать не только определённый фонд знаний и умений, но и вырабатывать способность самостоятельно совершенствовать их и приобретать новые, уметь применять весь багаж своих знаний, умений и навыков в новых, не встречающихся ранее условиях. Когда же, благодаря каким факторам мышление становится самостоятельным? Как полагают психологи, ребёнок начинает думать тогда, когда оказывается перед новой задачей. Задачи, которые возникают перед ребёнком при различных жизненных ситуациях, не одинаковы. Одни из них носят воспроизводящий характер, другие должны привести его к новой, неизвестной до этого мысли. То есть развитие творческого мышления осуществляется с применением проблемности обучения.
В своей работе я часто использую проблемный метод и его элементы.
Наибольший эффект при проблемном обучении дают задачи, приводимые к открытию новых для учащихся причинно – следственных связей, законов, общих признаков решения целого класса задач, в основе которых лежат известные ранее отношения между определёнными компонентами, понятиями.
Выбор задачи – проблемы зависит от наличия у школьников минимума знаний. Эти знания должны быть опорой для поиска пути, но не подсказкой этого пути. Иначе задача перестаёт быть проблемой.
На начальном этапе работы над новым понятием, выяснив проблему, я даю возможность попробовать её решить на основе имеющихся знаний, тем самым убедить, что знаний явно не хватает, а затем принять участие в поиске связей между понятиями, приводящими к нужному выводу.
По определению С. А. Рубинштейна «проблемная ситуация является психологическим состоянием затруднения потому, что в ней имеются неизвестные, как бы незаполненные места, пустоты, подлежащие заполнению, на месте которых должны быть поставлены их значения».
В процессе решения каждой проблемы выявляю несколько звеньев:
- Постановку проблемы
- Решение проблемы
- Проверку решения.
Если ученик сам для себя выделяет эти три задачи, т. е. сам ставит перед собой проблему, сам решает и проверяет её, то можно говорить о полной самостоятельности мышления ученика.
Первый тип проблем – это теоретическая проблема, второй тип – практическая проблема. Примером практической проблемы является задача на нахождение площади треугольника, если известны длины трёх сторон. Возникает проблемная ситуация, в результате разрешения которой может быть введена формула Герона.
При изучении теоремы Пифагора предлагаю учащимся выполнить практическое задание исследовательского характера. «Из частей двух квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равных 3 и 4 составить новый квадрат». В результате практической работы учащиеся установили, что сторона нового квадрата равна длине гипотенузы. Учащимся предлагаю сделать вывод и повторить построение для треугольника, катеты которого равны 2 и 4. Прежний метод ни к чему не приводит. Возникает проблемная ситуация.
При нахождении центра описанной около треугольника окружности, предлагаю задачу: описать окружность около правильного треугольника. Учащиеся выдвигают гипотезы и проверяют их. Центром описанной окружности около правильного треугольника является точка пересечения его медиан. А в произвольном треугольнике? Возникает проблемная ситуация.
Познавательное затруднение может произойти в результате сравнения и противопоставления фактов, правил, действий.
Например, при введении понятия угла между прямой и плоскостью вместе с классом выясняем, что такое угол, какие исходные данные надо знать, чтобы поучить угол и что же будет являться углом между прямой и плоскостью. Учащиеся легко определили, что вершиной этого угла будет пересечение прямой с плоскостью. Но что же будет второй стороной угла? На плоскости проходит множество прямых. Какую же из них выбрать за сторону угла? Учащиеся замечают, что любые прямые, проходящие через полученную точку образуют с прямой различные углы. Наименьший из них будет угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Это выяснили, вспомнив свойства перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной точки, свойства проекций.
Немалую роль играет естественность постановки проблемы. Если учащихся специально предупредить, что будет решаться проблемная задача, это может не вызвать интерес при мысли, что предстоит переход к более трудному. А. С. Макаренко указывал, что воспитательная работа даёт наибольший успех тогда, когда учащиеся не замечают, что их воспитывают. Эти слова с полным основанием можно отнести и к созданию проблемной ситуации. На уроке проблемная ситуация должна возникнуть как часть всей работы. Она должна создаваться всем ходом урока, быть его органической частью при систематическом создании проблемных ситуаций.
Для успешного усвоения программы по математике ребёнку необходимо не только много знать, но и последовательно мыслить, догадываться, проявлять умственное напряжение.
Так как школьники одного и того же возраста имеют различия в достигнутом уровне умственного развития, процесс формирования их математического мышления не может быть осуществлён без индивидуального и дифференцированного подхода.
Умственное развитие составляют как знания (включая приёмы познания), так и обучаемость, способность приобретать знания.
Как показал опыт, при совершенно одинаковых условиях обучения степень усвоения знаний учащимися различна. Одни из них усваивают на высоком, другие на среднем, третьи на низком уровне. В уровнях усвоения знаний проявляются типичные устойчивые особенности психики, от которых зависит успех учебной деятельности, возможность решать проблемы, предусмотренные учебной программой.
Большое место в работе уделяю проведению уроков-лекций, семинаров, уроков-консультаций, зачётов, что позволяет учащимся переходить в иное психологическое состояние, в иной стиль общения. Такие уроки позволяют в полной мере развивать творческие способности, эмоциональное восприятие школьников, активно воспринимать учебную информацию, оценить роль знаний.
Возможно ли доведение каждого учащегося массовой школы до уровня овладения определёнными знаниями?
Опыт показал: да, возможно. Но одни из них достигают этого уровня почти на основе первичного знакомства с новым для них материалом, Другим требуется практика в среднем от 10 до 15 типичных заданий под руководством учителя. Третьим для полного усвоения материала необходимо большее количество.
В условиях ориентации на среднего ученика замедляется темп развития тех, у кого умственное развитие находится на более высоком уровне. Поэтому я в своей работе учитываю индивидуальнее особенности мышления учеников и применяю дифференцированное обучение, при этом стараясь следовать принципу, выраженному в словах немецкого философа и учёного 18 века И. Канта: «Учить надо не мыслям, а мыслить». Учебники математики нового поколения имеют большие возможности для формирования приёмов математического мышления. Благодаря мышлению, возможно получение знания, недоступного органам чувств, Я поддерживаю мнение психологов, что для успешного обучения, формирования математического мышления, развития личности определяющим является импульс, «идущий изнутри». Дети являются не столько объектами педагогической деятельности, сколько субъектами собственной деятельности, саморазвития.
Обучение знаниям, умениям, навыкам – не цель, а только средство для того, чтобы помочь ученику стать полноценной, самостоятельной, творческой личностью, способной выбирать, принимать решения, жить полноценной жизнью. Учитель создаёт условия для самостоятельного и активного обучения, ученик делает выбор. Деятельность по принуждению вызывает внутренний протест. «Учиться должно хотеться». Чтобы заинтересовать учащихся я провожу в среднем звене игровые моменты на уроках, уроки-игры: «математическое лото», «домино», «математический футбол», при выполнении действий с положительными и отрицательными числами использовала «игру с числами».
В старших классах достижению этой цели способствует проведение уроков решения одной задачи, «вихря» решения задач, математических боёв. Большой интерес вызывают у учащихся занимательные задачи, задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи которые я периодически размещаю на стенде.