Урок алгебры в 7-м классе по теме "Взаимное расположение графиков линейных функций"

Разделы: Математика

Цели:

Образовательная:

  • Создать условия для восприятия, осмысления и понимания взаимного расположения графиков линейной функции в прямоугольной системе координат.
  • Отработать навыки построения линейной функции, определения углового коэффициента линейной функции.
  • Сделать вывод о том, что взаимное расположение прямых зависит от значения угловых коэффициентов этих прямых.
  • Научиться определять взаимное расположение прямых по виду их уравнений.

Развивающие:

  • Развивать умение строить график линейной функции, определять по графику вид функции и знак углового коэффициента линейной функции.
  • Развивать интеллектуальные умения: сравнивать, делать выводы, выявлять закономерности, анализировать.

Воспитательная:

  • воспитывать культуру труда, математической речи, культуру общения, активность, самостоятельность.

Оборудование:

  1. Плакат с планом работы на уроке.
  2. Учебник «Алгебра – 7, с углубленным изучением математики», Ю. Н. Макарычев и др.
  3. Плакат с девизом: «Числа не Боги, они не управляют миром, они показывают, как управляется мир» (поэт, гений немецкой литературы, Гёте). Плакат со словарем: «Абсцисса», «Ордината», «Параллельные прямые», «Координата», «Коэффициент».
  4. Папка с заданиями.
  5. Карточки – подсказки.
  6. Мультимедийная презентация.

Ход урока

I. Орг. момент

- Я рада вас видеть и мне приятно начать с вами работу.

- Познакомьтесь с планом работы, он у вас на столе.

Учитель: У вас на столах есть карточки с домашним заданием. Вы сами выбираете какой вариант решать В – 1 или В – 2. За решение В – 1 вы получите не более «4», а за решение В – 2 оценку «5». Поэтому будьте внимательны на уроке, чтобы справится с заданием более высокого уровня.

п.36,стр.192 В – 1: № 941(б,г), 942, 943,944(а),1178(а).

В* – 2: 1) № 944(а), 1178(а); 2) Постройте прямую, если ее угловой коэффициент равен – 0,5 и она проходит через точку (- 6; 4). Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен указанной прямой и пересекает ось у в точке (0; 5).

II. Учитель: А теперь вспомним, что мы изучили на прошлых уроках? (На партах листочки с вопросами, работа в парах. Дети по очереди задают друг другу вопросы).

  1. Дайте определение функции. (Функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества).
  2. Дайте определение графика функции. (Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции).
  3. Сформулируйте определение линейной функции. (Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх + b, где х – независимая переменная, k и b – любые числа).
  4. Что является графиком линейной функции? (Графиком линейной функции является прямая).
  5. Как записывается формула частного случая линейной функции прямой пропорциональности? Какая особенность построения графика? (Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх, где х – независимая переменная, а k – не равное нулю число. Чтобы построить график функции у = kх, достаточно отметить какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую).
  6. От чего зависит, как расположен график линейной функции? (От коэффициентов k и b. Если k > 0, то угол наклона прямой у = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой). Если х = 0, то у = b. Значит, график линейной функции у = kx + b (при любых значениях k и b) проходит через точку (0;b). Как называется коэффициент k?
  7. Установите соответствие между функциями и построенными графиками. Ответ обоснуйте, не прибегая к вычислениям. (Слайд №3)

    а) у = - х; б) у = 3 – 2х; в) у = ; г) у = 0,5(х + 2);д) у = 0,7х; е) у = 6.

    (Ответ: а – 2, б – 4, в – 1, г – 3, д – 6, е - 5. Слайд №4)

Рисунок 1.

Учитель: Подведем итоги. Что вы уже знаете?

Ученик: Мы знаем: определения функции, графика функции. Умеем строить графики линейной функции и прямой пропорциональности. По графику функции можем определять угловой коэффициент прямой и коэффициент b.

Учитель: В домашней работе, у вас было задание найти общие точки графиков функций (слайды №5-8)

В – 1. у = 2х + 6, у = 2х – 1.

В – 2. у = - 3х + 5, у = 4х – 2.

В – 3. у = 3х + 3, у = 3(х + 1).

Поверим, что у вас получилось? (решение на слайде№5)

В – 1. 2х + 6 = 2х – 1; 0 ∙ х = - 7; Корней нет

Ответ: графики данных функций общих точек не имеют.

В – 2. - 3х + 5 = 4х – 2; у(1) = 4 ∙ 1 – 2 = 2; 7х = 7; (1; 2); х = 1

Ответ: (1; 2) – общая точка графиков данных функций

В – 3. 3х + 3 = 3(х + 1); 3х + 3 = 3х + 3; 0 ∙ х = 0; х – любое число.

Ответ: графики данных функций имеют бесконечно много общих точек.

Учитель: Сегодня на уроке мы выясним, как будут расположены графики этих функций на плоскости. Как можно сформулировать тему нашего урока?

Ученики: «Взаимное расположение графиков линейных функций» (тема записывается на доске).

III. Учитель: Теперь проведем небольшое исследование.

На столах в папке найдите карточку 2 с заданиями. Выполните самостоятельно 1 задание.

Задание:

Построить в одной координатной плоскости графики функций:

В – 1. у = 2х + 6, у = 2х – 1.

В – 2. у = - 3х + 5, у = 4х – 2.

В – 3. у = 3х + 3, у = 3(х + 1).

Как расположены графики линейных функций относительно друг друга? Предположите, что влияет на расположение прямых относительно друг друга?

Учитель: Итак, что вы получили? Как расположены прямые в системе координат?

Ученик (В – 1): Прямые параллельны.

Учитель: Как вы думаете, почему? Что общего вы увидели? В чем различия?

Ученик (В – 1): Одинаковые угловые коэффициенты и разные b.

Учитель: Правильно. Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны.

Ученик (В – 2): Прямые пересекаются, так как коэффициенты разные.

Ученик (В – 3): Прямые совпадают, так как угловые коэффициенты равны и числа b одинаковы.

Учитель: Какое предположение можно сделать?

Ученик: Если угловые коэффициенты прямых равны, то прямые параллельны. А если угловые коэффициенты различны, то прямые пересекаются. Если угловые коэффициенты равны и коэффициенты b равны, то прямые совпадают. (Если учащиеся затрудняются, то помогает учитель, он начинает фразу, дети продолжают).

Учитель: Т.е. не строя графики функций, можно заранее видеть каково взаимное расположение графиков в одной координатной плоскости.

Учитель: Итак, чему вы должны научиться сегодня на уроке, что узнать?

Ученики: Мы должны узнать, как могут располагаться графики друг относительно друга, и от чего это зависит.

Учитель: А теперь докажем это в общем виде.

Пусть y = k1х + b1 и y = k2х + b2 – две различные линейные функции. Решим уравнение:

k1х + b1 = k2х + b2

k1х – k2х = b2 – b1

x(k1 – k2) = b2 – b1

1 случай: если k1 = k2, то есть k1 – k2 = 0; и b2 ≠ b1, получаем уравнение 0 ∙ x = b2 – b1

- Что можно сказать о решении?

(Нет корней, значит, нет общей точки, следовательно, графики линейных функций параллельны при одинаковых коэффициентах).

2 случай: если k1 = k2 и b2 = b1, получаем уравнение 0 ∙ х = 0

- Какое решение? х – любое число

(Бесконечно много решений, значит, бесконечно много общих точек, следовательно, графики совпадают).

3 случай: если k1 ≠ k2, то есть k1 – k2 ≠ 0.

- Имеет ли корни уравнение?

(Уравнение имеет 1 корень, графики функций имеют общую точку, значит, они пересекаются).

- Итак, мы доказали справедливость нашего предположения.

IV. Учитель: Посмотрим, как практически вы примените изученное свойство в различных ситуациях.

1) Назовите несколько примеров функций, графики которых параллельны, пересекают, совпадают с графиком функции у = 5х – 7.

2) № 940(г), 941 (а).

№ 940(г) (устно, решение на слайде №12)

Линейная функция задана формулой у = . Докажите, что график этой функции параллелен графику функции:

г) у = .

Решение: г) у = , k1 =

у = , у = х – , k2 = , k1 = k2

график функции у =  параллелен графику функции у = .

№ 941(а) (письменно)

Докажите, что график функции у = 4,5х – 7 пересекает график функции: а) у = 6х – 1. Найдите координаты точки пересечения.

Решение:

а) у = 4,5х – 7, k1 = 4,5

у = 6х – 1, k2 = 6

k1 ≠ k2 , график функции у = 4,5х – 7 пересекает график функции у = 6х – 1.

4,5х – 7 = 6х – 1,

1,5х = - 6,

х = - 4,

у(- 4) = 6 ∙ (- 4) – 1 = - 25 . (- 4; - 25) – координаты точки пересечения.

Ответ: (- 4; - 25).

3) Задание: Задайте формулой линейную функцию, графиком которой является прямая , проходящая через точку А(2; 6) и параллельная графику функции у = 1,5х – 3.

Решение:

Т.к. график функции у = kx + b параллелен прямой у = 1,5х – 3, то k = 1,5.

Т.к. график функции проходит через точку А(2; 6), то верно равенство

6 = 1,5 ∙ 2 + b, b = - 3, тогда у = 1,5х + 3.

Ответ: у = 1,5х + 3.

4) Задание: Постройте график функции у = kx + b, если он параллелен прямой у = 2х + 11 и пересекается с графиком у = х – 3 в точке лежащей на оси ординат.

Решение:

Т.к. график функции у = kx + b параллелен прямой у = 2х + 11, то k = 2.

Т.к. график функции у = 2x + b пересекается с графиком у = х – 3 в точке лежащей на оси ординат, то при х = 0, у = - 3 , т.е. график проходит через точку с координатами (0; - 3).

- 3 = 2 ∙ 0 + b, b = - 3, тогда у = 2х -3

х

0

2

у

- 3

1

Рисунок 2.

Учитель: А сейчас проверим, что вы запомнили и поняли сегодня на уроке. Выполните следующие тесты.

Вариант – 1

1. Определите угловой коэффициент

Рисунок 3.

Ответ: а) у = 3х – 2 , б) у = - 2,3х – 2 , в) у = 0,7х – 2, г) у = 2,3х – 2.

2. Как расположены графики функций: у = 9х + 9 и у = 9(х + 1)?

Ответ: а) параллельно; б) пересекаются; в) совпадают.

3. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой у = - 7х – 2.

Ответ: а) у = - 2х, б) у = -7х, в) у = 7х – 2, г) у = - 7х + 2.

Вариант – 2

1. Определите угловой коэффициент

Рисунок 4.

Ответ: а) у = - 3х + 2 , б) у = 1,5х + 2, в) у = - 1,5х + 2, г) у = 2х + 2.

2. Как расположены графики функций: у = 5х + 15 и у = 5(5х + 3)?

Ответ: а) параллельно; б) пересекаются; в) совпадают.

3. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой у = 4х + 3.

Ответ: а) у = 4х, б) у = - 4х +3, в) у = - 4х, г) у = 3х.

V. Самопроверка (ответы на слайде №13)

В – 1. 1) г; 2) в; 3) б

В – 2. 1) в; 2) б; 3) а

Учитель: Поднимите руки, кто получил «5».

Учитель: Подведем итоги: что нового узнали на уроке?

Ученики: Что взаимное расположение графиков линейной функции зависит от k.

Учитель: Где применять новый материал?

Ученики: На уроках физики.

Учитель: Линейная функция находит также свое применение и в медицине, биологии и других областях науки и техники. Сведения о взаимном расположении графиков линейной функции находят применение при рассмотрении вопроса о числе решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

VI. Рефлексия

Приложение 1. Контрольные вопросы, план работы на уроке, задания.

Приложение 2. Презентация.

Литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 7 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Мнемозина, 2006.