Определение. Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными.
Определение. Решением системы уравнений называют совокупность значений этих неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.
Основные методы решения систем уравнений
- Способ подстановки:
- Способ алгебраического сложения
- Способ почленного умножения и деления
- Способ введения новых переменных
- Системы однородных уравнений
Из одного уравнений системы выражаем одно неизвестное через другие и подставляем в оставшиеся уравнения системы.
Пример:
Получаем . Находим
Ответ: (0;0), (2;2), (; 2-
), (
).
Пример:
Сложим уравнения системы. Получим:
Данная система равносильна такой:
Из первого уравнения системы
следует, что .
Получаем, - решение первого уравнения
системы. Проверкой убеждаемся, что (1;1) – решение
исходной системы.
Ответ: (1;1).
Пример:
Разделим одно уравнение системы на другое:
![](Image690.gif)
![](Image692.gif)
Подставляем в первое уравнение системы, получаем:
а)
![](Image696.gif)
![](Image698.gif)
![](Image699.gif)
![](Image701.gif)
Ответ: (2;1); (-2;-1).
Опр. Система называется симметричной, если при замене x на y, а y на x каждое уравнение системы не меняется.
Для таких систем характерна следующая
замена неизвестных:
Пример:
Введем новые неизвестные. Используем , получаем
![](Image709.gif)
![](Image711.gif)
В исходных неизвестных получаем две системы:
![](Image713.gif)
Вторая система не имеет решений.
Ответ: (1;2), (2;1).
Замечание.
Для симметричной системы трех уравнений с тремя неизвестными целесообразна замена
Если одно из уравнений системы является однородным, то его решение позволяет выразить линейно одну переменную через другую.
Пример:
Первое уравнение однородное. При из
первого уравнения системы
, но (0;0) решением системы не
является. Разделив обе его части на
, получим
![](Image721.gif)
Исходная система распадается на две простейшие системы:
![](Image723.gif)
![](Image725.gif)
![](Image727.gif)
![](Image729.gif)
Ответ: (-4;-2), (4;2), (;
), (
;
).
При большем интересе к данной теме можно было бы напомнить метод неопределенных коэффициентов при решении уравнений, использование схемы Горнера, рассмотреть системы с тремя неизвестными, добавить уравнения и системы с модулем и параметрами. Но нельзя объять необъятное. Целью этого материала было вспомнить необходимый минимум для решения ЕГЭ 2010.
Решим несколько систем демоверсии ЕГЭ-2010, применяя изложенные методы
1) Решить систему уравнений:
Перемножим уравнения системы:
Данная система разбивается на две более простые.
![](Image739.gif)
![](Image741.gif)
![](Image743.gif)
Ответ: (;
),
(
;
).
2)
![](Image753.gif)
![](Image755.gif)
Решений нет.
Ответ: (-1; ).
Список литературы
- Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре // М.: Просвещение, 1997.
- Кравцев С.В., Макаров Ю.Н. Методы решения задач по алгебре для школьников и абитуриентов // М.: “Экзамен”, 2003.
- Мерзляк А.Г. Алгебраический тренажер //М.: “Илекса”, 2003.
- Олехник С.Н. Алгебра и начала анализа //М.: Экзамен, 2003.
- Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике // М.: Айрис Пресс Рольф, 1999.