Системы уравнений

Определение. Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Определение. Решением системы уравнений называют совокупность значений этих неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.

1. Способ подстановки:

Из одного уравнений системы выражаем одно неизвестное через другие и подставляем в оставшиеся уравнения системы.

Пример:













Получаем . Находим

Ответ: (0;0), (2;2), (; 2-), ().

2. Способ алгебраического сложения

Пример:

Сложим уравнения системы. Получим:





Данная система равносильна такой:



Из первого уравнения системы следует, что .

Получаем, - решение первого уравнения системы. Проверкой убеждаемся, что (1;1) – решение исходной системы.

Ответ: (1;1).

3. Способ почленного умножения и деления

Пример:

решением второго уравнения системы не является.

Разделим одно уравнение системы на другое:









Подставляем в первое уравнение системы, получаем:

а)



или

или Решений нет.

Ответ: (2;1); (-2;-1).

4. Способ введения новых переменных

Опр. Система называется симметричной, если при замене x на y, а y на x каждое уравнение системы не меняется.

Для таких систем характерна следующая замена неизвестных:

Пример:

Введем новые неизвестные. Используем , получаем











В исходных неизвестных получаем две системы:

или

Вторая система не имеет решений.

Ответ: (1;2), (2;1).

Замечание.

Для симметричной системы трех уравнений с тремя неизвестными целесообразна замена



5. Системы однородных уравнений

Если одно из уравнений системы является однородным, то его решение позволяет выразить линейно одну переменную через другую.

Пример:

Первое уравнение однородное. При из первого уравнения системы , но (0;0) решением системы не является. Разделив обе его части на , получим

. Тогда .

Исходная система распадается на две простейшие системы: