Примечание
Так как излагаемый материал достаточно объёмный, то предлагается учащимся в форме лекции, рассчитанной на сдвоенный урок.
Цель
Классификация методов сравнения логарифмов, применение знаний о свойствах логарифмической функции и свойствах логарифмов. Повышение математической культуры учащихся путем рассмотрения нестандартных способов сравнения, воспитание критичности и умения выбрать наиболее рациональный способ решения.
Мотивация
Постановка проблемной задачи, требующей осуществить сравнение логарифмов.
Ход урока (40мин + 40 мин):
1. Организационный момент.
2. Домашнее задание.
3. Актуализация знаний.
4. Объяснение нового материала.
5. Закрепление изученного материала.
6. Итог.
1. Организационный момент
Объявление темы урока, целей, формы проведения урока, сюжетной линии урока.
2. Домашнее задание
Лекция, выучить способы сравнения, [1]№ 501, 502, стр. 300 № 169(б, г), 178(в, г), 179, [2] № 128(2,4).
3. Актуализация знаний
Тестирование по свойствам логарифмов и логарифмической функции. (Материалы курсов «Система подготовки к ЕГЭ по математике»: лекция 3, тесты 4.1, 4.2, доп. тест) Приложение1, Приложение 2.
4. Изучение нового материала
Почему мы такое внимание уделяем теме «Сравнение логарифмов»? Потому что при решении уравнений и неравенств часто возникает этот вопрос, когда необходимо определить принадлежность корня области допустимых значений, или соотнести решение двух и более неравенств на числовой прямой, но при этом решение выражено иррациональным числом, записанным с помощью логарифма.
Рассмотрим задачу.
Решите неравенство 
и найдите все его решения, принадлежащие
области определения функции 
.
Решение задачи состоит из 3-х этапов:
1. Решение неравенства.
2. Нахождение области определения функции.
3. Отбор решений, удовлетворяющих условию задачи.
На 3-м этапе решения мы сталкиваемся с необходимостью
выполнения сравнения чисел 
и 
, причем прежние, известные уже способы не
годятся! Для этого сравнения надо отыскать новый способ!
Способы сравнения логарифмов
1. Равные основания
(Использования монотонности логарифмических функций)
Функция 
, при 
возрастает на 
, значит, по определению монотонно
возрастающей функции, если 
, то 
(«прямое сравнение»).
Функция при 
убывает на , значит, по определению монотонно
убывающей функции, если , то 
(«обратное сравнение»).
Примеры:
1) 
.
Т.к. а >1, то функция 
- возрастает. 5 > 
, 
.
(можно показать 2-й способ: оценка знаков левой и правой частей сравнения по графику)
2). 
. Т.к. , то функция - убывает. 
, 
.
(2-й способ: - лучше сравнивать возрастающие функции.)
,
, функция 
- возрастает, 
, 
, .
(Этот способ позволяет ещё раз обратиться к свойствам логарифма и свойствам числовых неравенств.)
2. Равные числа, но разные основания
1. Графически
а) 
.
Построим графики функций 
и 
.
.
б) 
.
Построим графики функций 
и 
.
.
(Или опять применить свойства логарифмов и придти к сравнению а.
,
. Тогда по а) 
.)
Можно рекомендовать этот метод учащимся, т.к. им легче построить график возрастающей функции.
На основе рассмотренных примеров формулируем общее правило:
|
|
|
|
1. |
1. |
|
2. |
2. |
,
,
2. Переход к одному основанию
а) ,
, 
. Функция - возрастает, 
,.
б) 
Тогда .
3.Функции разной монотонности
(Числа одного типа: 1). 
. 2). 
.)
.
. Числа –
одного типа. Строим графики функций, схематично, учитывая только монотонность.
Очевидно, что 
, 
. Значит, 
.
4. Метод оценки
.
Оценим левую и правую части неравенства.
.
5. Введение вспомогательного, промежуточного числа
а) 
1. 
,
. – Удваиваем.
2. 
,
-
промежуточное число 3. 
,тогда 
.
б) 
.
1. 
,
. – Удваиваем.
2. 
,
. – Утраиваем.
3. 
,
. – Увеличиваем
в 4 раза.
4. 
, 
. Промежуточное число 5. Тогда 
, 
.
в) В качестве промежуточного числа может быть и дробное.
.
1. ,
. Тогда
рассмотрим 
.
,
, 
,
, 
.
,
, 
,
, 
.
,
.
6. Алгебраические способы
1.Вычитание единицы из обеих частей
/
- 1
.
Рассмотрим вспомогательное число 
.
.
Т. к. 
, то по
2.1). 
.
.Т.к.
функция 
-
возрастает, 
,
то 
.
Получили:
,
значит, .
2. Оценка квадрата выражения
,
если 
.
.
Составим разность этих выражений и сравним её с нулем.
Т.к. 2
, то 
> 0, > 0. Тогда 
> 0 и 
.
3. Применение неравенства Коши
.
,
/
,
.
Применим неравенство Коши: 
.
Значит, 
. Тогда 
.
(По способу 6.1). –
/
- 1
.
Рассмотрим вспомогательное число 
.
.
Т.к. 
, то по
2.1). 
.
.
Т.к. функция 
- возрастает, 
, то 
. Тогда:
4. Свойство взаимно-обратных чисел
.
/
+ 
.
Т.к. 
, а 
, то .
Итак, мы видим, что методов много и они очень разнообразны, причем нужно самостоятельно определить в какой ситуации лучше и рациональнее « работает» тот или иной метод. «Основными» мы будем считать первые 5, которые связаны со свойствами функции и логарифмов, а методы 6 группы будем применять только в случае, когда «основные» не помогли.
5. Закрепление изученного материала
Учащимся предлагаются задания, в которых им самим нужно выбрать способ сравнения:
Задание 1: а) 
; б). 
,(3 способа); в). 
,(3 способа).
Задание 2: а) 
,( 2 способа); б) 
(показать применение свойств
логарифмов); в) 
,(выбрать
наиболее удобный способ).
Задание 3: Самостоятельно выполнить по вариантам с последующей проверкой -(2 ученика выполняют это задание на доске, класс не видит решение): [3], С- 29, 1 вариант – А1, № 4,
2 вариант – Б1, № 4.
Проверка.
6. Итог урока
Вернемся к задаче, с которой наш урок начался, и доведем
решение до конца: 
,(учащиеся
предлагают способ сравнения), тогда изобразим решения неравенств на числовой
прямой:
Ответ: 
.
Литература:
[1] Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. ОУ/ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын – М.:Просвещение,2006.
[2] Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. и др. Алгебра и математический анализ для 11 кл. – учеб.пособие для классов с угл. изуч. математики- М.:Просвещение, 2004 .
[3] Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 кл – М.: Илекса,2004.