Один мудрец сказал “ Высшее проявление духа – это разум, Высшее проявление разума – это геометрия, Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.
Рассмотрим один из основных геометрических методов решения задач – метод вспомогательной окружности. Предлагаю набор задач, который поможет понять и разобраться в этом методе.
При решении некоторых задач может оказаться полезной следующая теорема.
Т.1 Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий:
а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом <АМВ = <АКВ; (рис. 1)
б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом
<АМВ + <АКВ = 180 ,(рис. 2)
то точки А, В, М, К лежат на одной окружности
|
|
|
Особенно важную роль играет частный случай.
Т2 Если углы АМК и АКВ равны 900 , то точки А, В, М, К расположены на окружности с диаметром АВ. (Это свойство вписанных углов сформулированное в более удобном виде для решения задач) Сформулированные выше предложения можно назвать свойства четырех точек окружности.
Т1 и Т2 и свойства вписанных углов позволяют решать некоторые интересные геометрические задачи с помощью метода, который называют методом вспомогательной окружности.
Суть метода проиллюстрируем на решении следующих задач.
Задача 1.
В треугольнике АВС проведена высота СК. Найти длину отрезка, соединяющего точку К с серединой АС, если АС = 10см.
Решение:
Проведем высоту АМ, тогда углы АКВ и АМВ равны по 900 , значит точки А, К, М, В лежат на одной окружности и АВ – диаметр.(На рисунке окружность изображена штриховой линией, хотя ее можно и вообще не изображать, а “представлять в уме”) Точка О – середина АС по условию
Следовательно, АО = ОВ = КО = r = 5 см. (рис. 3)
Ответ: 5см
Рис. 3
Задача2.
В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.
< АВС = 1110 , <ОВС = 490 , < АСD = 620 . Найти углы САD и АDС.
Рис. 4
Решение:
<АВО = 1110 – 490 = 620.Таким образом В и С лежат по одну сторону от АD и углы АВО и АСD равны значит точки А, В, С, D лежат на одной окружности. <АDС и <АВС вписанные, значит их сумма равна 1800 , отсюда <АDС = 1800 – 1110 = 690.
2. дуга АDС равна 2220 . Значит дуга DС равна 2220 – 1240 = 980 . Угол САD вписанный и равен 490 . Ответ: <САD = 490 <АDС = 690
Задача 4.
В окружности проведены параллельные хорды АВ, FC, ED известно, что AD ∩ CE = M,
BE ∩FD = N доказать, что МN ║ АВ.
Решение:
Обозначим равные дуги АF и ВС – α, тогда <NЕС = <МDN = α/2 как вписанные, опирающиеся на равные дуги. Точки Е и D лежат по одну сторону от М и N и
углы NЕС и МDN равны, следовательно, точки М , N, F, D лежат на окружности.
Дуги, FЕ = СD = β (заключенные между параллельными хордами), значит вписанные углы< FDЕ = <CED = β/2 Они же являются вписанными углами для вспомогательной окружности, тогда дуга NЕ равна, дуге МD .<МЕD = <МN D = < N DЕ(накрест лежащие) значит МN¦ ЕD ║АВ. (рис. 5)
Рис. 5
Задача 5:
В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС угол АВD равен углу АСD. Доказать, что
АВСD – равнобедренная трапеция.
Решение:
Рис. 6
Точки В и С лежат по одну сторону от АD и углы < АВD = < АСD, то точки А, В, С,D лежат на окружности. Так как хорды ВС ║ AD , то дуга АВ равна дуге СD.Поскольку равные дуги стягивают равны хорды, то АВ = СD
Задача 6:
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АР, BQ и CR. Доказать, что
<BAP = <BQR.
Решение. Пусть Н-точка пересечения высот треугольника АВС. Т.к. <ARH = <AQH = 90о, то около четырехугольника ARHQ можно описать окружность, приняв отрезок АН за диаметр. Построив ее, замечаем, что <BAP = <BQR как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. (рис. 7)
Рис. 7
Докажем с помощью этого же метода одну важную теорему планиметрии
Теорема: Три высоты треугольника пересекаются в одной точке
Доказательство:
а) рассмотрим случай остроугольного треугольника. Проведем в треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 и обозначим через Н точку их пересечения (рис. 8), а через точку
В1 – точку пересечения АС и ВН. Надо доказать, угол ВВ1А – прямой.
Так как углы АСА и САС прямые, то точки А, С, С1 ,А1 лежат на окружности с диаметром АС. Следовательно, <А1С1С = <А1 АС (на вспомогательной окружности они опираются на одну дугу).
<ВА1Н = <ВС1Н = 900, то точки В, Н, А1 и С1 лежат на одной окружности с диаметром ВН. Следовательно,<А1ВН = <А1С1 Н.Итак, в треугольниках САА1 и СВВ1 угол ВСА общий и <САА1 =<СВВ1. Значит <ВВ1С = <АА1С = 900 , что и требовалось доказать.
 |
 |
|
Рис. 8 |
Рис. 9 |
б) Рисунок 9 иллюстрирует случай, когда в треугольнике АВС один угол (угол В) тупой. Рассуждение является точно таким же. Только точки В1 и Н как бы меняются местами. В этом случае точка пересечения высот оказывается расположенной вне треугольника.
Для прямоугольного треугольника точкой пересечения высот является вершина прямого угла.
Таким образом, рассмотренные задачи помогают понять суть метода вспомогательной окружности, использование которого помогает решать геометрические задачи.
Литература:
- И.Ф.Шарыгин. Геометрия Дрофа М.: 2007.
- И.Ф.Шарыгин. Решение задач. Просвещение. М.: 2007.