О, сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог-изобретатель...
А.С.Пушкин
1. Организационный момент
Идя на урок с хорошим настроением, я не теряла надежды, что и вы ждете этой встречи. Но у каждого из вас сейчас разный настрой. На листе настроения выберите фигуру, соответствующую вашему настроению в начале урока и напишите слово «было». В конце урока вы снова оцените свое настроение и напишите слово «стало» и тогда будет понятно, понравился вам урок или нет (заполнение листов настроения).
2. Изучение новой темы
Тема нашего урока: Предмет теории вероятностей. События. Вероятность случайного события. В стихотворении Пушкина к нашему уроку относятся два слова: опыт и случай. Что называется опытом или испытанием в теории вероятностей, что такое «случайное событие», можно узнать из опорного конспекта, который лежит перед вами (работа по заполнению опорного конспекта идет по ходу урока).
Сегодня на уроке мы окунемся в загадочный мир Случая. Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная ошибка, случайный выигрыш, случайная поломка. Случайности распоряжаются нами, подталкивают к каким-то действиям, подсказывают идеи.
Казалось бы в царстве Случая нет места для математики – какие уж тут законы. Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности, которые позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
Вот и у меня был такой случай с задачей, для решения которой мне нужен помощник. (вызывается студент, решает задачу и объясняет решение)
В коробке лежат 3 красных и 5 синих шариков. Какое наименьшее количество шариков, не глядя, нужно достать из коробки, чтобы среди них обязательно оказалось хотя бы 2 шарика одного цвета? (Ответ:3)
Итак, мы сделали свой выбор и решили задачу, которая была в домашнем задании у знакомой девочки – ученицы 3 класса. Умение не ошибиться и сделать правильный выбор – это качество, которому человек учится всю жизнь, приобретая жизненный опыт. Предлагаю вашему вниманию небольшую статью «В чем секрет успеха?»
Как-то раз молодой человек беседовал с успешным и состоятельным бизнесменом.
- Скажите, как вам удалось сколотить такое состояние? Раскройте свой секрет успеха.
- Мой секрет прост, - ответил собеседник, - всего два слова: правильные решения.
- Интересно, и что же помогает принимать вам эти решения?
- Тоже просто. Одно слово – опыт.
- Да, но как вы получаете этот опыт, - не унимался молодой человек.
- Проще простого, - улыбнулся успешный, - два слова: неправильные решения.
А вот французский философ Жан Буридан еще в ХIV веке придумал свой ставший знаменитым парадокс о голодном осле, оказавшемся на равном расстоянии от двух совершенно одинаковых охапок сена. История закончилась для осла трагически – он так и не смог сделать выбор, к какой из охапок направиться и, в конце концов, умер от голода. Выражением «буриданов осел» характеризуют и людей, потому что нам тоже случается попадать в ситуации, в которых нужно выбрать один из имеющихся равновозможных вариантов.
Попадали ли вы в такие ситуации? Что мы обычно делаем, если нужно выбрать один из двух вариантов? (бросаем монету, загадываем и смотрим, какой стороной она упадет)
А уж студентам, надеюсь, эта ситуация до боли знакома, когда они решают, куда же пойти с yтpa: на занятия или гулять и бросают монету? (просмотр шуточного видеосюжета)
Как вы думаете, каким будет результат? (студенты отвечают)
На этом примере наглядно видно, что все события или результаты опытов (наблюдений, испытаний) можно рассматривать как достоверные, невозможные и случайные. А изучается это в разделе математики, который называется “Теория вероятностей”.
События
результаты опытов, испытаний, наблюдений
| достоверные | невозможные | случайные |
|
обязательно произойдут U |
никогда не произойдут V |
могут произойти, а могут и нет A,B,C,…A1,B1,C1 |
Случайные события бывают совместными (несовместными), равновозможными (неравновозможными), элементарными (составными) (идет работа с определениями и примерами этих событий по опорному конспекту).
Всякое случайное событие является следствием многих причин. Поэтому невозможно заранее предсказать, произойдет единичное событие или нет. Но оказывается при многократном повторении опыта при одних и тех же условиях однородные случайные события подчиняются закономерностям, изучением которых и занимается теория вероятностей.
Знание этих закономерностей дает возможность прогнозировать события в массовых явлениях. Когда и как возникла эта наука?
Хотя ТВ, подобно другим наукам, возникла из потребностей практики (проблемы страхования, статистика заболеваемости, учет запасов продовольствия), исторически, как научная дисциплина, она сформировалась на материале теории азартных игр. Азартные игры так и создавались, чтобы исход был чисто случайным. Они удобны для изучения закономерности случайных событий, и возможность неограниченного повторения одной и той же игры обеспечивала экспериментальную проверку найденных законов в условиях массовости событий. (беседа о вреде азартных игр)
Основные понятия ТВ формировались в середине ХVП века в переписке между французскими учеными Паскалем и Ферма. При этом следует отметить, что выдающиеся ученые, решая различные задачи азартных игр, предвидели фундаментальную роль науки, изучающей случайные явления.
Из письма Б.Паскаля П.Ферма
Париж, 19 ноября 1654 г,
Г-ну Пьеру Ферма,Тулуза.
"...В мире господствует случай и одновременно действует порядок и закономерность, которые формируются из массы случайностей, согласно законам случайного".
Само слово "азарт" французское и означает "случай". В конце ХVIII в. – начале XIX в. карточная игра сделалась своеобразной моделью жизни.
"Что ни толкуй Вольтер или Декарт –
Мир для меня колода карт,
Жизнь – банк; рок мечет, я играю,
И правила игры я к людям применяю".
М.Ю. Лермонтов
Да, что наша жизнь? Игра.
А есть ли среди вас азартные люди, любящие риск? (вызывается студент)
Я предлагаю вам игру. Будем бросать одновременно 2 игральных кубика и подсчитывать сумму выпавших очков. Если при очередной попытке в сумме выпадает 8 очков, то выигрываете вы, а если в сумме выпадает 7 очков, то побеждаю я. Справедлива ли моя игра? Одинаковы ли наши шансы на успех? Стоит ли вам рисковать? (решают задачу)
Давайте все вместе подсчитаем шансы на выигрыш у каждого игрока. Пусть событие
А – «при бросании 2 кубиков в сумме выпадет 8 очков»,
В – «при бросании 2 кубиков в сумме выпадет 7 очков».
Когда наступит событие А? Если выпадут цифры (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), т.е. благоприятствующими событию А будут 5 исходов, а событию B будут благоприятствовать следующие исходы: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1), т.е. 6 событий.
А сколько всего равновозможных исходов? 36, и все они выпадают с одинаковыми возможностями (шансами).
Т.о., шансы на выигрыш вашего друга оцениваются как 5 из 36, т.е. 5/36, а у меня как 6 из 36 или 6/36=1/36. Следовательно, шансов выиграть у меня больше, и играть вашему другу с таким шулером опасно, т.к. игра не справедлива. Хотя может чисто случайно у него сразу с 1 опыта выпасть в сумме 8 очков, а у меня и после 10 бросков не выпасть. Но риск – благородное дело, и кто не рискует, тот не выигрывает.
В этой задаче мы подсчитывали шансы или степень возможности наступления какого-нибудь определенного события. Её и называют вероятностью события и обозначают буквой Р от английского слова probability – вероятность.
Т.о., возвращаясь к задаче, можно написать, что вероятность события А Р(А)=5/36, а вероятность события В Р(В)= 6/36=1/36.
Пусть n – общее число всех равновозможных несовместных исходов испытания,
m – число исходов, благоприятных событию А,
Р(А) – вероятность события А.
Какую формулу можно написать для вероятности события А? Подскажите, пожалуйста.
Это классическое определение вероятности события.
А теперь решим задачу, которую еще в ХVIII веке решал французский математик Д'Аламбер.
Бросаются одновременно 2 монеты. Какова вероятность, что обе монеты упадут гербом кверху? (решают задачу)
При решении задачи Д'Аламбер ошибся, так как считал, что равновозможны 3 события. Какие? Давайте перечислим: «выпали 2 герба», «выпали 2 цифры», «выпали герб и цифра». Но он не учел, что эти события неравновозможны, так как последнее событие происходит чаще двух других.
А на самом деле их 4: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ. И событие А – «при бросании 2 монет выпадут два герба» произойдет с вероятностью не 1/3, а 1/4. Видите, какие могут быть нюансы. И следующая задача тоже с подвохом. За решение этой задачи можно сразу ставить «5».
В доме 100 квартир. Наугад выбирается одна из них. Какова вероятность того, что на двери выбранной квартиры вы увидите цифру 5? (самостоятельно)
Пусть А – "номер наугад выбранной квартиры содержит цифру 5".
Тогда Р(А)=19/100.
Прорешав задачи, можно вывести свойства вероятности:
1) 0≤Р(А)≤1, т.к. 0≤m≤n.
2) Р(U)=1, т.к. m=n.
3) Р(V)=0, т.к. m=0.
Итак, мы научились находить вероятность в тех случаях, когда достоверное событие состоит из равновероятных возможностей. Однако часто возможности не равновероятны. Так, например, вы, наверное, замечали, что на уроках чаще спрашивают не совсем то, что вы учили, и не тогда, когда вы готовы к ответу. Впрочем, может быть, эти неприятные события нам лучше запоминаются, чем приятные.
Вашему вниманию предлагается следующая задача. Со стола случайно упал бутерброд. Чему равна вероятность того, что он упадет маслом вниз? А маслом вверх?
Давайте, подсчитаем, используя классическое определение вероятности. Р=1/2.
А как на самом деле? Бутерброд падает маслом вниз чаще. Это так называемый закон бутерброда, по которому из двух возможных вариантов чаще реализуется наименее приятный (статья из журнала «Юный техник», №11,2001г.).
На этом примере можно объяснить другое определение вероятности – статистическое.
Если произведено n одинаковых испытаний и некоторое событие А произошло m раз, то отношение m/n называется относительной частотой события А.
Если n достаточно велико (n→∞), то относительная частота становится статистически устойчивой, приближаясь к некоторому числу Р(А), которое и называется статистической вероятностью события А:
Экспериментатор |
Число бросаний монеты |
Число выпадений герба |
Относительная частота |
|---|---|---|---|
Бюффон |
4040 |
2048 |
0,5080 |
Пирсон |
12000 |
6014 |
0,5016 |
Пирсон |
24000 |
12012 |
0,5006 |
Видно, что при n→∞ относительная частота m/n≈0,5. Этот результат был получен и по классическому определению вероятности (выступление студента с результатами опытов, полученными при бросании монеты).
Такая устойчивость имеет место не только при бросании монеты, но и при выпадении определенного числа очков на игральных кубиках, рождения мальчиков.
Взяв чисто случайно произвольный номер газеты “Уфимские ведомости”, в которой есть постоянная рубрика «Человек родился!». Я сопоставила статистику рождения детей по газете с общепринятой (считается, что на каждую 1000 рожденных детей приходится 517 мальчиков). Что я получила? Всего родилось 243 ребенка, из них мальчиков – 127, частота рождения мальчиков – 127/243≈0,523, девочек – 116 , и частота рождения девочек – 116/243≈0,477 (можно послушать выступление студента по другому номеру газеты).
А вот вам еще пример из жизни. Вы, наверное, обращали внимание, что на клавиатуре компьютера буквы располагаются не по алфавиту? Как вы думаете, почему? В центре клавиатуры располагаются те буквы, которые встречаются чаще – о,е,и,а,н,т,р,с. (данные из энциклопедии и результаты исследования студентами произвольного текста из 1000 букв на русском, английском и башкирском языках о самой распространенной букве и выводы, для чего это нужно знать).
Статистические исследования над большим количеством литературных текстов показали, что частоты появления той или иной буквы (или пробела) стремятся при увеличении объема текстов к некоторым определенным постоянным величинам, которые показаны в частотных таблицах. У каждого писателя и поэта свой стиль и частотные таблицы использования букв, по которым можно определять автора текста примерно так же, как и по отпечаткам пальцев.
Приведу такой пример из литературы. Довольно многие в нашей стране считали, что в 23 года М.А.Шолохов такую великую книгу, как «Тихий Дон» написать просто не мог. Выдвигались разные аргументы, разные кандидаты в авторы. Особенно жарким были споры в момент присуждения Шолохову Нобелевской премии в 1965 году. Статические анализы текстов и сравнение с текстами, автором которых действительно считали Шолохова, доказали, что истинным автором «Тихого Дона» является М.А.Шолохов.
Кстати, об отпечатках пальцев. В газете «Комсомольская правда» была интересная публикация (зачитывается статья и выводы по применению в жизни).
Таких примеров можно привести очень много. Естественно, статистические данные нужно обрабатывать. Эти методы основаны на знании ТВ, и в ХХ веке возникла новая наука – математическая статистика. Но это ждет нас впереди.
3. Закрепление (обобщение и систематизация изученного материала)
Сегодня мы решали несложные задачи, но в реальной жизни при подсчете вероятности нужно знать элементы комбинаторики. Это мы изучим на следующем занятии. А все, что было запланировано на урок сегодня, мы уже изучили. Осталось проверить, как вы все это усвоили, и я предлагаю вам сыграть в игру “Кто хочет стать эрудитом?”
Правила игры: группа разбивается на две команды, каждой приготовлены задачи и 4 варианта ответа. Т.о., вероятность правильного ответа равна 1/4. Вы можете увеличить ее до 1/2, взяв подсказку “50/50”, но только один раз за всю игру. За правильные ответы будут выдаваться буквы, из которых вы составите слово “Эрудит”. Задача ясна? Команда, полностью составившая слово, получает оценки “5” (на экране высвечиваются задачи, студенты отвечают на вопросы).
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с ТВ. Большое значение в становлении теории вероятностей как математической науки имели работы швейцарского математика Якоба Бернулли, французского математика Пьера Симона Лапласа. В середине XIX в. – начале XX в. Большой вклад в развитие ТВ внесли русские ученые: П.Л.Чебышев, А.А.Марков, Ляпунов; а так же советские ученые А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнов. Математическая школа Башкортостана тоже уделяет большое внимание вопросам ТВ и МС.
В настоящее время ТВ характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней, а ее методы находят широкое применение в различных отраслях науки и народного хозяйства.
Теперь немыслимо успешное развитие теории массового обслуживания, теории управления, надежности, физики, геодезии, астрономии, экономики без четких представлений о случайных событиях и их закономерностей.
При планировании и организации производства, анализе технологических процессов, контроле качества продукции, при выборе оптимального времени настройки и замены действующей аппаратуры (двигателей, деталей) нужно знать вероятностные методы.
4. Домашнее задание
Оно будет творческим: используя дополнительную литературу, справочники, энциклопедии, написать реферат на тему “Вероятность вокруг нас”. А к следующему уроку прочитать §§65, 66, 68 (по учебнику Валуцэ, Дилигул), задачи №11.1-11.3, 11.9-11.12, а также подумать над 3 задачами (раздается студентам на листах).
5. Итоги занятия
Т.о., можно с уверенностью сказать, что наш мир полон случайностей, но построен на закономерностях. Даже зарождение цивилизации, рождение людей – случайные события, но в то же время видимо так должно было случиться. И мы должны быть благодарны судьбе за это, и шанс, данный нам природой, родителями, а может и Богом, мы должны реализовать в полной мере.
“По моему убеждению – писал великий Блез Паскаль – человек родился, чтобы думать. Способность мыслить отличает его от животных, в этом состоит его человеческое достоинство.…Впрочем, меня интересует, не вопрос существую ли я, а кто я, собственно есть. Мы не знаем, откуда мы взялись, зачем родились и куда идем. Человечеству есть над, чем поразмыслить”.
Задумывались ли вы над этим когда-нибудь? Если после нашего урока вы задали себе этот вопрос, значит, не напрасно мы с вами встретились и говорили сегодня об этом. А теперь заполните листы настроений (заполнение листов настроения).
Вот и закончился наш урок математики. Какая все-таки удивительная наука, и прав был Ломоносов, утверждая: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.
Приложения: