В школьный курс математики включена новая содержательная линия – элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Включение в курс алгебры элементарных сведений из статистики имеет важное общеобразовательное значение, так как без этих знаний невозможно разобраться в разнообразной информации. Простейшие методы обработки и анализа статистических данных являются главной целью урока по теме “Варианты и их кратности”.
Использование информационных технологий на данном уроке позволило отразить поэтапность проведения урока, сконцентрировать внимание на основных моментах и объективно оценить знания учащихся за более короткий срок.
Цель:
- Ввести понятие варианта, показать примеры обработки статистических данных, используя введенные понятия.
- Закрепить навыки решения комбинаторных задач простейшего типа;
- Повторить понятия и определения комбинаторики.
Девиз урока:
1. Оргмомент.Не нужно нам владеть клинком.
Не ищем славы громкой
Тот побеждает, кто знаком
С искусством мыслить, тонким.
Сегодня по всей стране проходит “День здоровья”, поэтому на уроке нам предстоит выяснить насколько мы выносливы.
2. Разминка.3. Проверка домашнего задания.
А) 1 ряд “Ловкачи”: выполняет тест по вариантам, затем взаимопроверка по готовым ответам.
Б) 3 ряда “Прыжки в длину”: 2 человека с работают у доски с домашними задачами,
2 человека работают по карточкам. (задачи), 1 человек на интердоске выполняет задание
| Сколькими способами в игре
“Спортлото” можно выбрать шесть номеров из 49? (С649= (49!)/6! (49 – 6)!) = (49!) / (6!43!) = (49 • 48 • 47 • 46 • 45 • 44) / (1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6) = 13 983 816) – сочетания без повторений |
У Робина – Бобина Барабека 40
соседей. Он решил пригласить двоих из них на обед.
Сколько у него способов это сделать (С240 = (40!) / (2! (40 – 2) ! ) = (40!) / (2!38!) = (40 • 3) / (1 • 2) = 780) – сочетания без повторений |
В) 2 ряд соревнуются в эстафете 1 вариант и 2 вариант. (Выбрать капитанов)
1 этап эстафеты: “Бег с препятствиями”
| Какие из следующих событий
достоверные: А – “два попадания при трёх выстрелах”, В – “появление не более 18 очков при бросании трёх игральных костей”, С – “наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000”, Д – “наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений, меньше 400”? (В, С и Д) |
Какие из следующих событий
невозможные: А – “опаздывание ленинградского экспресса в субботние дни”, В – “появление 17 очков при бросании 3 игральных костей”, С – “появление слова “мама” при случайном наборе букв а, а, м, м”, Д – “появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 9 числа при случайном однократном наборе цифр” (Д) |
2 этап эстафеты: “Состязание капитанов”
О каком событии идёт речь?
| 1) Измерены длины сторон
треугольника. Оказалось, что длина каждой
стороны меньше суммы длин двух других сторон. (Достоверное
событие) 2) В полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце (невозможное, т.к. ч/з 24 часа будет ночь) |
1) Произведено три выстрела по
мишени. Произошло пять попаданий. (Невозможное
событие) 2) Завтра будет контрольная по математике (Случайное, если тема закончилась) |
3 этап эстафеты: “Кто быстрее?” (Решить задачи.)
| 1) В урне 15 белых и 25 чёрных
шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова
вероятность того, что он будет белым? (15/40 = 3/8 = 0, 375) 2) Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной? (4/7 = 0, 571) 3) Одновременно бросают 3 монеты. Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента? (8) |
1) Из русского алфавита
случайным образом выбирается одна буква. Какова
вероятность того, что она окажется гласной? (10/ 33 = 0, 303) 2) Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал её на удачу, помня только, что эта цифра нечётная. Найти вероятность того, что номер набран правильно. (5/10 = 1/2 = 0, 5) 3) Одновременно бросают 3 монеты. С какой вероятностью все монеты выпадут на одну сторону? (2/8 = 1/4 = 0, 25) |
Если выполнили задание 1 ряд, то дополнительно решить задачи
(Решить задачу.)
| Имеется шесть перчаток
различных размеров. Сколькими способами можно
выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну
на правую руку так, чтобы эти перчатки были
различных размеров? (Решается по правилу произведения 6 • 5 = 30 способов) |
Гера, Афина и Афродит попросили
Париса не только назвать самую красивую из них,
но и указать, кто на “втором и третьем месте”.
Сколько есть вариантов ответа? (Решается по правилу произведения 3 • 2 • 1 = 6 способов) |
5. Изучение нового материала.
Как только человеку в его деятельности потребовались количественные характеристики, то есть числа, тут же появилась статистика.
“Статистика знает все”, утверждал Ильф и Петров в романе “двенадцать стульев”.
Для изучения, обработки и анализа количественных данных различных массовых социально-экономических процессов и явлений проводят статистические исследования.
“Независимо от того, в какой отрасли знания получены числовые данные, они обладают определенными свойствами, для выявления которых может потребоваться особого рода научный метод обработки. Последний известен как статистический метод или, короче, статистика.”
Дж.Юз. М. Кендалл. “Теория статистики”.
Каждое статистическое исследование состоит из сбора и обработки информации. На основе полученных данных проводятся выработка различных прогнозов, оценка их достоверности. Важной задачей, без которой статистические данные теряют всякий смысл, является обработка полученных данных.
Предложить учащимся выполнить задание №1.
№1. Посчитайте длины слов (количество букв) в приведенном ниже отрывке.
Если хочешь быть здоров, закаляйся 4, 6, 4, 6, 9.
Позабудь про докторов 8, 3, 8.
Водой холодной умывайся. 5, 8, 8.
После его выполнения учащимся задаются вопросы:
– Что вы сейчас делали? (собирали информацию)
– Какие выводы можно сделать? (можно вычислить самое длинное слово, самую длинную строку, самую распространенную букву и т. д.)
Займемся статистическим методами обработки информации. Для этого нужны новые термины, принятые в статистике.
Учащимся предлагается раздаточный материал.
| 1) Все понятно | 2) Почти понятно | 3) Ничего не понятно |
Новый термин |
Простое описание |
Более научный термин |
Определение |
| Общий ряд данных | То, откуда выбирают | Генеральная совокупность | Множество всех в принципе возможных данных измерения |
| Выборка | То, что выбрали | Статистическая выборка, статистический ряд | Множество данных, реально полученных в данном измерении. |
| Варианта | Значение одного из результатов измерения | Варианта | Одно из значений элементов выборки |
| Ряд данных | Значение всех результатов измерения, перечисленных по порядку | Вариационный ряд | Упорядоченное множество всех вариант |
| Кратность варианты | Это сколько раз каждая варианта из ряда данных наблюдается в выборке. | ||
Объем выборки |
Если сложить все кратности | Количество всех произведенных при выборке измерений | |
| Частота варианты | Отношение кратности варианты к объему выборки |
№2.
30 абитуриентов на четырех вступительных экзаменах набрали в сумме такое количество баллов (оценки на экзаменах выставлялись по 5 бальной системе):
20; 19; 12; 13; 16; 17; 15; 14; 16; 20; 15; 19; 20; 20;15; 13; 19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17; 16; 17.
Составить общий ряд данных выборки. Выборку из результатов, стоящих на четных местах и соответствующий ряд данных.
Решение:
После получения 2 дальнейшие экзамены не сдаются, поэтому сумма баллов не может быть меньше 12(12 – это 4”тройки”)
Общий ряд данных – все реальные данные измерения, выписанные в определенном порядке без повторений. Значит, общий ряд данных состоит из чисел.
Общий ряд данных: 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20.
Выборка из результатов, стоящих на четных местах состоит из 15 результатов; 19; 13; 17; 14; 20; 19; 20; 13; 14; 17; 14; 17; 17; 17; 17.
Ряд данных – это конечная возрастающая последовательность: 13; 14; 17; 19; 20.
Перейдём к дальнейшей обработке информации.
Составим таблицу из двух строк. В первой из которых будет ряд данных.
Каждая варианта из этого ряда какое – то количество раз наблюдалось в выборке. Это количество называется кратностью варианты.
Кратность варианты – это сколько раз каждая варианта из ряда данных наблюдается в выборке.
Вот и поставим во вторую строку кратности соответствующих вариант.
Получим таблицу распределения выборки. Вот как она выглядит.
| Варианта | 13 | 14 | 17 | 19 | 20 | Всего 5 вариант |
| Кратность варианты | 2 | 3 | 6 | 2 | 2 | Сумма = 15 (объем выборки) |
Если сложить все кратности, то получится количество всех произведенных при выборке измерений – объем выборки.
В данном случае объем выборки равен 15.
Далее, при общей оценке данных выборки не очень важно, что, например, варианта 14 имеет кратность 3 из общего объема в 15 данных. Удобнее сказать, что эта варианта составляет или 20% числа всех измерений. Так и поступают, т.е. делят кратности вариант на объем выборки и получаем частоты вариант.
Частотность варианты = КРАТНОСТЬ И ВАРИАНТЫ
Частоты всех вариант удобно приписывать третьей строкой уже составленной таблице. Новую трехстрочную таблицу называют таблицей распределения частот выборки.
Таблица распределения частот выборки:
| Варианта | 13 | 14 | 17 | 19 | 20 | Всего: 5 вариант |
| Кратность варианты | 2 | 3 | 6 | 2 | 2 | Сумма = 15 (объем выборки) |
| Частота варианты | Сумма = 1 | |||||
| 13,33% | 20% | 40% | 13,33% | 13,33% |
Обратите внимание, что сумма частот равна 1, и так бывает всегда.
Иногда частоты удобно измерять в процентах от общего объема выборки. Тогда таблицу распределения дополняют еще частотой частот в процентах. Она получается из предыдущей строки умножением на 100%.
6. ЗакреплениеРешить задачу.
№1
После группировки данных эксперимента получилась такая таблица их распределения:
| Варианта | -3 | 0 | 4 | 5 | 9 | 11 | 12 | 15 | 20 |
| Кратность варианты | 12 | 9 | 1 | 64 | 34 | 56 | 7 | 8 | 9 |
а) Определите объем выборки.
б) Найдите наиболее часто встретившуюся варианту.
в) Допишите к таблице третью и четвертую строки из частот и процентных частот вариант.
г) Найдите сумму чисел в третьей и четвертой строках.
Решение:
| Варианта | -3 |
0 |
4 |
5 |
9 |
11 |
12 |
15 |
20 |
Всего 9 вариант |
| Кратность варианты | 12 |
9 |
1 |
64 |
34 |
56 |
7 |
8 |
9 |
200 |
| Частота варианты |
|
|
|
|
Сумма 1 |
|||||
| Частота варианты в % | 6 |
4,5 |
0,5 |
32 |
17 |
28 |
3,5 |
4 |
4,5 |
100 |
а) Объем выборки 200; б) 5.
Работа в парах.
Задача № 2
1 ряд. Для выборочной переписи населения в 20 квартирах были получены следующие сведения о годах рождения их жильцов (первые две цифры 1 и 9 не пишутся):
30 |
56 |
98 |
77 |
93 |
31 |
61 |
80 |
87 |
52 |
56 |
32 |
87 |
73 |
93 |
81 |
57 |
52 |
61 |
89 |
90 |
92 |
85 |
87 |
70 |
61 |
93 |
87 |
52 |
53 |
40 |
56 |
48 |
51 |
61 |
87 |
88 |
90 |
52 |
60 |
22 |
34 |
48 |
52 |
88 |
87 |
91 |
62 |
63 |
87 |
39 |
40 |
52 |
87 |
99 |
91 |
87 |
65 |
61 |
55 |
а) Составьте ряд данных.
б) Найдите кратность и частоту вариант 61 и 87.
в) Составьте таблицу кратностей, разбив данные на интервалы по годам:
№1-от 22 до 30; №2 –от 31 до40;
№3-от 41 до 50; № 4 –от 51 до 60;
№5-от 61 до 70; № 6 – от 71 до 80;
№7 – от 81 до 90; №8 -от 91 до 99.
Решение:
а) 30, 31, 32, 34, 40, 48, 51, 52, 53, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 65, 70, 73, 77, 80, 81, 85, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 98, 99.
б)
| Варианта | 61 |
87 |
| Кратность варианты | 5 |
9 |
| Частота варианты |
в)
| Варианта | 22– 30 | 31-40 | 41 -50 | 51-60 | 61-70 | 71-80 | 81-90 | 91-99 | |
| Кратность варианты | 2 |
6 |
2 |
14 |
9 |
3 |
16 |
8 |
Сумма 60 |
| Частота варианты | 1 | ||||||||
| Частота варианты в % | 3,3% | 10% | 3,3% | 23,3% | 15% | 5% | 26.6 % | 13,3% | 100% |
Самостоятельно определить частоту варианты и частоту варианты в %
3 ряд. Предлагает задачу Морева С.
Проводя исследование “Использование статистических методов при изучении отношения школьников к математике.”
С этой целью был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу выполняли учащиеся 9 А класса (23 человек). При проверке каждой работы учитель математики отмечала число верно выполненных заданий. Я приняла участие в анализе данных по ее просьбе.
В результате был составлен такой ряд чисел:
6, 5, 5, 7, 9, 6, 8, 7, 9, 8, 6, 7, 5, 7, 6, 4, 5, 8, 6, 7, 9, 9, 6.
а) Составьте ряд данных.
б) Найдите кратность и частоту вариант 5 и 9.
в) Составьте таблицу кратностей;
г) найдите частоту варианты и частоту варианты в процентах.
Для того чтобы удобно было анализировать полученные данные, упорядочим этот ряд:
4 |
5, 5, 5, 5 |
6, 6, 6, 6, 6, 6 |
7, 7, 7, 7, 7 |
8, 8, 8 |
9, 9, 9, 9. |
Представим полученные данные в виде таблицы, в которой для каждого числа верно выполненных заданий, записанного в верхней строке, укажем в нижней строке количество появлений этого ила в ряду, т.е. частоту:
Число верно выполненных заданий |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Кратность варианты |
1 |
4 |
6 |
5 |
3 |
4 |
Частота варианты |
||||||
Частота варианты в % |
4,3 |
17,4 |
26,1 |
21,7 |
13,1 |
17,4 |
В рассмотренном примере сумма частот равна общему числу проверяемых работ, т.е. 23.
2 ряду предлагает задачу Ланцова Татьяна
“Подтверждение статистических характеристик на примере 7А класса МСОШ №1”
Мне стало интересно, какой средний рост моих одноклассников. Я провела среди них опрос, и в результате моего исследования выяснилось следующее:
143, 157, 165,148, 168,161,159, 157, 164, 167,153, 170,159,158,167,166, 168,168, 173, 169,169,170, 168,
а) Составьте ряд данных.
б) Найдите кратность и частоту вариант 171 и 167.
в) Составьте таблицу кратностей, разбив данные на интервалы по росту:
№1-от 143 до 149; №2 –от 150 до 155; №3-от 156 до 160; № 4 –от 161 до 165;
№5-от 166 до 170, №6 – от 171 до 175.
Рост, см |
Частота, чел. |
Середина интервала, см |
143-149 |
2 |
144,5 |
150-155 |
1 |
153,5 |
156-160 |
5 |
157,5 |
161-165 |
3 |
163,5 |
166-170 |
11 |
167,5 |
171-175 |
1 |
173,5 |
Решить задачи: № 1; 2.
Задача № 1
В вашем классе соберите данные о месяцах рождения учеников. Месяца удобнее перечислять по порядковому номеру.
а) Выпишите ряд данных полученной вами выборки;
б) составьте таблицу распределения из четырех
строк: варианты, кратности, частоты, частоты в
процентах;
в) укажите наиболее и наименее часто
встретившуюся варианту.
Задача № 2
Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишье
“... Это дерево – сосна,
И судьба сосны ясна...”
а) выпишите ряд данных выборки;
б) найдите объем выборки;
в) определите кратность и частоту варианты “о”;
г) какова “наибольшая процентная частота
вариант выборки”.
Конспект.
8. Стадия рефлексии. Подводя итог урока, необходимо добиться понимания учащимися следующих важных положений:На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме выразить свое отношение к изученном материалу.
Справка: СИНКВЕЙН – приём технологии развития критического мышления, на стадии рефлексии.
Это короткое литературное произведение, характеризующее предмет (тему), состоящее из пяти строк, которое пишется по определённому плану. Слово “синквейн” происходит от французского слова “пять”.
ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА
1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.
2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, слова можно соединять союзами и предлогами.
3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме.
4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает отношение автора к теме в 1-ой строчке.
5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы в 1-ой строчке, обычно существительное.
Пример синквейна:
9. Завершение урокаСтатистика
Ускользающая, непознанная.
Осознать, изучить, понять
Статистика есть дизайн информации.
Реальность.
Завершить урок хочется такой историей.
– Доктор, – спрашивает пациент – пойдут ли у меня дела на поправку?
– Несомненно, – отвечает врач, – потому что статистика говорит, что один из ста выздоравливает при этой болезни.
– Но почему же при этом именно я должен выздороветь?
– Потому что вы как раз и есть мой сотый пациент.