Интегрированный урок-семинар обобщения и систематизации знаний для учащихся 10-х классов по теме "Тригонометрические уравнения и их применение в физике"

Разделы: Математика

Цели:

  1. Повторение и обобщение знаний по теме «Тригонометрические уравнения», усвоение системы знаний и их применение при решении физических задач.
  2. Развитие умений анализировать, обобщить, аргументировать сделанный выбор при решении тригонометрических уравнений.
  3. Воспитывать познавательный интерес к предмету, развивать творческие способности, воспитывать чувство коллективизма, взаимопомощи.

Оборудование: учебный комплект «Алгебра 10» А. Г. Мордковича, карточки с заданием, интерактивная доска.

Подготовка к уроку-семинару

На подготовку к семинару отводится 1 неделя.

  1. Вкабинете математики вывешиваются задания:
    1) Повторить решение простейших тригонометрических уравнений вида sin t = a, cos t = a, tg t = a, где а - действительное число.
    2) Решить уравнение:
    а) sin 2x = 0,5; cos 3x = -; tg (4х-) =
    Найти те корни, которые принадлежат отрезку [0;π]
    б) 2sin2 x - 5sin x + 2 = 0
    в) (sin x - )(cos x + ) = 0
    г) 2sin x - 3cos x = 0
  2. В кабинете физики вывешиваются задания:
    1) Механические колебания описываются уравнением х = 0,5 cos 2πt. Чему равна фаза колебаний, если х = 0,3?
    2) Луч света идёт из стекла в воду и преломляется на границе стекловода. При каком угле падения отражённый и преломлённый лучи перпендикулярны друг другу?
    3) Горизонтальный проводник m = 30 г. и длиной 50 см находится в вертикальном магнитном поле с индукцией В = 0,1 тл. По проводнику течёт ток 2 А.На какой угол от вертикали отклоняются провода, если находятся вне области магнитного поля?
    4) Чему равен угол наклона на эстакаде, если для подъёма вагонетки массой
    m = 600 кг , надо приложить силу F = 2,3 кН. Коэффициент трения равен 0,05.

План урока-семинара

  1. Сообщение об истории развития тригонометрии.
  2. Решение простейших тригонометрических уравнений в общем виде и частные случаи.
  3. Методы решения тригонометрических уравнений:
    а) метод замены переменной
    б) метод разложения на множители
    в) однородные тригонометрические уравнения.
  4. Прикладная направленность данной темы. Решение задач по физике, в которых используются умения решать тригонометрические уравнения.

Организация урока-семинара

Класс разбивается на 6 групп и каждая группа получает одно из заданий, перечисленных в плане семинара. Каждая группа при подготовке к семинару прорабатывает соответствующие разделы учебника, использует интернет, дополнительную литературу, получает консультацию учителя.

Ход урока

1. Организационный момент

1. Учителем сообщается тема семинара, цель его проведения.
2. Эпиграфом к сегодняшнему уроку послужат следующие слова: «Образование есть то, что остаётся у человека, когда остальное забывается».

2. Систематизация знаний

1. Представитель 1 группы делает сообщение об истории развития тригонометрии с привлечением интерактивной доски.

2. Представитель 2 группы показывает решение простейших тригонометрических уравнений в общем виде и частные случаи на интерактивной доске.

Уравнения вида sin x = а, cos x = а, tg x = a, где а — действительное число относятся к простейшим тригонометрическим уравнениям.

  1. если |а|≤1, то решения уравнения cos x = a имеют вид х = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z
  2. если |а|≤1, то решения уравнения sin x = a имеют вид х = (-1)n arcsin a + πn, n ∈ Z или, что то же самое, х = arcsin a + 2πn, n ∈ Z, х = π - arcsin a + 2πn, n ∈ Z
  3. если |а|>1, то уравнения cos x = a, sin x = a не имеют решений
  4. решения уравнения tg x = a для любого значения а имеют вид х = arctg a + πn, n ∈ Z
  5. частные случаи:
    sin x = 0, х = πn, n ∈ Z
    cos x = 0, х = + πn, n ∈ Z
    sin x = 1, х = + 2πn, n ∈ Z
    cos x = 1, х = 2πn, n ∈ Z
    sin x = -1, х = - + 2πn, n ∈ Z
    cos x = -1, х= π + 2πn, n ∈ Z

2 ученика из этой группы решают на доске следующие уравнения:

sin 2x =
2cos(х - ) =

3. Представитель 3 группы объясняет решение уравнения 2sin2 x - 5sin x + 2 = 0 методом замены переменной.

Решение:

Введём новую переменную: z = sin x.

Тогда уравнение примет вид 2z2 - 5z + 2 = 0, откуда находим: z1 = 2, z2 = .
Значит либо sin x = 2, либо sin x = .
Первое уравнение не имеет решений, а для второго получаем: х = (-1)n + πn
Самостоятельно учащиеся решают уравнение соs2 x - sin2 x - cos x = 0. Затем проверяют решение на интерактивной доске.

4. 4 группа - методы решения однордных тригонометрических уравнений. Представитель группы излагает теоретический материал, подготовленный ранее, демонстрируя его на интерактивной доске.

Определение: Уравнение вида asin x + bcos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида asin2 x + bsin x + ccos2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

а) asin x + bcos x =0, а ≠ 0, b ≠ 0. Разделив обе части уравнения почленно на cos x ≠ 0 получим

a + b = , т. е. atg x + b = 0, tg x = -
делить обе части уравнения можно только в том случае, когда cosx ≠ 0. Предположим, что cosx=0, тогда уравнение asin x + bcos x = 0 примет вид asin x = 0, т. е. sin x = 0. Получается, что и sin x = 0, и cos x = 0, а это невозможно, т. к. и sin x и cos x обращаются в нуль в различных точках.

б) Уравнения вида asin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для их решения обе части уравнения почленно делят на cos mx.

в) Ещё один учащийся из этой группы показывает решение следующего уравнения: 2sin x - 3cos x = 0.

Решение:

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим:

2tg x - 3 = 0, tg x = , х = arctg + πn

г) asin2 x + bsin x cos x + ccos2 x = 0 однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Обе части уравнения можно разделить на cos2 x ≠ 0

+ + = 0

atg2 x + btg x + c = 0 – квадратное уравнение относительно новой переменной z = tgx.

д) Следующий учащийся показывает решение этого уравнения: sin2 x - 3sin x cos x + 2cos2 x = 0

Решение:

Разделив обе части уравнения почленно на cos2 x, получим: tg2 x - 3tg x + 2 = 0.
Введя новую переменную z = tg x, получим: z2 - 3z + 2 = 0, откуда находим: z1 = 1, z2 = 2.
Значит, либо tg x = 1, либо tg x = 2.

Из первого уравнения находим: х = arctg1 + πn, т.е. х = + πn.

Из второго уравнения находим: х = arctg2 + πn.

Далее учащимся предлагается решить самостоятельно уравнение tg + 3ctg = 4

и делается проверка на интерактивной доске.

5. 5 группа объясняет решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Если уравнение f(x) = 0 удаётся преобразовать к виду f1(x) f2(x) = 0, то либо f1(x) = 0, либо f2(x) = 0. Задача сводятся к решению совокупности уравнений f1(x) = 0; f2(x) = 0.

Один из учащихся этой группы решает следующее уравнение 2 sin x cos 5x - cos 5x = 0.

Решение:

Имеем: cos 5x (2sin x - 1) = 0. Значит, приходим к совокупности уравнений cos 5x = 0 ; sin x = .
Из первого уравнения находим: 5х = + πn, х = + .
Из второго уравнения находим: х = (-1)n + πn.
Затем учащиеся самостоятельно решают уравнение sin x cos x + cos2 x = 0.

6. Представитель 6 группы решает физические задачи и объясняет прикладную направленность тригонометрических уравнений.

Задача

Механические колебания описываются уравнением х = 0,5cos 2πt. Чему равна фаза колебаний, если смещение х = 0,3 м?

Решение:

Используя уравнение 0,3 = 0,5sin 2πt получаем
sin 2πt = 0,3 / 0,5
sin2 πt = 0,6
2πt = φ = arcsin 0,6
≈ 37º

7. Решение уравнений различными способами.

Учащиеся самостоятельно решают предложенные уравнения с последующей проверкой на интерактивной доске.

1) sin4 x + cos4 x =

2) sin x - cos x = 1

3. Самостоятельная работа

1 вариант 2 вариант
Решите уравнение:
а) 2sin2 x + 3cos x = 0 а) 8sin2 2x + cos 2x + 1 = 0
б) tg x sin 2x = 0 б) cos x tg 3x = 0
в) 4sin2 x - 2sin x cos x = 3 в) 3sin2 x - sin x cos x = 2

Тетради учащихся собираются для последующей проверки учителем и результаты анализируются на следующем уроке.

4. Итог урока

а) Проанализировать вместе с учащимися работу групп, указать ошибки, недочёты, отметить положительные моменты.
б) Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений в общем и частном виде.
в) Повторить методы решения тригонометрических уравнениий.
г)Выставить отметки за работу на уроке.

5. Домашнее задание

№ 28.8(а), 23.11(г), 23.13(б), 23.22(а)
для сильных учащихся: № 23.24(а), 23.30(а)