№1. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках график функции

Решение

Построим график данной функции. Прямые y=2x+1 и

y=2x-3 параллельны ,т.к. у них одинаковый угловой коэффициент , равный 2. Прямая y= - 1 параллельна оси абсцисс.

Прямая n задана уравнением y=2x. Для нахождения уравнения прямой l необходимо подставить координаты точки А(-1; -1) в уравнение y=kx.

-1=(-1)k. Отсюда k=1. Уравнение прямой l имеет вид y=kx.

Для того чтобы искомая прямая m пересекала график данной функции в трех различных точках (рис.1), она должна располагаться между прямыми n и l. При этом 1 < k < 2.

Ответ: 1< k < 2.

Рисунок 1

№2 Постройте график функции y = f(x), где

При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции три общие точки?

Решение.

1. Графиком функции является парабола.

а) Ветви параболы направлены вниз.

б)

(-1;2) - координаты вершины параболы.

в) Ось Оx:

y = 0

D = 4 + 4 = 8

- координаты точек пересечения параболы и оси Оx (оси абсцисс).

Ось Оy:

x = 0

y = 1

(0;1) - координаты точки пересечения параболы и оси Оy(оси ординат).

2. Графиком функции является парабола.

а) Ветви параболы направлены вверх.

б)

- координаты точки вершины параболы.

в) Ось Оx:

D = 4 + 20 = 24

- координаты точек пересечения параболы и оси Оx(оси абсцисс).

Ось Оy:

x = 0

y = - 5

(0; - 5) - координаты точки пересечения параболы и оси Оy(оси ординат).

Найдём дополнительные точки для точного построения графика функции :

Найдём дополнительные точки для точного построения графика функции :

График данной функции (рис.2) только в трёх точках пересекают прямые

y = m при - 6 < m < - 2.

Ответ: - 6 < m < - 2.

Рисунок 2

№ 3. Постройте график функции y=¦ (x) , где

При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции две общие точки?

Решение.

Построим график данной функции. Для этого проведем исследования.

1. Графиком функции y= - x - 4x - 3 является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:

x= = - 2, y= y( - 2 ) = -4+8-3= 1.

Определим точки пересечения параболы с осями координат:

x=0, y = -3; y=0, x= - 3, x= - 1. y (-4)= -16+16-3= - 3.

2. Графиком функции y= x + 1 является прямая.

y ( - 1 )= 0 , y (1) = 2.

3. Графиком функции y= является гипербола. В нашем случае достаточно построить одну ветвь гиперболы , т.к. нам нужна часть гиперболы при x > 1. y(1) = 2, y(2)= 1, y(4)=0,5.

График данной функции (рис.3) только в двух точках пересекает прямая y=0 и прямые y=m при 1<m<2.

Ответ: m=0 и 1<m<2.

Рисунок 3

№ 4. Постройте график функции y = .

При каких значениях x выполняется неравенство y ? 3 ?

Решение.

1. Найдем область определения функции:

   2x - x 0, x (2 - x) 0, x 0, x 2.

2. Преобразуем выражение, задающее функцию:

   y = = - (x + 1),

   x, x=2, x= - 1.

3. Построим прямую y= -(x + 1)= - x - 1 и " выколем " на ней точки, абсциссы которых равны 0 и 2 (рис.4).

   y(- 4) = 3, y(0) = -1, y( 2) = -3.

4. Решим неравенство y? 3 с помощью графика:

- 4 x < 0, 0<x<2, x>2.

Рисунок 4

Ответ: [- 4; 0) E (0; 2) E (2; + ? ).

№ 5. Постройте график функции y= .

Решение.

1. Найдем область определения данной функции:

x+6x+8 0 ,

x+6x+8 =0, x= -4, x= -2.

Значит, областью определения является множество всех действительных чисел , кроме - 4 и - 2.

2. Для разложения числителя на множители решим уравнения :

а) x+7x+12=0, б) x+3x+2=0,

x= - 3, x= - 4 ; x= - 2, x= -1.

3. Упростим данную функцию:

y= = (x+3)(x+1)=x+4x+3 .

4.Исследуем полученную квадратичную функцию: графиком функции y = x+4x+3 является парабола , ветви которой направлены вверх, вершина её имеет координаты x= - 2, y= -1; точки пересечения с осями координат - x=0, y=3; y=0 при x=-3 и x=-1.

5. Построим параболу и "выколем" на ней точки, абсциссы которых равны - 4 и - 2, поскольку при этих значениях переменной исходная функция не определена (рис.5).

y(- 4)=16-16+3=3, y(1)= 1+4+3=8.

Рисунок 5

№ 6. Постройте график функции y= .

Решение.

1. Найдем область определения данной функции:

2. Упростим данную функцию:

y== ==x+1.

3. Построим прямую y=x+1 на промежутках (- 1; - 1) и (1; + ) (рис.6).

y( -1) = 0, y(1) = 2.

Рисунок 6

№ 7. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке 7.

Решение.

Ломаная состоит из двух звеньев, одно из них является графиком линейной функции y=kx+b при x 2, а другое - графиком линейной функции при x > 2.

В каждом случае необходимо найти k и b.

Для этого необходимо на каждом из звеньев выбрать по две точки, подставить их координаты в уравнение линейной функции и решить две получившиеся системы уравнений относительно k и b.

1)На левом звене возьмем точки с координатами (-2;0) и (2; -6).

решая эту систему получаем b= - 3, k = - 1,5.

Рисунок 7

Получим уравнение прямой y= -1,5 x-3 при x 2.

2) На второй части ломаной возьмем точки с координатами (2; - 6) и (4;0).

вычитая из второго уравнения первое, получим k=3, а b= - 12.

Получим уравнение прямой y= 3x - 12 при x > 2.

Зададим теперь заданную графически функцию аналитически: