№1.
Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках график функции
Решение
Построим график данной функции. Прямые y=2x+1 и
y=2x-3 параллельны ,т.к. у них одинаковый угловой коэффициент , равный 2. Прямая y= - 1 параллельна оси абсцисс.
| y=2x+1, | y=2x - 3. |
| y(0)= 1, y(-1)= -1, | y(0)= - 3, y(1)= - 1. |
Прямая n задана уравнением y=2x. Для нахождения уравнения прямой l необходимо подставить координаты точки А(-1; -1) в уравнение y=kx.
-1=(-1)k. Отсюда k=1. Уравнение прямой l имеет вид y=kx.
Для того чтобы искомая прямая m пересекала график данной функции в трех различных точках (рис.1), она должна располагаться между прямыми n и l. При этом 1 < k < 2.
Ответ: 1< k < 2.
Рисунок 1
№2
Постройте график функции y = f(x), где
При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции три общие точки?
Решение.
1. Графиком функции 
является парабола.
а) Ветви параболы направлены вниз.
б) 
(–1;2) – координаты вершины параболы.
в) Ось Оx:
y = 0
D = 4 + 4 = 8
–
координаты точек пересечения параболы и оси Оx
(оси абсцисс).
Ось Оy:
x = 0
y = 1
(0;1) – координаты точки пересечения параболы и оси Оy(оси ординат).
2. Графиком функции 
является парабола.
а) Ветви параболы направлены вверх.
б) 
– координаты
точки вершины параболы.
в) Ось Оx:
D = 4 + 20 = 24
–
координаты точек пересечения параболы и оси
Оx(оси абсцисс).
Ось Оy:
x = 0
y = – 5
(0; – 5) – координаты точки пересечения параболы и оси Оy(оси ординат).
Найдём дополнительные точки для точного
построения графика функции 
:
Найдём дополнительные точки для точного
построения графика функции 
:
График данной функции (рис.2) только в трёх точках пересекают прямые
y = m при – 6 < m < – 2.
Ответ: – 6 < m < – 2.
Рисунок 2
№ 3.
Постройте график функции y=¦ (x) , где
При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции две общие точки?
Решение.
Построим график данной функции. Для этого проведем исследования.
1. Графиком функции y= - x
- 4x – 3 является парабола, ветви которой
направлены вниз. Найдем координаты вершины
параболы:
x
= 
= - 2, y
= y( - 2 ) = -4+8-3= 1.
Определим точки пересечения параболы с осями координат:
x=0, y = -3; y=0, x
= -
3, x
= - 1. y (-4)= -16+16-3= - 3.
2. Графиком функции y= x + 1 является прямая.
y ( - 1 )= 0 , y (1) = 2.
3. Графиком функции y= 
является гипербола. В нашем случае
достаточно построить одну ветвь гиперболы , т.к.
нам нужна часть гиперболы при x > 1. y(1) = 2, y(2)= 1,
y(4)=0,5.
График данной функции (рис.3) только в двух точках пересекает прямая y=0 и прямые y=m при 1<m<2.
Ответ: m=0 и 1<m<2.
Рисунок 3
№ 4.
Постройте график функции y =
.
При каких значениях x выполняется неравенство y ? 3 ?
Решение.
- Найдем область определения функции:
- Преобразуем выражение, задающее функцию:
- Построим прямую y= -(x + 1)= - x – 1 и “ выколем ” на ней точки, абсциссы которых равны 0 и 2 (рис.4).
- Решим неравенство y? 3 с помощью графика:
2x - x
0, x (2 – x) 
0, x 
0, x 
2.
y = 
=
- (x + 1),
x
, x
=2, x
= - 1.
y(- 4) = 3, y(0) = -1, y( 2) = -3.
- 4
x < 0, 0<x<2, x>2.
Рисунок 4
Ответ: [- 4; 0) E (0; 2) E (2; + ? ).
№ 5.
Постройте график функции y=
.
Решение.
1. Найдем область определения данной функции:
x
+6x+8 
0 ,
x+6x+8
=0, x
= -4, x
= -2.
Значит, областью определения является множество всех действительных чисел , кроме – 4 и – 2.
2. Для разложения числителя на множители решим уравнения :
а) x
+7x+12=0,
б) x
+3x+2=0,
x
= - 3, x
= - 4 ; x
= - 2, x
= -1.
3. Упростим данную функцию:
y= 
=
(x+3)(x+1)=x
+4x+3 .
4.Исследуем полученную квадратичную
функцию: графиком функции y = x+4x+3 является парабола , ветви которой
направлены вверх, вершина её имеет координаты x
= - 2, y
= -1; точки пересечения с осями координат -
x=0, y=3; y=0 при x=-3 и x=-1.
5. Построим параболу и “выколем” на ней точки, абсциссы которых равны - 4 и – 2, поскольку при этих значениях переменной исходная функция не определена (рис.5).
y(- 4)=16-16+3=3, y(1)= 1+4+3=8.
Рисунок 5
№ 6.
Постройте график функции y=
.
Решение.
1. Найдем область определения данной функции:
2. Упростим данную функцию:
y== 
=
=x+1.
3. Построим прямую y=x+1 на промежутках (- 1; - 1) и (1; + 
) (рис.6).
y( -1) = 0, y(1) = 2.
Рисунок 6
№ 7.
Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке 7.Решение.
Ломаная состоит из двух звеньев, одно из них
является графиком линейной функции y=kx+b при x
2, а другое – графиком
линейной функции при x > 2.
В каждом случае необходимо найти k и b.
Для этого необходимо на каждом из звеньев выбрать по две точки, подставить их координаты в уравнение линейной функции и решить две получившиеся системы уравнений относительно k и b.
1)На левом звене возьмем точки с координатами (-2;0) и (2; -6).
решая
эту систему получаем b= - 3, k = - 1,5.
Рисунок 7
Получим уравнение прямой y= -1,5 x–3 при x
2.
2) На второй части ломаной возьмем точки с координатами (2; - 6) и (4;0).
вычитая из
второго уравнения первое, получим k=3, а b= - 12.
Получим уравнение прямой y= 3x – 12 при x > 2.
Зададим теперь заданную графически функцию аналитически:
