Открытый урок "Обобщение понятия степени"

Удовиченко Елена Арнольдовна, учитель математики, заместитель директора по УВР

Цель урока:

Обобщение и систематизация знаний, умений, навыков.
Актуализация опорных знаний в условиях сдачи ЕГЭ.
Контроль и самоконтроль знаний, умений, навыков с помощью тестов.
Развитие умения сравнивать, обобщать.

План урока.

Формулировка цели урока (1 мин)
Устная работа “Верю – не верю!” (6 мин)
Решение серии примеров на сравнение выражений (12 мин)
Софизм (4–5 мин)
Решение примера на упрощение выражения (из ЕГЭ) с обсуждением наиболее “тонких” мест (15 мин)
Самостоятельная работа на основе демонстрационного варианта ЕГЭ (гр.А) (5 мин)
Задание на дом (на листочках)

Оборудование: проектор.

1. Друзья! Перед вашими глазами часть высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра (1814–1897) о математике “Математика – это музыка разума”. Не правда ли, как романтично?

Вопрос. А как вы думаете, как определил он музыку?

“Музыка – это математика чувств”.

К чувствам мы можем отнести различного рода переживания. В этом году одной из причин ваших и моих переживаний является успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в ВУЗ. Очень хочется, чтобы преобладали положительные эмоции. Должна быть уверенность, а это наши знания и навыки. Сегодня на уроке мы продолжим подготовку к ЕГЭ, повторяя и обобщая понятие степени.

Итак, тема сегодняшнего урока – “Обобщение понятия степени”.

Основные свойства и определения мы уже с вами повторили, и я предлагаю вам сыграть в игру “Верю – не верю!”

Ваша задача быстро (полагаясь на свою интуицию, она поможет при решении гр. А) ответить на вопрос утвердительно или отрицательно, а затем пояснить свой ответ.

Приложение 2

2. Устная работа “Верю – не верю!”

1. Имеют смысл выражения:

а) б) в) с) д)

2. (да)

3. Уравнение имеет три корня

(нет, корень один: 7, т.к.)

4. Наименьший корень уравнения 1

(нет) ()

3. Решение серии примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.

Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?

Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.

1. Сравните и .

2. Сравните числа и .

Как видите, случай более сложный.

Вопрос. Какими числами являются показатели степеней?

Иррациональными.

Давайте найдём рациональные числа, близкие к данным иррациональным и попытаемся сравнить степени с рациональным показателем.

Т.к. основание степени больше 1, то по свойству степеней имеем

Сравним теперь и .

Для этого достаточно сравнить и 2 или и .

Но , а .

Теперь получаем цепочку неравенств :

3. Сравните числа и .

Воспользуемся следующим свойством радикалов: если , то , где .

Получим

Сравним и .

Оценим их отношение:

Таким образом, .

Замечания.

1) В данном случае степени и невелики, а именно

, и их нетрудно вычислить “вручную”, т.е. без калькулятора. Можно и без вычислений оценить степени:

Поэтому,

2) Если же степени действительно не поддаются вычислению (даже на калькуляторе), например, и , то можно использовать неравенство:

верно при любых , и поступить так:

при всех натуральных .

Можно доказать самостоятельно

4. Софизм. Что ж, давайте переключимся на иную работу. Найдём ошибку в следующих рассуждениях, опровергнув утверждение:

“Единица в бесконечно большой степени равна произвольному числу”.

Как известно, единица, возведённая в любую степень, в том числе и в нулевую, равна единице, т.е., где а – любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.

Пусть х – произвольное число. Простым умножением легко убедиться, что выражение (1) является тождеством при любых х. Тогда справедливо и тождество, которое следует из (1), а именно . (2)

Для произвольного положительного числа а существует .

Из равенства (2) вытекает равенство

или, что то же самое,

. (3)

Полагая в тождестве (3) х=3, получаем

, (4)

а принимая во внимание, что , получим, что .

Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не единице, как того требуют правила алгебры.

Решение.

Ошибка в следующем.

Равенство (1) действительно справедливо при всех значениях х и потому является тождеством. Полученное из него равенство (2) справедливо уже не для всех значений х. Так, х не может быть равен 2. так как знаменатели в левой и правой частях (2) обращаются при этом в нуль, и х не может быть равен 3, так как знаменатель в правой части (2) также обращается в нуль. При х = 3 равенство (2) принимает вид , который не имеет смысла.

Соотношение же (4) получено из (3) именно при х = 3, что и привело к нелепому результату.

Ну, а теперь перенесёмся в 2004 год, когда в задании С3 был предложен следующий номер.

5. Решение примера (из ЕГЭ).

Решение.

Вопрос. При каких значениях х данное выражение имеет смысл?

Так как х – целое положительное число, то N,

при .

Проверим, не обращается ли в 0 знаменатель при х = 7.

при х = 7. Следовательно, x > 7.

Преобразуем выражение:

Пусть .

При положительна и возрастает

убывает

возрастает

Найдём, при каких значениях х

Так как f(x) –возрастающая функция, то .

Найдём, какое из этих значений ближе лежит к 0,7, для чего сравним

Так как , то значение f(26) лежит ближе к 0,7.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой на доске.

А теперь самое время потренироваться: перед вами примеры из демонстрационного варианта, гр.А 2009 года.

Вы их видите как на доске, так и на листочках. Ваша задача – быстро решить и заполнить таблицы с ответами. Соответствие букв и чисел перед вами. Правильно вычислив или упростив выражения в таблице, вы прочтёте то, что необходимо вам при сдаче ЕГЭ.

Приложение 1.

1 вариант – удача, знания,

2 вариант – уверенность.

Итак, сегодня на уроке мы увидели насколько широко понятие степени используется при сдаче ЕГЭ. Закрепить полученные навыки вы сможете, выполнив домашнюю работу.

7. Домашняя работа.

Обратите внимание на домашнюю работу, она поможет вам закрепить материал, который мы решали на уроке.

Домашняя работа по теме: “Обобщение понятия степени”, 11-й класс.

1. Какое из чисел больше или 50 !