1.О решении задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции.
В настоящее время в нашей стране большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности и качества во всех сферах производства. В этой связи особую значимость приобретает умение решать так называемые задачи на оптимизацию, которые возникают там, где необходимо выяснить как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т.п.
Учащиеся с интересом решают экстремальные задачи на уроках и на внеклассных занятиях. В 11 классе учащиеся знакомятся с методом решения задач на оптимизацию, основанном на применении производной. Формирование умения решать такие задачи - одна из самых важных целей изучения начал математического анализа в средней школе.
При решении задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции надо обратить внимание на следующее:
1). Иногда приходится вводить две переменные, одна из которых обязательно длина отрезка, другая - либо длина другого отрезка, либо величина угла.
2). Часто от выбора переменной зависит и сложность решения.
3). В качестве переменной, относительно которой составляется функция для исследования, не обязательно брать искомую величину, в противном случае это может привести к более сложному решению задачи.
4). Для облегчения исследования функции p, которая положительна при всех рассматриваемых значениях переменной, полезно знать, что промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума, точки, в которых функция принимает наибольшие и наименьшие значения на заданном промежутке, не изменятся, если функцию p заменить на функцию kpn, или p+a, где k, a, n - числа, причем k>0, nЄR+: у всех этих функций производная равна произведению производной функции p на положительное число.
Задача №1 (типовая)
В правильной четырехугольной призме сумма длин высоты и диагонали призмы равна 12. При каком угле наклона этой диагонали к плоскости основания призмы объем призмы будет наибольшим?
Решение:
Пусть BB1=x, где x>0 - необходимое условие.
В1D=12-x,
B1BD:
по теореме Пифагора
BD= =
=
;
Vпризмы= BB1=
x=12(6-x)x
Рассмотрим непрерывную функцию p(x)= 6x-x2 при x>0.
p'(x)=6-2x;
Найдем критические точки функции p(x).
p'(x)=0; 6-2x=0; x=3.
Исследуем критическую точку на экстремум.
При 0<x<3 p'(x)>0;
При x>3 p'(x)<0.
Значит, функция p, непрерывная в точке 3,
возрастает при 0<x3 и убывает при x
3.
Следовательно, при x=3 функция p и Vпризмы=12p(x) будут иметь наибольшее значение.
Теперь найдем искомый угол a.
Так как BB1=3; B1D=9, то sin a
=, a =
arcsin
.
Ответ: arcsin.
Задача №2.
В правильной пирамиде МАВСD МО - высота, МК -
апофема пирамиды, МК=6. Найти длину МО, при которой объем
пирамиды будет наибольшим.
Решение.
Пусть МО=x, где x>0 - необходимое условие.
ОК2=МК2 - МО2=108-x2;
Vпир.= (2ОК)2·=
(108-x2)x.
Рассмотрим непрерывную на R функцию p(x)= (108-x2)x=108-x2 при x>0.
p'(x)=108-3x2=3(36-x2);
p'(x)=0; 3(36-x2)=0;
36-x2=0;
x=-6 или x=6.
x=-6 - не удовлетворяет условию x>0.
Исследуем критическую точку x=6 на экстремум.
При 0<x<6 p'(x)>0;
при x>6 p'(x)<0;
Значит, функция p, непрерывная в точке 6,
возрастает при 0<x?6 и убывает при x?6,
следовательно, имеет наибольшее значение в точке
6. Поэтому Vпир.= при x=6 имеет наибольшее значение.
Ответ: 6.
Замечание.
Некоторые, решая такие задачи, после того, как
установили переменную, относительно которой
будут составлять функцию, находят область
изменения этой переменной. Так, в рассмотренной
задаче, учитывая, что гипотенуза больше катета,
записывают: 0<x<6. Тогда решение задачи выглядит так:
Рассмотрим (непрерывную на R) функцию p(x)= (108-x2)x
на (0; 6).
p'(x)=3(36-x2);
p'(x)=0 при x=6.
Далее можно продолжить решение одним из двух способов:
1-й способ
При 0<x<6 p'(x)>0,
при 6<x<6
p'(x)<0.
Значит, функция p(x), непрерывная в точке 6,
возрастает при 0<x 6 и
убывает при 6
x<6
, следовательно,
при x=6 функция p(x) и Vпир.=
будут иметь
наибольшее значение.
Ответ: 6.
2-й способ
Так как функция p(x) непрерывна на R, то
сравним значения p(x) в точках 0, 6 и 6.
p(0)=0; p(6)=0
p(6)>0.
Следовательно, наибольшее значение функции p
достигается во внутренней точке отрезка [0; 6], значит, в этой
же точке принимает наибольшее значение функция p
и на интервале (6; 6
). Таким образом, при x=6 функция p, а
значит и Vпир.=
будут иметь наибольшее значение.
Ответ: 6.
Дополнение к пункту 4).
Если необходимо рассмотреть, например, такую
функцию , то
можно рассмотреть более простую:
, т.е. x3 - 3x2>0.
А функцию ,
где x>0, можно заменить такой:
, т.е.
, где x>0.
Задача №3 (Задача №2 с дополнительным условием).
См. рисунок к задаче №2.
В правильной пирамиде MABCD МО - высота пирамиды,
МК - апофема, МК+МО=6, МК[4,5].
Найдите длину МК, при которой площадь боковой
поверхности пирамиды будет наименьшей.
Решение:
Пусть МК=x, тогда МО=6-x, где 4x
5. DK=MO;
;
Sбок., где x>0.
Рассмотрим непрерывную функцию p(x)=x3-3x2, при x>0.
p'(x)=3x2-6x,
p'(x)=0 при x=2.
Исследуем критическую точку x=2 на экстремум.
При x>2 p'(x)>0, значит, функция p(x) при 4
x
5 возрастает.
Следовательно, при x=4 функция p на отрезке [4,5],
значит, и Sбок. имеют наименьшие значения.
Ответ: 4.
2. Поиск рационального решения задачи на экстремум.
При решении задачи на экстремум учащиеся нередко испытывают трудности в составлении аналитической записи функции, описывающей условие задачи. Причиной этому часто бывает нерациональный выбор независимой переменной. Ее желательно выбрать так, чтобы более коротким путем получить аналитическое выражение искомой функции и чтобы это выражение было по возможности более простым.
Однако, при удачном выборе аргумента функции удается сократить вычисления и упростить решение задачи.
Задача.
В окружность радиуса R вписана трапеция АВСD, основание АВ которой является диаметром окружности.
Какова должна быть длина боковой стороны трапеции, чтобы трапеция имела наибольшую площадь?
Решение.
Sтр.= ,
где DH - высота трапеции или по формуле: Sтр.=BH·DH,
так как трапеция равнобочная и
.
Первый способ.
В задаче требуется найти длину боковой стороны трапеции, при которой площадь трапеции будет наибольшей. Ее можно принять за независимую переменную, затем через нее и радиус окружности R выразить площадь трапеции.
Учащиеся обычно так и поступают. Пусть AD=x; ?ABD -
прямоугольный, поэтому AD2=AB·AH, откуда .По теореме
Пифагора
; а так как
, то
.
По смыслу задачи 0<x<.
При
трапеция вырождается в равнобедренный
треугольник.
Рассмотрим функцию . Найдем производную p'(x). После
очевидных сокращений получим:
.
В промежутке между 0 и производная обращается в нуль лишь в
точке x=R, меняя при этом знак с плюса на минус.
Значит, при x=R p(x) имеет наибольшее значение.
Таким образом, площадь трапеции будет наибольшей
при AD=R. Легко заметить, что искомая трапеция
имеет форму половины правильного
шестиугольника. Ее площадь равна
.
Второй способ.
Обозначим через x высоту DH трапеции. Из
прямоугольного треугольника ODH (О - центр
окружности) находим: , значит
, и получим
, где 0<x<R - простое по форме
выражение для функции Ы. Однако вычисление
производной в этом случае требует более сложных
выкладок, чем при решении задачи первым способом.
Третий способ.
Пусть BH=x. Тогда AH=2R-x. Согласно свойству высоты прямоугольного треугольника ABD имеем:
и,
следовательно,
, R<x<2R.
Производная функции находится проще, чем при решении
задачи первым и вторым способом. Более того, при
таком выборе независимой переменной задачу
можно решить и без использования производной.
Заметим, что .
Первая часть равенства представляет собой
произведение переменных, сумма которых
постоянна и равна 6R. Следовательно, это
произведение принимает наибольшее значение в
случае их равенства, т.е. , откуда
. При этом
и AD=OD=R.
Итак, третий способ выбора независимой переменной предпочтительнее первых двух.
Однако, в качестве независимой переменной можно выбрать и величину угла BAD.
Четвертый способ.
Пусть . Тогда
,
,
.
Далее находим: . S'=0 при
, т.е. при
. Остается сравнить значения функции Ы
в критической точке со значениями на концах
промежутка [45o; 90o].
Пятый способ.
Введем независимую переменную: . Площадь трапеции равна
сумме площадей трех треугольников: AOD, BOC и COD.
Следовательно,
, 0o<x<90o.
Таким образом, задача легко сводится к
нахождению наибольшего значения функции . Ее производная
.
Критические точки получим, решив уравнение .
После разбора различных способов решения задачи учащимся можно предложить обобщение этой задачи.
В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD с
основанием AB. При какой длине стороны AD площадь
трапеции будет наибольшей, если , где О - центр окружности?
Можно с уверенностью сказать, что большинство учащихся выберут теперь в качестве независимой переменной величину угла AOD, что позволит быстро, без всяких вспомогательных построений выразить площадь трапеции как функцию этого угла.
3. Задачи на экстремум, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в Вузы.
Задача №1.
Найти высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой 2R так, что основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса.
Решение.
Vц=;
Пусть r=x, x>0 - необходимое условие.
OA=R, SO=2R. AKM
?OAS.
,
,
x=0 или .
x=0 - не удовлетворяет условию (1).
Исследуем критическую точку на экстремум.
Определим знак производной V'(x) на
промежутках .
V'(x)<0 на промежутке
Итак, при переходе через т. производная V'(x) меняет знак
с "+" на "-" и, следовательно, т.
является точкой
максимума.
При объем
цилиндра наибольший. Если
, то
.
Ответ: .
Задача №2.
Сумма катетов прямоугольного треугольника 9 см. При вращении треугольника вокруг одного из катетов образуется конус максимального объема V. Найти Sбок. этого конуса.
Ответ: см2.
Задача №3.
Найти высоту конуса наименьшего объема,
описанного около полушара радиуса так, чтобы центр основания
совпадал с центром шара.
Ответ: 3.
Задача №4.
Правильная треугольная призма имеет объем 16 дм3. Найти длину стороны основания призмы с наименьшей полной поверхностью.
Ответ: 4.
Задача №5.
Периметр боковой грани правильной шестиугольной призмы равен 6 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, имеющей наибольший объем, если сторона основания не больше высоты призмы.
Ответ: 13,5 см2.
Тестовые задания
С1. Найдите наименьшее значение функции при условии
.
С1. Найдите наименьшее значение функции при условии
.
С1. Найдите решения неравенства , при которых функция
принимает
наибольшее значение.
С1. Найдите наименьшее значение функции при условии
.
С1. Найдите наименьшее значение функции при условии
.
С1. Найдите решения неравенства , при которых функция
принимает
наименьшее значение.
Ответы С1 1. 2. 3. - 3 4. 5.