Задачи на оптимизацию

Пономаренко Наталья Фёдоровна

1.О решении задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции.

В настоящее время в нашей стране большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности и качества во всех сферах производства. В этой связи особую значимость приобретает умение решать так называемые задачи на оптимизацию, которые возникают там, где необходимо выяснить как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т.п.

Учащиеся с интересом решают экстремальные задачи на уроках и на внеклассных занятиях. В 11 классе учащиеся знакомятся с методом решения задач на оптимизацию, основанном на применении производной. Формирование умения решать такие задачи - одна из самых важных целей изучения начал математического анализа в средней школе.

При решении задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции надо обратить внимание на следующее:

1). Иногда приходится вводить две переменные, одна из которых обязательно длина отрезка, другая - либо длина другого отрезка, либо величина угла.

2). Часто от выбора переменной зависит и сложность решения.

3). В качестве переменной, относительно которой составляется функция для исследования, не обязательно брать искомую величину, в противном случае это может привести к более сложному решению задачи.

4). Для облегчения исследования функции p, которая положительна при всех рассматриваемых значениях переменной, полезно знать, что промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума, точки, в которых функция принимает наибольшие и наименьшие значения на заданном промежутке, не изменятся, если функцию p заменить на функцию kpⁿ, или p+a, где k, a, n - числа, причем k>0, nЄR₊: у всех этих функций производная равна произведению производной функции p на положительное число.

Задача №1 (типовая)

В правильной четырехугольной призме сумма длин высоты и диагонали призмы равна 12. При каком угле наклона этой диагонали к плоскости основания призмы объем призмы будет наибольшим?

Решение:

Пусть BB₁=x, где x>0 - необходимое условие.

В₁D=12-x,

B₁BD: по теореме Пифагора

BD= ==;

V_призмы= BB₁=x=12(6-x)x

Рассмотрим непрерывную функцию p(x)= 6x-x² при x>0.

p'(x)=6-2x;

Найдем критические точки функции p(x).

p'(x)=0; 6-2x=0; x=3.

Исследуем критическую точку на экстремум.

При 0<x<3 p'(x)>0;

При x>3 p'(x)<0.

Значит, функция p, непрерывная в точке 3, возрастает при 0<x3 и убывает при x3.

Следовательно, при x=3 функция p и V_призмы=12p(x) будут иметь наибольшее значение.

Теперь найдем искомый угол a.

Так как BB₁=3; B₁D=9, то sin a =, a = arcsin.

Ответ: arcsin.

Задача №2.

В правильной пирамиде МАВСD МО - высота, МК - апофема пирамиды, МК=6. Найти длину МО, при которой объем пирамиды будет наибольшим.

Решение.

Пусть МО=x, где x>0 - необходимое условие.

ОК²=МК²- МО²=108-x²;

Vпир.= (2ОК)²·=(108-x²)x.

Рассмотрим непрерывную на R функцию p(x)= (108-x²)x=108-x² при x>0.

p'(x)=108-3x²=3(36-x²);

p'(x)=0; 3(36-x²)=0;

36-x2=0;

x=-6 или x=6.

x=-6 - не удовлетворяет условию x>0.

Исследуем критическую точку x=6 на экстремум.

При 0<x<6 p'(x)>0;

при x>6 p'(x)<0;

Значит, функция p, непрерывная в точке 6, возрастает при 0<x?6 и убывает при x?6, следовательно, имеет наибольшее значение в точке 6. Поэтому V_пир.= при x=6 имеет наибольшее значение.

Ответ: 6.

Замечание.

Некоторые, решая такие задачи, после того, как установили переменную, относительно которой будут составлять функцию, находят область изменения этой переменной. Так, в рассмотренной задаче, учитывая, что гипотенуза больше катета, записывают: 0<x<6. Тогда решение задачи выглядит так:

Рассмотрим (непрерывную на R) функцию p(x)= (108-x²)x на (0; 6).

p'(x)=3(36-x²);

p'(x)=0 при x=6.

Далее можно продолжить решение одним из двух способов:

1-й способ

При 0<x<6 p'(x)>0,

при 6<x<6 p'(x)<0.

Значит, функция p(x), непрерывная в точке 6, возрастает при 0<x 6 и убывает при 6x<6, следовательно, при x=6 функция p(x) и V_пир.= будут иметь наибольшее значение.

Ответ: 6.

2-й способ

Так как функция p(x) непрерывна на R, то сравним значения p(x) в точках 0, 6 и 6.

p(0)=0; p(6)=0

p(6)>0.

Следовательно, наибольшее значение функции p достигается во внутренней точке отрезка [0; 6], значит, в этой же точке принимает наибольшее значение функция p и на интервале (6; 6). Таким образом, при x=6 функция p, а значит и V_пир.= будут иметь наибольшее значение.

Ответ: 6.

Дополнение к пункту 4).

Если необходимо рассмотреть, например, такую функцию , то можно рассмотреть более простую: , т.е. x³ - 3x²>0.

А функцию , где x>0, можно заменить такой: , т.е. , где x>0.

Задача №3 (Задача №2 с дополнительным условием).

См. рисунок к задаче №2.

В правильной пирамиде MABCD МО - высота пирамиды, МК - апофема, МК+МО=6, МК[4,5]. Найдите длину МК, при которой площадь боковой поверхности пирамиды будет наименьшей.

Решение:

Пусть МК=x, тогда МО=6-x, где 4x5. DK=MO;

;

S_бок., где x>0.

Рассмотрим непрерывную функцию p(x)=x³-3x², при x>0.

p'(x)=3x²-6x,

p'(x)=0 при x=2.

Исследуем критическую точку x=2 на экстремум.

При x>2 p'(x)>0, значит, функция p(x) при 4x5 возрастает.

Следовательно, при x=4 функция p на отрезке [4,5], значит, и S_бок. имеют наименьшие значения.

Ответ: 4.

2. Поиск рационального решения задачи на экстремум.

При решении задачи на экстремум учащиеся нередко испытывают трудности в составлении аналитической записи функции, описывающей условие задачи. Причиной этому часто бывает нерациональный выбор независимой переменной. Ее желательно выбрать так, чтобы более коротким путем получить аналитическое выражение искомой функции и чтобы это выражение было по возможности более простым.

Однако, при удачном выборе аргумента функции удается сократить вычисления и упростить решение задачи.

Задача.

В окружность радиуса R вписана трапеция АВСD, основание АВ которой является диаметром окружности.

Какова должна быть длина боковой стороны трапеции, чтобы трапеция имела наибольшую площадь?

Решение.

S_тр.= , где DH - высота трапеции или по формуле: S_тр.=BH·DH, так как трапеция равнобочная и .

Первый способ.

В задаче требуется найти длину боковой стороны трапеции, при которой площадь трапеции будет наибольшей. Ее можно принять за независимую переменную, затем через нее и радиус окружности R выразить площадь трапеции.

Учащиеся обычно так и поступают. Пусть AD=x; ?ABD - прямоугольный, поэтому AD₂=AB·AH, откуда .По теореме Пифагора

; а так как , то .

По смыслу задачи 0<x<.

При трапеция вырождается в равнобедренный треугольник.

Рассмотрим функцию . Найдем производную p'(x). После очевидных сокращений получим: .

В промежутке между 0 и производная обращается в нуль лишь в точке x=R, меняя при этом знак с плюса на минус. Значит, при x=R p(x) имеет наибольшее значение. Таким образом, площадь трапеции будет наибольшей при AD=R. Легко заметить, что искомая трапеция имеет форму половины правильного шестиугольника. Ее площадь равна .

Второй способ.

Обозначим через x высоту DH трапеции. Из прямоугольного треугольника ODH (О - центр окружности) находим: , значит , и получим , где 0<x<R - простое по форме выражение для функции Ы. Однако вычисление производной в этом случае требует более сложных выкладок, чем при решении задачи первым способом.

Третий способ.

Пусть BH=x. Тогда AH=2R-x. Согласно свойству высоты прямоугольного треугольника ABD имеем:

и, следовательно,

, R<x<2R.

Производная функции находится проще, чем при решении задачи первым и вторым способом. Более того, при таком выборе независимой переменной задачу можно решить и без использования производной.

Заметим, что .

Первая часть равенства представляет собой произведение переменных, сумма которых постоянна и равна 6R. Следовательно, это произведение принимает наибольшее значение в случае их равенства, т.е. , откуда . При этом и AD=OD=R.

Итак, третий способ выбора независимой переменной предпочтительнее первых двух.

Однако, в качестве независимой переменной можно выбрать и величину угла BAD.

Четвертый способ.

Пусть . Тогда , , .

Далее находим: . S'=0 при , т.е. при . Остается сравнить значения функции Ы в критической точке со значениями на концах промежутка [45^o; 90^o].

Пятый способ.

Введем независимую переменную: . Площадь трапеции равна сумме площадей трех треугольников: AOD, BOC и COD. Следовательно, , 0^o<x<90^o.

Таким образом, задача легко сводится к нахождению наибольшего значения функции . Ее производная .

Критические точки получим, решив уравнение .

После разбора различных способов решения задачи учащимся можно предложить обобщение этой задачи.

В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD с основанием AB. При какой длине стороны AD площадь трапеции будет наибольшей, если , где О - центр окружности?

Можно с уверенностью сказать, что большинство учащихся выберут теперь в качестве независимой переменной величину угла AOD, что позволит быстро, без всяких вспомогательных построений выразить площадь трапеции как функцию этого угла.

3. Задачи на экстремум, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в Вузы.

Задача №1.

Найти высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой 2R так, что основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса.

Решение.

Vц=;

Пусть r=x, x>0 - необходимое условие.

OA=R, SO=2R. AKM ?OAS.

x=0 или .

x=0 - не удовлетворяет условию (1).

Исследуем критическую точку на экстремум.

Определим знак производной V'(x) на промежутках .

V'(x)<0 на промежутке

Итак, при переходе через т. производная V'(x) меняет знак с "+" на "-" и, следовательно, т. является точкой максимума.

При объем цилиндра наибольший. Если , то .

Ответ: .

Задача №2.

Сумма катетов прямоугольного треугольника 9 см. При вращении треугольника вокруг одного из катетов образуется конус максимального объема V. Найти S_бок. этого конуса.

Ответ: см².

Задача №3.

Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса так, чтобы центр основания совпадал с центром шара.

Ответ: 3.

Задача №4.

Правильная треугольная призма имеет объем 16 дм³. Найти длину стороны основания призмы с наименьшей полной поверхностью.

Ответ: 4.

Задача №5.

Периметр боковой грани правильной шестиугольной призмы равен 6 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, имеющей наибольший объем, если сторона основания не больше высоты призмы.

Ответ: 13,5 см².

Тестовые задания

С1. Найдите наименьшее значение функции при условии .