Место урока в теме: в календарно-тематическом планировании на изучение темы «Взаимное расположение графиков линейных функций» отводится три урока; данный урок по этой теме – первый.
Цели урока:
- установить зависимость взаимного расположения графиков функций y = kx + b от числа k;
- формировать умения строить гипотезу, делать вывод, моделировать экономическую задачу;
- развивать навык самостоятельной работы, самоконтроля и взаимоконтроля;
- осуществлять межпредметные связи.
Тип урока: изучение нового материала.
Метод обучения: проблемный, частично поисковый.
Оборудование урока: плакаты «Взаимное расположение графиков линейных функций», раздаточный материал в виде таблиц, листки самоконтроля, цветные мелки.
ХОД УРОКА
1. Оргмомент
Выяснить вопросы по домашней работе, собрать
тетради для проверки.
Объявить тему урока, дидактическую цель.
Записать задание на дом: п.15 (вопросы 4,5 стр. 64), №341 (а, в), дополнительно №381*.
2. Актуализация знаний
Повторить вопросы, которые необходимы для изучения нового материала, выполнив следующие задания.
а) Индивидуальная работа.
Для учащегося с хорошим уровнем знаний решить задачу у доски экономического характера:
Фирма производит наборы фломастеров, которые
она реализует по 30 рублей за один комплект. Для
производства каждого набора фирма сама закупает
комплектующие детали на 18 рублей. Кроме этого, за
аренду помещения фирма ежегодно платит 30000
рублей.
Считая, что других статей расходов фирма не
несет, определите минимальное количество
наборов, которое должна реализовать фирма, чтобы
не нести убытки?
б) Фронтальная работа с классом.
Написать диктант с последующей проверкой на обороте доски. Один учащийся пишет диктант на обороте доски.
Закончите предложение:
1) Линейной функцией называется функция,
которую можно задать формулой…
2) Графиком линейной функции является…
3) Если две различные прямые на плоскости имеют
общую точку, то они…
4) Если две различные прямые на плоскости не имеют
общих точек, то они…
5) Известно, что на рисунке <Рисунок 1>
только один график построен неверно. Запишите
формулу линейной функции, график, которой
построен неверно.
Взаимопроверка диктанта. Ученики обмениваются тетрадями с соседом по парте, заслушивают ответы учащегося у доски на вопросы, которые сформулированы по диктанту и выставляют в тетрадях оценки за диктант по количеству правильных ответов.
1) Какая функция называется линейной?
2) Что является графиком линейной функции?
3) Сформулировать теорему о числе точек
пересечения двух различных прямых на плоскости.
4) Какие прямые называются параллельными?
5) Что показывает на графике линейной функции
число b?
Рефлексия: Какой вопрос показался самым трудным?
Выставление оценок за диктант в листок самоконтроля.
Пример листка самоконтроля:
| Акимова Елена | Диктант | Часть 1 таблицы | Часть 2 таблицы | Оценка учителя |
| Самооценка | 5 | 4 | 5 | 5 |
в) Самостоятельная работа
Класс заполняет Часть 1 следующей таблицы:
| Часть 1 | Часть 2 | |||||
| № | Функция | Является ли линейной | k |
в |
№335. Графики функций | |
| пересекаются | параллельны | |||||
| 1 | y = 2x – 3 |
|
||||
| 2 | y = x2 – 3 |
– |
– |
|||
| 3 | y = 2(x + 2,5) |
да |
|
|||
| 4 | да |
– 1,5 | 4 | |||
| 5 | 3 |
|
||||
В это время на обороте доски один ученик выполняет эту же работу, а другой решает уравнения.
1) 2x – 3 = – 1,5x + 4; 2) 2x – 3 = 2x + 5; 3) 4(2x – 3) – 8x = 12;
Ответ: x = 2. Ответ: корней нет Ответ: x – любое число
По окончании работы проверяется таблица, выставляется оценка по количеству правильных ответов в листок самоконтроля. Заслушивается ученик с экономической задачей.
Решение экономической задачи:
Построим математическую модель. Пусть х –
наименьшее количество наборов, которое должна
реализовать фирма, чтобы не нести убытки, тогда
у1 = 30х составляет выручка фирмы, у2
= 18х + 30000 общие издержки фирмы. Сделаем
схематический рисунок <Рисунок 2>
графиков этих функций и укажем абсциссу точки их
пересечения, решив уравнение: 30х = 18х
+ 30000, х = 2500. Тогда, если х < 2500, то у1
< у2, и фирма несет убытки, если х
> 2500, то y1 > y2, и фирма
имеет доход. Значит 2500 – минимальное количество
наборов, которое должна реализовать фирма, чтобы
не нести убытки.
Ответ: 2500 наборов.
Дополнительный вопрос: Что означает абсцисса точки пересечения графиков функций?
Заслушивается ученик, решивший уравнения.
Дополнительный вопрос: Сколько корней может иметь линейное уравнение с одной переменной?
3. Формирование новых знаний
а) Работа в парах в тетрадях и у доски:
Постройте графики функций <Рисунок 3> и <Рисунок 4>. Сравните рисунки и выдвиньте гипотезу о взаимном расположении графиков линейных функций.
Вариант 1. у1 = 2х – 3, у2
= 2х + 5.
Вариант 2. у1 = 2х – 3, у3
= – 1,5х + 4.
б) Обсуждение выдвинутой гипотезы:
Графики линейных функций параллельны, если
коэффициенты при х равны и графики пересекаются,
если коэффициенты различны.
Как можно проверить нашу гипотезу? Решить
соответствующие уравнения (они решены на
предыдущем этапе).
Как доказать наше предположение? Решить
уравнение в общем виде.
Доказательство: Пусть у1 = k1х
+ b1 и у2 = k2х + b2
– две различные линейные функции.
Решим уравнение у1 = у2, так
как вопрос пересекаются прямые или нет сводится
к ответу: имеют прямые общую точку или нет.
k1х + b1 = k2х + b2,
k1х – k2х = b2 – b1,
(k1 – k2)x = b2 – b1.
в) Делаем вывод:
Если k1 =/= k2, то уравнение
имеет единственный корень. В этом случае графики
пересекаются.
Если k1 = k2 и b1 =/= b2,
то уравнение не имеет корней. В этом случае
графики параллельны.
Вопрос: Чем является корень уравнения
для графиков функций?
Заметим, что корень уравнения является абсциссой
точки пересечения графиков функций.
4. Релаксация
Откиньтесь на спинку стула, ноги поставьте под прямым углом, чтобы стопы ног полностью опирались на пол. Вдохните и поднимите руки, показывая, как располагаются графики линейных функций, если коэффициенты равны. С выдохом опустите руки. Повторите упражнение, показывая, как располагаются графики линейных функций, если коэффициенты различны.
5. Формирование новых умений и навыков
а) Работа с учебником
Прочитать на стр. 61 вывод о взаимном расположении графиков линейных функций в зависимости от числа k и сравнить его с выдвинутой гипотезой.
Вопрос: Почему в учебнике ничего не говорится о случае, когда уравнение имеет бесконечное число корней?
Ответ: В этом случае прямые совпадают, а мы рассматриваем различные прямые.
б) Самостоятельная работа на закрепление
Заполнить графы таблицы Части 2 «Графики пересекаются» и «Графики параллельны» и записать ответы в эти графы к № 335 учебника.
Учащиеся, выполнившие эту работу раньше других, готовят к разбору домашнее задание.
Проверка по заранее заготовленной записи на доске. Выставление оценок в листок самоконтроля.
в) Инструктаж по домашнему заданию
6. Заключительный этап
Ответить на вопросы:
– Что нового вы узнали на уроке?
– Как располагаются графики линейных функций,
если коэффициенты равны; различны?
Объявление оценок за работу у доски. Собираются таблицы для проверки и листки самоконтроля для выставления оценок.
Примечание. Математика в данном классе изучается по учебникам:
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 кл.: Учеб. для
общеобразоват. учеб. завед. – 5-е изд., стереотип.
– М.: Дрофа, 2001.
Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: учеб. для 7 кл.
общеобразоват. учреждений / Под ред. С.А.
Теляковского. – 9-е изд. – М.: Просвещение,
2000.