Занятие спецкурса в 9-м классе по теме "Определение вероятности случайного события"

Разделы: Математика

Цели занятия:

  • обобщение понятия вероятности случайного события;
  • развитие навыков учащихся в вычислении статистической, классической, геометрической вероятности;
  • формирование вероятностного мышления;
  • развитие навыков самостоятельной работы с дополнительной литературой по математике, умений в составлении презентаций своих выступлений, развитие математической речи;
  • воспитание ответственного отношения к учебному труду, самоконтроля, коммуникативности;
  • привитие познавательного интереса.

Методы обучения: информационно-сообщающий, частично-поисковый, проблемный и практический.

Тип занятия: комбинированный.

Место урока в теме: 5-ый урок по теме «Вероятность и статистика».

Оборудование: компьютер и мультимедиа-проектор, магнитная доска, таблички с формулами, слайды с задачами, раздаточный дидактический материал, презентации учащихся, листы самоконтроля.

Структура занятия:

  1. Организационный момент: Объявление темы  занятия, постановка его целей, определение хода занятия.
  2. Актуализация знаний учащихся: Разгадывание кроссворда с ключевым словом «Вероятность».
  3. Проверка домашнего задания: Заслушивание презентаций, подготовленных учащимися по группам. Ответы на дополнительные вопросы оппонентов и учителя.
  4. Релаксация.
  5. Формирование навыков учащихся: Решаются задачи, предложенные учащимися другим группам.
  6. Обсуждение полученных результатов. Самооценка и оценка товарищей по группе.
  7. Самостоятельная работа: Решение задач, предложенных учителем.
  8. Итог занятия.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Оргмомент (1 мин.)

Учащиеся рассаживаются за тремя «круглыми» столами по группам. Группы  сформированы на предыдущем занятии по выбору домашнего задания. Объявляется ход занятия и дидактическая цель: обобщим понятие вероятности случайного события, закрепим навыки в решении задач на вычисление статистической, классической и геометрической вероятности, повторим формулы комбинаторики.

2. Актуализация знаний (5 мин.)

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным».

Б. Паскаль

Предлагаю разгадать кроссворд и определить ключевое слово.

По вертикали:

1. Его координатами можно изображать комплексное число.
2. Комбинация из n элементов по k в определенном порядке.
3. Так называют произведение n последовательных натуральных чисел и обозначают n!
4. Раздел математики, занимающийся составлением и подсчетом комбинаций.
5. Ее желает получить каждый ученик.
6. Комбинация из n элементов по k без учета их порядка.
7. Главные испытания выпускников.
8. Другое название степени двучлена.
9. Так называется число вида a + bі, где a и b – действительные числа, а і2 = - 1.
10. Царица всех наук.
11. Его именем назван треугольник из биномиальных коэффициентов.

По горизонтали:

Найди ключевое слово.

Ответ:

3. Проверка домашнего задания (25 мин.)

Домашнее задание состояло в следующем.
На первых занятиях учащиеся познакомились с  понятием случайного события, его элементарного исхода и частоты. На этом этапе провожу с учащимися беседу с целью мотивации выбранной темы. Итогом беседы является постановка трех проблемных вопросов.
Теория вероятностей имеет дело с экспериментами, исходы которых непредсказуемы: они зависят от случая. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное с экспериментом, нужно подсчитать, как часто оно происходит. Для этого используют две важные величины: абсолютную частоту, которая показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие, и относительную частоту, которая показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.
А что происходит с относительной частотой после завершения всей серии случайных экспериментов?
Формулируем первый проблемный вопрос: «Куда стремятся частоты?».
Ответив на него, мы дадим статистическое определение вероятности иначе экспериментальное или частотное.
Но такое определение, во-первых, дает приближенное значение вероятности, а во-вторых, опирается на длинную серию испытаний, которую далеко не всегда можно осуществить, как, например, в случае экспериментального вычисления вероятности выигрыша в лотерею.
Возникает при этом второй проблемный  вопрос: нет ли другого правила подсчета вероятности  случайного события без выполнения длинной серии испытаний? Если да, то, при каких условиях мы можем пользоваться таким правилом?
Так мы подойдем к классическому определению вероятности случайного события.
Назовем эту тему «Всегда ли нужно бросать монету?»
Оба эти способа вычисления вероятности для конечного числа исходов, а как быть, если число всех возможных исходов бесконечно много? Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным  выбором точки на прямой,  плоскости или в пространстве. Например, выберем на географической карте,  не глядя случайную точку. Какова вероятность, что эта точка окажется в России? Имеем дело с геометрической вероятностью.
Третий проблемный вопрос под названием «Точка тоже бывает случайной»   позволит нам дать геометрическое определение вероятности.
После формулировки проблемных вопросов определяются направления дальнейшей работы.

Ставятся следующие задачи:

  1. Выполните длинную серию опытов с кубиком и после каждой очередной серии относительную частоту шести исходов занесите в таблицу Excel. Постройте с помощью компьютера полигоны частот и сделайте вывод. Дайте статистическое (частотное) определение вероятности.
  2. Рассмотрите случайный эксперимент с равновозможными исходами n.

Например:

а) бросаем монету: n = 2;
б) бросаем кубик: n = 6;
в) вытягиваем карту из колоды: n = 36.

Пусть ровно m из этих  n исходов приводят к наступлению некоторого события A. Они называются благоприятными для события А.

Например:  а) выпадет герб: m = 1;   б) на кубике выпадет четное число: m = 3; в) из колоды вытянут туза: m = 4.

Дайте классическое определение вероятности Р(А), приведите формулу Лапласа и вычислите вероятность для всех трех экспериментов. Приведите свои примеры задач, в которых используется эта формула. Укажите условие применения формулы Лапласа. Предложите общую схему решения задач на классическую вероятность.

  1. Рассмотрите опыт с бесконечным числом исходов, например, со случайным выбором точки в некоторой области.

Начните с задачи: В квадрат со стороной 4см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1см? Дайте геометрическое определение вероятности.  Приведите решение своих задач на геометрическую вероятность.
Задачи сформулированы и теперь предлагается учащимся самим сделать выбор темы, которую они будут раскрывать. Таким образом, реализуется элемент личностно-ориентированного обучения. Надо отметить, что вторая тема более доступна для восприятия, поэтому во вторую группу вошли учащиеся с меньшим уровнем подготовленности. 
После выбора по интересу учащиеся разбились на три рабочие группы, и они получили памятки для выполнения задания.

Заслушиваются ответы докладчиков в форме презентаций от каждой группы.

Пример ответа группы 1

Учащиеся предварительно выполнили лабораторную работу, проведя серию экспериментов по подбрасыванию кубика, фиксируя частоты после каждой сотни опытов. Результаты занесли в таблицу.

Протокол экспериментального исследования частоты выпадения различных очков игрального кубика.

Количество
испытаний

Частота  исходов
Выпало
число 1		 Выпало
число 2		 Выпало
число 3		 Выпало
число 4		 Выпало
число 5		 Выпало
число 6
100 0,16 0,16 0,2 0,15 0,19 0,14
200 0,16 0,135 0,185 0,16 0,18 0,18
300 0,167 0,16 0,163 0,154 0,183 0,173
400 0,168 0,153 0,175 0,163 0,183 0,158
500 0,164 0,146 0,182 0,16 0,186 0,162
600 0,152 0,157 0,183 0,153 0,188 0,167
700 0,153 0,164 0,18 0,151 0,186 0,166
800 0,159 0,164 0,181 0,155 0,18 0,161
900 0,156 0,164 0,183 0,166 0,171 0,16
1000 0,158 0,162 0,182 0,165 0,168 0,165

Относительная частота показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события. 

Построили графики зависимости (полигоны) каждой частоты от числа экспериментов.

Например, так выглядит полигон второй частоты:

Учащиеся  делают  вывод:

С увеличением числа опытов частота события А, например: «На кубике выпадет число 2» постепенно стабилизируется и приближается к числу, которое будет являться его вероятностью.
Р (А) ~ W (А). В данном примере 1/6 ~ 0,167.
За вероятность случайного события можно приближённо принять его относительную частоту, полученную в длинной серии экспериментов.

Дополнительные вопросы группе 1:

1) Каким числом выражается относительная частота?
Ответ:  W (А)  .  [0;1].
2) Покупатель приобрел две батарейки, одна из которых оказалась неисправной. Можно ли, исходя из этого, с уверенностью утверждать, что  вероятность купить неисправную батарейку равна  0,5?
Ответ: Нет, так как вероятность случайного события приближенно равна его частоте при проведении длинной серии случайных экспериментов, а покупка двух батареек не является большим числом экспериментов.

Дополнительные вопросы группе 2:

1) Пусть вам требуется оценить вероятность каждого из возможных исходов в опытах по подбрасыванию: а) монеты; б) кнопки; в) кубика. В каких из этих ситуаций вы готовы дать ответ, не проводя испытаний?
Ответ: В случаях а) и в), так как при бросании монеты или кубика все исходы равновозможные, чего нельзя сказать при бросании кнопки.
2) Вы бросаете два кубика. Какова вероятность, что выпадет сумма очков, равная двум?
Ответ: 1/36.

Дополнительные вопросы группе 3:

1) Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень и попадает. Какова вероятность того, что он попадет а) в «тройку»; б) в «двойку»; в) в «единицу»?

Ответ: а) 1/16;   б) 3/8;   в) 9/16.

2) Фишка наугад бросается в квадрат, изображенный на рисунке. Какова вероятность того, что фишка попадет а) в черный квадрат; б) в серую рамку?

Ответ: а) 1/9;  б) 1/3.

4. Релаксация (5 мин.)

Предлагаю учащимся встать, выйти из-за стола и обменяться рукопожатиями. Условие – каждый пожмет руку каждому товарищу.
А теперь сосчитайте, сколько рукопожатий сделано в вашей группе?

Ответ: 15.

Учащиеся указывают  два способа подсчета этой комбинаторной задачи: по формуле числа сочетаний и непосредственным  подсчетом числа возможных вариаций, заметив закономерность.

1) В группе из пяти человек сделано C52 = 10 рукопожатий, а в группе из шести человек: C62 = 15 рукопожатий.
2) В группе из пяти человек сделано 4 + 3 + 2 + 1 = 10, а из шести – 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 рукопожатий.

5.  Формирование навыков учащихся (12 мин.): Решаются задачи, предложенные учащимися других групп. Каждая группа приготовила задачу по своей теме для двух других групп учащихся. Решаются задачи на статистическое, классическое и геометрическое определения вероятности.

6. Обсуждение полученных результатов. Самооценка и оценка товарищей по группе (2 мин.)

Благодарю детей за хорошо выполненную домашнюю работу, замечательные содержательные ответы. Отмечаю  руководителей групп.
Учащиеся заполняют листы самоконтроля, выставляя себе оценку за выполнение домашнего задания и за ответы на вопросы оппонентов, учитывая роль каждого в подготовке презентации.

Пример листа самоконтроля:

Фамилия, имя Самооценка Оценка группы Средняя оценка
Важенин Виталий 4 5 5

7. Самостоятельная работа в группах (10 мин.)

«…Все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано».

Н. И. Лобачевский

Задачи для самостоятельного решения: (Приложение 1)

 8. Подведение итога занятия

Учащиеся в своей работе могут использовать:

Учебники и учебные пособия для общеобразовательной школы

  1. Математика. Учебник для 5-6 классов общеобразовательных учреждений / Под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 7-9 классов общеобразоват. учреждений / Под ред. Г.В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 2004.
  3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. Пособие для общеобразоват. учеб. заведений. – М.: Дрофа, 2002.
  4. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. – 7-9 классы /Авт.-сост. В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2005.
  5. Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и кл. с углубл. изуч. математики / Под ред. Н. Я. Виленкина. – 2-е изд. – М.: Просвещение,1998.

Электронные источники информации