Урок алгебры в 9-м классе с элементами проблемного обучения по теме "Сумма n первых членов арифметической прогрессии"

Разделы: Математика

Цель: вывести формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, применять формулу для решения задач.

Задачи:

  • Закрепить знания по темам: «понятие последовательности», «определение арифметической прогрессии», «формула n-ого члена арифметической прогрессии».
  • Закрепить навык применения формулы n-ого члена арифметической прогрессии.
  • Вывести формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.
  • Развивать инициативу, умение принимать решения, не останавливаться на достигнутом.
  • Развивать монологическую речь учащихся.
  • Прививать навыки делового общения.
  • Формировать умение анализировать материал и делать выводы.
  • Воспитывать: интерес к предмету, уверенность в своих способностях в учёбе.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Пропедевтика: устная работа, решение задачи по теме «формула n-ого члена арифметической прогрессии»;
  3. Постановка проблемы, определение путей ее решения.
  4. Установка невозможности нахождения n первых членов арифметической прогрессии «в лоб».
  5. Предложение решить вспомогательную задачу.
  6. Применение способа решения задачи для решения поставленной проблемы.
  7. Доказательство теоремы.
  8. Решение заданий на закрепление изученной теоремы.
  9. Подведение итогов урока (рефлексия), задание на дом.

ХОД УРОКА

1. Приветствие

Объявление темы урока, цели урока.

2. Устная работа

1) Дать определение числовой последовательности.

2) Дать определение арифметической прогрессии.

3)Является ли последовательность арифметической последовательностью. Ответ обосновать.

а) –2; –4; –6; –8; –10; …
б) –27; –17; –7; 17; 27; …

4) Вычислите недостающий член арифметической прогрессии.

. . . 42; …; 48; . . .

Каким свойством вы пользовались для решения задачи?

5) Назовите 2 следующих члена арифметической прогрессии. Приведите план решения.

4; 8; 12; ...

3. Письменная работа на листочках

1) Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии, если известно, что её первый член 4,5, а разность равна –3. Какой формулой вы пользовались для решения задачи?

Провести разбор решения задачи.
Самооценка. Решали самостоятельно и получили верный ответ – 43,5 – 3 балла. Воспользовались образцом решения с данной формулой и получили верный ответ – 2 балла. Решали самостоятельно, но допустили вычислительную ошибку – 1 балл. Воспользовались образцом решения с данной формулой и допустили вычислительную ошибку – 0 баллов.
Выставить набранные баллы на полях.

2) Курс процедур начинают с 15 минут в первый день и увеличивают длительность процедуры ежедневно на 10 минут. Сколько дней следует принимать процедуры в указанном режиме, что бы достичь их максимальной продолжительности в 1 час 45 минут?
Сдать листочки. Учитель проведет проверку дома. (Ответ: 10 процедур) Разбор задачи проведет успешно справившийся ученик во время устного счёта на следующем уроке.
Задание для учеников на бумажном носителе.

1) Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии, если известно, что её первый член 4,5, а разность равна –3. Какой формулой вы пользовались для решения задачи?
Самооценка. Решали самостоятельно и получили верный ответ – 3 балла. Воспользовались образцом решения с данной формулой и получили верный ответ – 1 балл. Решали самостоятельно, но допустили вычислительную ошибку – 2 балла.
Воспользовались образцом решения с данной формулой и допустили вычислительную ошибку – 0 баллов.
Выставить набранные баллы на полях.
2) Курс процедур начинают с 15 минут в первый день и увеличивают длительность процедуры ежедневно на 10 минут. Сколько дней следует принимать процедуры в указанном режиме, что бы достичь их максимальной продолжительности в 1 час 45 минут?

4. Определение проблемы и путей ее решения

Как можно выяснить, чему равна сумма n первых членов арифметической прогрессии?
Предположим, что нас просят найти сумму семнадцати первых членов прогрессии, предложенных в задаче 1).

Предполагаемые ответы:

1) найти каждый из 17-и членов и их сложить (негоден, т.к. может оказаться необходимо искать сумму 1000000 членов, что сделать аналогичным способом практически невозможно);
2) попробовать вывести формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии.

5. Выдвижение гипотезы

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в III веке). Мы попробуем на этом уроке тоже вывести искомую формулу и доказать её. Что бы вам было легче справиться с поставленной задачей, я расскажу вам историю о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777–1855), который в раннем детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту. Он сообразил, что суммы 1+100, 2+99, 3+98 и т.д. равны. Он умножил 101 на 50, т.е. результат сложения пар чисел на их количество и получил ответ. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

Предлагаю решить эту же задачу немного иначе. Учитель просит учеников обратиться к информационной части листа к уроку.

1. Задача, успешно решённая маленьким Гауссом.

Сложить все натуральные числа от 1 до 100.

Решение. 1, 2, 3, 4, . . ., 96, 97, 98, 99, 100. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, ... 101 х 50 = 5050

2. Другой способ оформления решения той же задачи.

Учителю следует поинтересоваться, какая величина появилась в решении задачи без всякого обоснования? Число 50. Чтобы избежать этого необоснованного появления учитель предлагает оформить решение таким образом:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . ., 95, 96, 97, 98, 99, 100.
100, 99, 98, 97, 96, 95, . . ., 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Сложим попарно числа стоящие в записи одно под другим. Каждая сумма равна 101. Таких сумм ровно 100. 101 х 100 = 10100. Учитывая, что по ходу решения мы складывали все натуральные числа от 1 до 100 дважды, необходимо разделить полученную величину на 2.

3. Поиск формулы для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

а1, а2, а3, а4, . . а.n – 2, аn – 1, аn. Напоминаю: а2 = а1 + d, а3 = а2 + 2d, аn – 1 = аn – d, аn – 2 = аn – 2d

Учитель просит вывести формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии на листе к уроку. В случае затруднения можно подсказать, что можно пользоваться принципом второго способа оформления решения задачи.

6. Доказательство теоремы

2Sn = Sn + Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + аn – 2 + an – 1 + an + an + an – 1 + аn – 2 + . . .+ a3 + a2 + a1 = a1 + ( a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (аn – 2d) + (an – d) + an + an + (an – d) + (аn– 2d) + ... + (a1 + d) + (a1 + d) + a1 = (a1 + an) х n, значит

Sn = ( (a1 + an) х n ) / 2

Занести полученную формулу в имеющуюся с прошлых уроков таблицу.

 

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия
1) определение Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получен сложением предыдущего с одним и тем же числом, отличным от нуля.  
2) формула n первых членов аn = а1 + (n – 1) х d  
3) формула суммы n первых членов Sn = ((а1 + аn)/2) х n  
4) свойства аn = (аn – 1 – аn + 1)/2  

7. Решение заданий на закрепление изученного материала

1) Сколько бревен находится в одной кладке, если в её основании 16 брёвен? Необходимо вспомнить самый удобный способ хранения предметов цилиндрической формы. (136 брёвен, ((16 + 1)/2) х 16 = 136)

2) Часы с кукушкой настроены так, что кукушка кукует по 1 разу каждые полчаса и каждый час столько раз сколько времени показывают часы от 1 до 12 часов. Сколько раз прокукует кукушка за сутки? (180 раз; ((1 + 12)/2) х 12 = 78; 24 + 2 х 78 = 180)

3) (при резерве времени) Свободно падающее тело в первую секунду пролетает 4 метра, а в каждую следующую секунду на 9,8 метра больше. Найти глубину шахты, если тело достигло дна шахту через 5 секунд после начала падения.

Учащимся предложить задания на бумажном носителе.

1) Сколько бревен находится в одной кладке, если в её основании 16 брёвен? Необходимо вспомнить самый удобный способ хранения предметов цилиндрической формы.

2) Часы с кукушкой настроены так, что кукушка кукует по 1 разу каждые полчаса и каждый час столько раз сколько времени показывают часы от 1 до 12 часов. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?

3) Свободно падающее тело в первую секунду пролетает 4 метра, а в каждую следующую секунду на 9,8 метра больше. Найти глубину шахты, если тело достигло дна шахту через 5 секунд после начала падения.

8. Подведение итогов урока. Задание на дом

Предложить учащимся ответить на вопросы.

1) Какую новую информацию вы получили на сегодняшнем уроке?
2) Это только наше предположение или доказанный факт?
3) Итак, кто знает формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии?

Задание на дом:

1) выучить формулировку теоремы, формулу и доказательство теоремы;
2) разноуровневые индивидуальные задания трёх уровней сложности на бумажном носителе.

Учащимся предлагается решить задачи, встречающиеся на вступительных экзаменах в вузы, централизованном тестировании выпускников, ЕГЭ.

  • 1 вариант: ученики со средней математической подготовкой, набравшие в проверочной работе 2 балла.
  • 2 вариант: ученики со слабой математической подготовкой, набравшие в проверочной работе 0 или 1 балл.
  • 3 вариант: ученики с высоким уровнем математической подготовки выполняют задания повышенного уровня сложности, набравшие 3 балла.

Такая форма задания на дом позволяет заботиться о психическом здоровье учащихся, не выделяя конкретно сильных и слабых учеников. Учитель называет ученику вариант, ориентируясь по самооценке учащихся на сданных листках.

Задания для учащихся первого варианта

а) В арифметической прогрессии (аn) известно, что а1 = 2, а11 = – 5. Найти разность арифметической прогрессии.
б) Является ли число 22,5 членом арифметической прогрессии (аn): 6,8; 8; ..?
в) Между числами 64 и 46 вставьте пять чисел, чтобы последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.
г) Найдите сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 24 и удовлетворяет условию – 313 < К < 385. (Задание из централизованного тестирования).

Задание для учеников второго варианта

а) В арифметической прогрессии (аn) известно, что а1 = 3, а2 = 7. Найти разность арифметической прогрессии и десятый член.
б) В арифметической прогрессии (аn): 2; 5; … Найти сумму девяти первых членов.
в) Является ли число 15 членом арифметической прогрессии, где а1 = 2, а2 = 4.
г) вставьте недостающие третий и четвёртый члены арифметической прогрессии 3; 7; . . .; 19; 23.

Задание для учеников третьего варианта

а) В арифметической прогрессии сумма первых трёх членов равно 30, разность шестого и четвёртого равно – 4, а n-ный член равен –10. Найдите n. (Задание из централизованного тестирования).
б) Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равно 111. Второе число больше первого в 5 раз. Найти эти числа. (Задание из централизованного тестирования).
в) Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно 7 и не превосходит 353. (Задание из централизованного тестирования).
г) В арифметической прогрессии (аn) известно, что шестой член прогрессии больше, чем третий в 1,5 раза, а сумма первых шести членов равна 156. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии.

– Спасибо за урок!

Приложение