Вступление
Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё
творчество стало достоянием всего человечества.
До сих пор школьники всех стран изучают
тригонометрию и логарифмы в том виде, какой
придал им Эйлер. Студенты проходят высшую
математику по руководствам, первыми образцами
которых явились классические монографии Эйлера.
<Рисунок 1>.
Наш сегодняшний урок посвящен этому великому
человеку. Сначала я хочу предоставить слово Н. П.
Долбилину, доценту физико-математических наук,
ведущему научному сотруднику Математического
института РАН (показывается фрагмент
выступления Н. П. Долбилина на VI Московском
педагогическом марафоне учебных предметов время
1.15 – 2.40).
Имя Эйлера мы вспоминаем при изучении
логарифмов на первом курсе. Именно в честь
великого Леонарда Эйлера по первой букве его
фамилии и названо число е. Именно он ввёл
обозначение е для основания натуральных
логарифмов. <Рисунок 2>. Леонард
Эйлер внёс много нового в разделы математики
изучающие тригонометрию, логарифмы,
многогранники, комплексные числа, графы. Он ввёл
много обозначений, которыми мы пользуемся в
настоящее время: 1734 – обозначение функции f(x),
1736 – обозначение основания натурального
логарифма е и отношение длины окружности к
диаметру круга 
,
1748 – обозначение тригонометрических функций sinx
и cosx, 1753 – обозначение тригонометрической
функции tgx, 1755 – знак суммы 
, 1777 – обозначение мнимой единицы
i. <Рисунок 3>.
Формула Эйлера
Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В – Р + Г = ?. <Рисунок 4>.
Задание 1
Сейчас перед вами появятся изображения
многогранников: треугольной призмы,
параллелепипеда, треугольной пирамиды,
усечённой пятиугольной пирамиды, правильный
октаэдр, правильный додекаэдр. Ваша задача –
посчитать число вершин, рёбер и граней у этих
многогранников и вычислить для каждого из них В
– Р + Г = ?. За каждый правильный ответ команда
получает по 1 баллу. На выполнение этой задачи 10
минут.
На экране появляются изображения
многогранников, а затем после того, как команды
передадут свои решения жюри ответы: <Рисунок
5>, <Рисунок 6>, <Рисунок
7>.
Эту закономерность Леонард Эйлер обнаружил в 1752
году, а позднее доказал её.
Детство Эйлера. Базельский период его жизни.
Леонард Эйлер родился 4 апреля 1707 года в семье
небогатого протестанского священника Пауля
Эйлера и Маргариты Брукер в швейцарском городе
Базеле на живописном берегу Рейна. В то время
Базель являлся центром образования и культуры
европейского масштаба. <Рисунок 8>.
Леонарду было около года, когда семья переехала в
местечко Рихен, недалеко от Базеля, куда отец
Леонардо был переведён пастором.
Первоначальное образование Леонард получил от
отца. Пастор готовил своего сына для духовной
карьеры, но учил его так же и математике, в
качестве развлечения и развития логического
мышления. После домашнего обучения Леонард был
отправлен в базельскую латинскую гимназию.
В 1720 году 13-летний Леонард Эйлер стал студентом
факультета искусств Базельского университета.
Став студентом, он легко усваивал учебные
предметы, отдавая предпочтение математике. В эти
годы он подружился с семьей Бернулли. Профессор
И. Бернулли заметил в молодом человеке талант и
стал индивидуально заниматься с Леонардом.
В 1724 году 17-летний Леонард Эйлер произнёс
по-латыни великолепную речь о сравнении
философских воззрений Декарта и Ньютона и был
удостоен степени магистра (что теперь
соответствует степени доктора философии). В
последующие два года юный Эйлер написал
несколько научных работ, получивших
положительные отзывы. В 1725 году он выиграл
конкурс Парижской Академии наук за решение
проблемы выбора наилучшего места на корабле для
установки мачты, интересно, что к этому времени
он ни разу не видел, ни моря, ни морских судов.
Многочлен Эйлера
Многочлен Эйлера – это многочлен х2 – х + 41. Леонард Эйлер вычислил его значение при х от 1 до 40 и заметил закономерность.
Задание 2
Вам необходимо вычислить значение этого многочлена при х от 1 до 20. За каждый правильный ответ команда получает 1 балл. Если вы сумеете отгадать закономерность, то получите ещё 10 баллов. <Рисунок 9>. На выполнение этой задачи 10 минут.
Математиков всегда интересовали простые числа. Ещё Евклид утверждал, что в натуральном ряду простых чисел бесконечно много. В 1750 году Леонард Эйлер нашёл простое число 231 – 1. В результате вычислений значений этого многочлена при х от 1 до 40 получаются только простые числа. <Рисунок 10>
Первый Петербургский период жизни
В 1726 году императрица Екатерина I приглашает по рекомендации братьев Бернулли молодого Леонарда Эйлера в Российскую Академию наук. По приезду в Российскую столицу Эйлер вошёл в группу математиков и физиков, занимающуюся вопросами прикладной математики. Перед учёными была так же поставлена задача создания руководств для первоначального обучения наукам.
В один из последних дней 1733 года 26-летний Леонард Эйлер женился на Екатерине Гзель. Свадьба, Новый год – два праздника сразу! Вся академия сердечно поздравляла молодожёнов. Оказывается, великий математик может не только вычислять и анализировать, он не чужд и мирской жизни. У них было 13 детей, но только пять пережили детский возраст.
Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление по расчёту траектории кометы. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за три дня – и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Учёный отнёсся с несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой», – философски заметил он. <Рисунок 11>.
В 1736 году Эйлер ввёл в употребление хорошо
известное нам обозначение . Он вычислил с точностью до 153 десятичных
знаков. Впервые это обозначение встретилось у
английского математика Джонсона в 1706 году.
Рассказывают, что однажды Леонард Эйлер во
время бессонницы вычислил шестую степень первых
100 чисел, а результаты повторил через много дней.
В другой раз Эйлер, испытывая полученный им ряд,
вычислил в течение часа первые 20 знаков числа .
Круги Эйлера
В одной из работ Эйлера говорится о кругах, которые «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эти круги обычно называют «кругами Эйлера». Давайте вместе решим следующую задачу.
Задача: В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека и по физике – 11 человек. Семь человек имеют «тройки» и по математике и по физике, из них пятеро имеют тройки и по русскому языку. Сколько человек учатся без «троек». Сколько человек имеют «тройки» по двум из трёх предметов. Рассмотрим решение с помощью следующего слайда <Рисунок 12>.
Задание 3
Пересчитайте математиков. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой? На выполнение этой задачи 5 минут. Максимальная оценка – 5 баллов.
На экране появляется условие задачи, а затем рассматривается её решение <Рисунок 13>.
Мосты в Кенигсберге
Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года: "Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство... После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может".
Если число островов, соединённых мостами
больше двух, то для решения задачи необходимо
посчитать, сколько мостов ведут на каждый остров.
Если на каждый остров ведёт чётное число мостов,
то обход возможен и начать его можно с любого
острова. Если на два острова ведёт нечётное число
мостов, то обход возможен и его следует начать с
любого острова на который ведёт нечётное число
мостов. Если имеется более двух областей, в
которое ведёт нечётное число мостов, то
указанный переход не возможен.
В нашей задаче всего островов 4: A, B, C, D. Число
мостов, ведущих к этим участкам соответственно: 5,
3, 3, 3, значит обход невозможен. <Рисунок
14>.
Задание 4
Выясните, можно ли обойти все мосты, побывав на каждом из них только по одному разу в следующих случаях. <Рисунок 15>, <Рисунок 16>. На выполнение каждой задачи 1 минута. За каждую задачу – 2 балла.
Теория графов
Теория графов – наука сравнительно молодая. Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году в публикациях Петербургской Академии Наук и начиналась с рассмотрения задачи о кенигсбергских мостах. Графы придали условиям наглядность, упростили решение и выявили сходство задач. Сейчас почти в любой отрасли науки и техники встречаешься с графами: в электротехнике при построении электрических схем, в химии – при изучении молекул и их цепочек, в экономике – при решении задач выбора оптимального пути для потоков грузового транспорта. Граф – это фигура, состоящая из точек и линий.
Решим следующую задачу:
В школьном драматическом кружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Всё началось с Ляпкина-Тяпкина.
– Ляпкиным-Тяпкиным буду я! Решительно заявил
Дима. С раннего детства я мечтал воплотить этот
образ на сцене.
– Ну хорошо, согласен уступить эту роль, если мне
дадут сыграть Хлестакова, проявил великодушие
Гена.
– … А мне – Осипа, – не уступил ему в великодушии
Дима.
– Хочу быть Земляникой или Городничим, – сказал
Вова.
– Нет, Городничим буду я, – хором закричали Алик
и Боря. – или Хлестаковым, добавили они
одновременно.
Удастся ли распределить роли так. Чтобы исполнители были довольны? <Рисунок 17>.
Изобразим каждого участника драматического кружка точкой, а все их пожелания будем изображать линиями. Видно, что Осипа будет играть Дима, Вова – Землянику, Гена – Ляпкина – Тяпкина, Алик и Боря – Хлестакова и Городничего.
Задание 5
Решите с помощью графов следующую задачу: В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. На выполнение этой задачи 5 минут. Максимальная оценка – 5 баллов.
Решение задачи выводится на экран <Рисунок 18>.
В 1736 году Эйлер выпустил два тома аналитической механики. В этой работе он применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и сопротивляющейся среде. Эта работа стала первой, где дифференциальное и интегральное исчисления применялись для описания физических явлений. <Рисунок 19>.
В 1738 году появились два тома «Руководства к арифметике» на немецком языке, которое было переведено на русский язык и вышло в 1740 году в качестве учебника для гимназистов.
В 1739 году Эйлер выпускает книгу о теории музыки, в которой он рассматривает музыку как часть математики.
В 1740 году Эйлер издал книгу о приливах и отливах морей, за которую получил премию Парижской Академии наук.
Всего за 14лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. Эйлер участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской АН. Он читал лекции студентам, участвовал в различных технических экспертизах, работал над составлением карт России.
В 1741 году Эйлер принял предложение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин.
Берлинский период
Живя в Берлине, Эйлер не переставал интенсивно работать для Петербургской АН, сохраняя звание её почётного члена. Он вёл обширную научную переписку, в частности переписывался яс Ломоносовым, которого высоко ценил. На получаемые из России деньги Эйлер закупал для Академии книги, приборы, подбирал кандидатов на академические должности, писал отзывы на научные работы.
Эйлер ввёл близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках тригонометрических функций любого аргумента. Предшественники Эйлера, понимали тригонометрические функции как образы линий в круге некоторого радиуса, называя его «полным синусом». Теперь же тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций, как действительного так и комплексного аргумента. В 1748 году, благодаря Эйлеру, вошло в употребление привычное нам обозначение синуса и косинуса, а в 1753 году котангенса.
Задание 6
Построить в одной системе координат графики данных функций <Рисунок 20>. На выполнение этой задачи 10 минут. Максимальная оценка – 10 баллов.
Из рисунка видно, что при значениях х близких к единице графики этих функций почти совпадают <Рисунок 21>. Эйлер получил представление тригонометрических функций синус и косинус в виде суммы функций, в виде многочлена. <Рисунок 22>, <Рисунок 23>.
В Берлинской АН Леонард Эйлер руководил обсерваторией и ботаническим садом, занимался изданием разнообразных географических и календарей. В этот период Эйлер опубликовал 380 научных работ, написал книги по математическому анализу, по кораблестроению и навигации, о движении Луны. <Рисунок 24>.
Результаты, полученные Эйлером, используются в космических исследованиях. В частности, для управления летательными аппаратами необходимо отыскать наилучшее (оптимальное) управление. Л. Эйлер разработал в 1726–1744 гг. общий метод решения экстремальных задач.
Например, двигаясь по циклоиде, под действием силы тяжести тело опустится из одной точки в другую в кратчайшее время.
Эйлер открыл формулу по которой можно
вычислить силу, называемую критической, под
действием которой колонна начинает сгибаться и
её ось принимает форму синусоиды.
Рост авторитета Эйлера нашёл своеобразное
отражение в письмах к нему его учителя И.
Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к
«учёнийшему и даровитейшему юному мужу Леонарду
Эйлеру», в 1737 – к «знаменитейшему и
остроумнейшему математику», а в 1745 – к
«несравненному Леонарду Эйлеру – главе
математиков».
Задание 7
Выясните, выполнив необходимые построения на
какой линии в произвольном треугольнике лежат
следующие три точки: точка пересечения высот,
точка пересечения медиан, центр описанной
окружности. На выполнение этой задачи 5 минут.
Максимальная оценка – 5 баллов.
В произвольном треугольнике точка пересечения
высот, точка пересечения медиан и центр
описанной окружности лежат на одной прямой. Эта
прямая называется прямой Эйлера. <Рисунок
25>.
Второй Петербургский период жизни
Эйлер вернулся в Россию в 1766 году. В Петербург он привёз много рукописей, которые не успел опубликовать в Берлине. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту, он до конца своей жизни продуктивно работал.
В 1767 Эйлер написал учебник алгебры – «Универсальная арифметика». Эта книга Эйлера, вышла на русском языке в 1768 г, на немецком в 1770 г. Переведена на французский, английский, испанский. Переиздавалась 30 раз на 6 европейских языках. <Рисунок 26>.
В 1776 Леонард Эйлер был одним из экспертов проекта одноарочного моста через Неву, предложенного И.Кулибиным, и из всей комиссии один оказал широкую поддержку проекту.
В 1777г. Эйлер ввел в употребление обозначение мнимой единицы i и записал свою знаменитую формулу, которую Лагранж назвал одним из самых прекрасных изобретений 18 века. Академик Крылов считает, что эта удивительная формула объединяет арифметику (–1), геометрию (П), алгебру (квадратный корень из минус единицы равен мнимой единице), анализ (е). <Рисунок 27>.
Круг занятий Эйлера, охватывавших все отделы
современной ему математики и механики,
теорию упругости, математическую физику, оптику,
теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую
науку, страховое дело и т.д.
Задание 8
Требуется выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30кг, при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов. Эйлер предложил взять такие гири: 1 кг, 2 кг, 4 кг, 8 кг, 16 кг. Попробуйте «взвесить» этими гирями грузы от 1 до 30 килограмм. За каждый правильный ответ 1 балл. На выполнение этой задачи 5 минут.
За 1777 г. Эйлер, будучи слепым, подготовил около 100 статей, т.е. почти по 2 статьи в неделю! За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге Леонардом Эйлером было подготовлено около 400 работ. <Рисунок 28>.
Заслуги Эйлера как крупнейшего учёного и организатора научных исследований получили высокую оценку ещё при его жизни. Помимо Петербургской и Берлинской академий, он состоял членом крупнейших научных учреждений: Парижской АН, Лондонского королевского общества и других. <Рисунок 29>. 3/5 работ Эйлера относится к математике, остальные 2/5 к её приложениям.
Доминик Араго сказал: «Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орёл парит над землёй».
Задание 9
Выяснить на какой линии в произвольном треугольнике лежат: основания высот, основания медиан, середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот треугольника с его вершинами. На выполнение этой задачи 10 минут. Максимальная оценка – 10 баллов.
В произвольном треугольнике основания медиан, основания высот, а также середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот треугольника с его вершинами, лежат на одной окружности. Её называют окружностью Эйлера. <Рисунок 30>.
Умер Леонард Эйлер 18 сентября 1783 года. Французский математик Кондорсе сказал: «Эйлер перестал вычислять и жить». Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: «Леонарду Эйлеру – Петербургская академия». Академик Вавилов скажет позже: «Вместе с Петром I и Ломоносовым Эйлер стал добрым гением нашей академии, определившим её славу, её крепость, её продуктивность». <Рисунок 31>. Через 50 лет обнаружилось, что могила утеряна, и лишь случайно её удалось найти. Позднее останки Эйлера были перенесены в некрополь Александро-Невской лавры, где сегодня можно увидеть его могилу.
18 столетие с полным правом может быть названо веком Эйлера. Он оказал большое и плодотворное влияние на развитие математического просвещения в России. Именем Эйлера назван кратер на обратной стороне Луны. М. В. Остроградский писал, что «Эйлер создал современный анализ и сделал из него самый могущественный аппарат ума человеческого. Он один охватил анализ во всём его объёме и указал на многочисленные и разнообразные его применения».
В 1909 г. Швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера, которое завершено в 1975 г.Оно состоит из 72 томов. Знаменитый французский учёный П. Лаплас говорил: «Читайте, читайте Эйлера, он наш общий учитель». По книгам Эйлера училось несколько поколений, а главное содержание этих книг вошло в современные учебники.
В сентябре 1983 года во всём мире отмечалось 200-летие со дня смерти великого петербургского математика Леонардо Эйлера. Специально созданный Эйлеровский комитет при Академии наук ГДР провёл научную конференцию с участием зарубежных математиков. К открытию конференции была выпущена памятная медаль из мейсенского фарфора. <Рисунок 32>. Вышла в свет марка с портретом Эйлера и одной из наиболее знаменитых его формул, а также конверты с факсимиле его подписи и тиснёным портретом. <Рисунок 33>.
В 2007 году широко отмечалось 300-летие великого математика Леонарда Эйлера.
Подведение итогов игры
Жюри подсчитывает баллы и подводит итоги
Литература:
«Математика». Учебно-методическая газета.
Специальный выпуск к 300-летию Леонарда Эйлера. №6,
2007.
Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа
по математике. – Саратов, ОАО Лицей, 2002.
Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные
математические задачи. – М.: Просвещение, 1994.
Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи
по математике. – М.: Владос, 2003.
Никифоровский В А. В мире уравнений. – М. :
Наука, 1987.
Смышляев В.К. О математике и математиках. –
Йошкар-Ола, марийское книжное издательство, 1977.