Урок по алгебре в 9-м классе по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия"

Цели урока:

• познакомить учащихся с понятиями “арифметическая” и “геометрическая” прогрессии, дать им определения, вывести формулы n-х членов, показать их применение при решении задач;
• развивать мышление, умение делать умозаключения по аналогии, интерес к предмету, демонстрируя лаконичность и красоту доказательств и решений;
• воспитывать творческую личность методом активного развития знаний.

Ход урока

1. На уроке мы должны познакомиться с новыми для вас понятиями “арифметическая” и “геометрическая” прогрессии, дать им определения, вывести формулы, рассмотреть решение типичных задач. В учебнике этот материал излагается иначе. Откройте учебник на с.83.Здесь дается арифметическая прогрессия, а потом - геометрическая. Мы будем изучать их параллельно.
2. Начнем с повторения и проверки индивидуального дом. задания.

На прошлом занятии мы рассматривали последовательности[2].

1. Что такое последовательность? (Ряд чисел, обладающих определенным свойством: число и номер, который оно занимает в этом ряду взаимосвязаны).
2. Какие способы задания числовых последовательностей вы знаете? (табличный, функциональный, рекуррентный).
3. Последовательность задана формулой: а_n = 2n - 1.Укажите 5 ее членов. (1,3,5,7,9).
4. Последовательность представляет собой ряд чисел: 1/2; 2/3;… . Задайте ее формулой n –го членена.

3. Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях встречаются около 2000 лет до н.э.. Исторические сведения о прогрессиях сообщит уч-ся.

Пример сообщения.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

Термин “ прогрессия” (от латинского progression, что означает “движение вперед”) был введен римским автором Боэцием(IV в) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Известна интересная история о знаменитом немецком математике Карле Гауссе (1777-1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить натуральные числа от 1 до 100.Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1 +100, 2+99, и т.д. равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

4. Арифметическая и геометрическая прогрессии – это тоже последовательности, но они отличаются от других последовательностей. Наша задача выяснить в чем же их отличие.

Класс разбивается на 2 группы. Каждой группе предлагается задача, приводящая к арифметической (1 группа) и геометрической (2 группа) прогрессии. К ним прилагаются необходимые задания [1].

Задача 1. Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший а=5 дм, а каждый следующий на 2 дм длине. Записать длину семи стержней.

<Рисунок 1>

Задания:

1. Записать последовательность в соответствии с условием задачи.
2. Записать эту же последовательность с помощью таблицы.
3. Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности.
4. Задать эти последовательности рекуррентным способом.

Задача 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на 2. Записать колонию, рожденную одной бактерией.

<Рисунок 2>

Задания:

1. Записать последовательность в соответствии с условием задачи.
2. Записать эту же последовательность с помощью таблицы.
3. Найти частное q от деления последующего члена на предыдущий.
4. Задать эти последовательности рекуррентным способом.

Сначала учащиеся работают в тетрадях. Затем поочередно вызываются к доске от каждой группы, для записи ответов. Ели отвечают ребята из 1 группы, то члены 2 группы записывают все в тетради, если отвечают ребята 2 группы, то члены 1 группы записывают все в тетради.

Записи каждой группы:

1. 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17.
2.  

n	1	2	3	4	5	6
a	5	7	9	13	15	17

3. а ₂-а ₁=2, а ₃-а ₂=2, …, а _n+1-а _n=d.
4. а ₂=а ₁+2, а ₃=а ₂+2,…, а _n+1=а _n+d.

 

1. 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64.
2.  

n	1	2	3	4	5	6	7
b	1	2	4	8

3. b₂:b₁=2, b_3:b₂=2, …, b _n+1:b_n=q.
4. b₂=b₁•2, b₃=b₂•2, …, b_n+1=b_n•q

5. Даю определение арифметической и геометрической прогрессии.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,

называется арифметической последовательностью.

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической последовательностью.

В ходе изучения темы мы будем использовать таблицу, которую мы начнем заполнять на сегодняшнем уроке, а продолжим на последующих (заготовки раздаю всем учащимся).

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член. Вычисляя последовательно второй, третий и т.д. члены. Этот способ неудобен, постараемся отыскать другой. Вывод формул учеником у доски (индивидуальное задание).

Также у доски выводится формула n – го члена для геометрической прогрессии (учителем).

Давайте сравним выведенные формулы n-х членов прогрессий [2]. Бросается их сходство. В чем оно выражается? В 1-й формуле разность умножается на n-1, а во 2-й – знаменатель возводится в степень n-1.

Решение типичных задач на применение формул n-го члена для арифметической и геометрической прогрессий тоже аналогично.

Возможные типы задач:

1. Дано: а₁, d(q) . Найти: a_n.
2. Дано: а_1, а₂ . Найти: a_n.
3. Дано: а₁, а_n . Найти:a_k.
4. Дано: а_k, a_m. Найти: a_n.

6. Задание на дом. Выучить основные понятия и вывод формул .

Литература:

1. КоваленкоВ.Г.Дидактические игры на уроках математики: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.
2. Беляева Э.С. и др.Развитие интереса к математике (часть 1). – Воронеж: ВОИПКРО, 1995.- 69с.