Задачи с параметрами, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного уравнения

Разделы: Математика

  1. Постановка цели урока:

Рассмотрим, как при решении задач с параметрами используются свойства квадратной функции. Задачи разнообразные по форме и содержанию, но объединены обшей идеей - в основе их решения лежат свойства функции: у=ах2+bх+с

Дискриминант, старший коэффициент а и хо=(-b/2а) абсцисса вершины параболы конструируют основу, на которой строится теория решения задач, связанных с квадратичной функцией.

  1. При каких значениях параметра а корни уравнения ах2-(2а+1)х+За-1=0 больше 1?

Очевидно, что задача равносильна следующей: “при каких значениях параметра, а корни квадратного трехчлена f(х)=ах -(2а+1)х+За-1 больше 1?

Переход от одной формулировки задач к другой дает возможность использовать основную идею решения, которая связана с описанием свойств квадратного трехчлена и с их геометрической интерпретацией.

В частности, чтобы корни квадратного трехчлена f(х)=ах +bх+с (а≠0) были больше числа d (х1; х2 > d) необходимо и достаточно выполнение условий:

  

Скажите, а как можно от совокупности двух систем перейти к одной системе

    

 Мы получим условие того, что корни квадратного трехчлена больше данного числа d. Неплохо бы помнить данное утверждение, однако заучивать его не надо, гораздо важнее понять механизм возникновения необходимости неравенств и научиться его применить при решении конкретных неравенств и научиться его применить при решении конкретных задач. Вернемся к нашей задаче:

  2. а=0

=> х=-1 не удовлетворяет условию задачи

Остается только решить эту систему неравенств (1) при а (1; )

Скажите, а есть ли другой способ задач? (Этот же результат мы получим, решая неравенство x1>1, где x1 - меньший корень уравнения.)

  • При каких значениях а корни уравнения х2-2(а-1)х+2а+1=0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?
  • Как можно перефразировать данное задание? (Например, корни квадратичного трехчлена принадлежат промежутку (-4;4)

  • Как можно заменить два последних неравенства в данной конкретной задаче, учитывая, что ветви параболы направлены вверх?

  1. Решение задач:

Развиваем I - ключевую задачу:

  1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2-ах+2=0 удовлетворяет условию 1<х<3?

   

  1. Найти а при которых один из корней уравнения х +2ах+а -4а+3=0 меньше -2, а другой больше -2 т.е. при каких a корни квадратного трехчлена лежат по разные стороны от х=-2? Что для этого необходимо и достаточно?

Очевидно, что решать эту задачу другим методом, рассматривая неравенства: x1<-2: х2>-2 очень сложно.

  1. Найти а, при которых число -1 лежит между корнями уравнения х2+2ах+4а2-а-2=0 Мы варьируем условие! Во второй задаче корень лежит между числами, а в третьей число лежит между корнями.

Вернемся ко второй задаче: обязательно ли условие D≥0?

Развиваем III ключевую задачу:

  1. При каких а, уравнение

3sinх+(4-2а)sinх+1 -а =0 имеем корни разного знака? Sinх=1; |t| ≤ 1

3t2 - (4 - 2а)t +1 - а2 = 0

f(-1)>0
f(1)>0
(0)>0		 a2+2a-8<0
a2-2a<0
a2-1>0		 (a+4)(a-2)<0
a(a-2)<0
(a-1)(a+1)>0

Ответ: а (1,2)

  1. При каких а, уравнение соs2 х-(а-2)соsх+4а+1=0 не имеет корней? cosх=t  |t| < 1
  • D<0
    (a-2)2-4(4a+1)<0
    a2-12a<0  a(0;12)
D>0
f(-1)<0
f(1)<0

Ответ:

6. При каких а неравенство верно для каждого х?

sinбх+cosбх+a*sinхсоsх≥0
sin4х-sin2хсоs2х+соs4х+аsinхсоsх≥0
1-3sin2 хсоs2х+аsinхсоsх≥0



Ответ:

  1. Дополнительно.

7. При каких а корни уравнения х2 -2х-а +1=0 лежат между корнями уравнения

х2-2(а+1)х+а(а-1)=0?

Пусть f(х)=х2-2х-а2+1
D=4a
 = х2-2(а+1)х+а(а-1)

g(x2)<0
g(x1)<0		 g(1+a)<0
g(1-a)<0

Ответ:

Принцип решения данной задачи необходим для выполнения домашнего задания

  1. Домашнее задание:

На координатной плоскости рассматривается фигура F, которая состоит из всех точек, координаты (а;b) которых таковы, что система неравенств не имеет решения. Найдите площадь фигуры F.