Изучение пирамиды и ее элементов представляет широкие возможности для составления и решения задач на различных видах пирамид по следующим темам:
- Пирамиды, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.
- Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
- Пирамиды, в которых заданы расстояния между точками и элементами пирамиды.
Действующие учебники геометрии либо не содержат , либо содержат в недостаточном количестве задачи по этим темам.
Как показала практика, учащиеся с большим интересом принимают участие не только в решении данных задач, но и в их составлении. Они с удовольствием предлагают различные решения придуманных ими задач.
К этому учащихся необходимо подводить хорошо продуманной системой теоретических положений и практических упражнений.
Учебники Л.С. Атанасяна и др. “Геометрия 10–11” и А.В.Погорелова “Геометрия 10–11” содержат опорный теоретический материал по теме “Пирамида и ее элементы”.
В дополнение к нему можно рассмотреть следующие свойства часто встречающихся видов пирамид.
Справочный материал.
Теория.
Теоремы о пирамидах, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.
- Если все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то:
а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;
б) все боковые ребра пирамиды равны между собой.
- Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около ее основания, то:
а) все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;
в) все боковые ребра пирамиды равны между собой.
- Если все боковые ребра пирамиды равны, то:
а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;
б) все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью ее основания равные между собой углы.
- Если высота пирамиды пересекает ее основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в ее основание.
- Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.
- Если у треугольной пирамиды все боковые ребра равны, а в основании лежит прямоугольный треугольник, то грань, содержащая его гипотенузу, перпендикулярна основанию. Основание высоты данной пирамиды является середина гипотенузы.
Теоремы о пирамидах, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
- Если пирамида содержит ровно одну боковую грань, которая перпендикулярна плоскости основания, то высота такой пирамиды лежит в этой боковой грани.
- Если пирамида содержит две смежные боковые грани, перпендикулярные плоскости основания, то высотой такой пирамиды является боковое ребро, общее для этих граней.
- Если в пирамиде две не смежные боковые грани перпендикулярны плоскости основания, то высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней.
- Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно основанию, то и боковые грани, содержащие это ребро, перпендикулярны основанию.
- Если в четырехугольной пирамиде в основании ромб, и две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, то боковые грани данной пирамиды – две пары равных треугольников.
Задачи для решения.
Задания из книги “Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11-го класса” Ершовой А.П., Голобородько В.В.
Пирамиды, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.
Вариант А.
- Основание пирамиды SABCD – прямоугольник АВСД со сторонами 6 и 8 см. Все боковые ребра пирамиды равны 13 см.
а) Опишите построение высоты пирамиды SO.
б) Докажите равенство отрезков АО, ВО, СО и ДО.
в) Обоснуйте положение точки О в прямоугольнике АВСД и найдите длину высоты SO.
- Основание пирамиды – равнобедренный
треугольник с основанием а и углом при вершине
. Все
двугранные углы при основании пирамиды равны 
.
а) Опишите построение высоты пирамиды, высот боковых граней и их проекций на плоскость основания. Обоснуйте двугранные углы при основании пирамиды.
б) обоснуйте положение основания высоты пирамиды в данном равнобедренном треугольнике.
в) Найдите высоту пирамиды.
Вариант Б.
- Основание пирамиды – равнобедренный
треугольник с боковой стороной b и углом при
основании .
Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости
основания под углом .
а) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды в данном равнобедренном треугольнике.
б) Определите, при каких значениях ? высота пирамиды будет находиться вне пирамиды.
в) Найдите высоту пирамиды.
- Основание пирамиды – ромб с большей диагональю
d и острым углом . Все двугранные углы при основании
пирамиды равны .
а) Обоснуйте данные двугранные углы и положение основания высоты пирамиды в ромбе.
б) Найдите высоту пирамиды.
в) Двумя способами – путем вычисления площадей боковых граней и с помощью теоремы об ортогональной проекции многоугольника – найдите боковую поверхность пирамиды. Сравните полученные результаты.
Вариант В.
- Основание пирамиды – треугольник с углами и . Точка высоты
пирамиды, удаленная от плоскости основания на
расстояние d, равноудалена от концов бокового
ребра. Все боковые ребра пирамиды наклонены к
плоскости основания под углом
.
а) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.
б) При каких условиях высота пирамиды лежит внутри пирамиды?
в) Найдите высоту пирамиды.
г) Найдите площадь основания пирамиды.
- В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция
с острым углом . Высота пирамиды равна Н, а все
двугранные углы при основании равны .
а) обоснуйте положение основания высоты пирамиды.
б) Найдите высоту трапеции, лежащей в основании пирамиды.
в) Не вычисляя площадей боковых граней, найдите боковую поверхность пирамиды.
Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
Вариант А.
- Основание пирамиды – равнобедренный
треугольник с боковой стороной b и углом при
вершине .
Боковые грани пирамиды, содержащие стороны
данного угла перпендикулярны плоскости
основания, а третья боковая грань наклонена к ней
под углом .
а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б) Обоснуйте угол
в) Найдите площадь третьей боковой грани.
г) Найдите боковую поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – правильный треугольник со
стороной а. Одна из боковых граней пирамиды
перпендикулярна плоскости основания, а две
другие – наклонены к ней под углом .
а) Из вершины пирамиды в плоскости грани, перпендикулярной основанию, проведите перпендикуляр к ребру основания и обоснуйте, почему он будет высотой пирамиды.
б) Обоснуйте углы наклона, равные
в) Докажите, что основание высоты пирамиды равноудалено от двух сторон правильного треугольника, и обоснуйте положение основания высоты на стороне правильного треугольника.
г) Найдите боковую поверхность пирамиды.
Вариант Б.
- Основание пирамиды – квадрат со стороной а, две
смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны
плоскости основания, а две другие – наклонены к
ней под углом .
а ) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б ) Обоснуйте углы, равные
в ) Докажите, что боковые грани пирамиды попарно равны.
г ) Найдите боковую поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – прямоугольный
треугольник с гипотенузой с и острым углом . Боковая грань,
содержащая катет, противолежащий данному углу ,
перпендикулярна плоскости основания, а две
другие грани наклонены к ней под углом .
а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.
в) Найдите высоту пирамиды.
г) Найдите боковую поверхность пирамиды.
Вариант В.
- Основание пирамиды – ромб с тупым углом . Две боковые
грани, содержащие стороны этого угла,
перпендикулярны плоскости основания, а две
другие – наклонены к ней под углом . Высота пирамиды равна Н.
а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б) Обоснуйте углы, равные
в) Найдите боковую поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – прямоугольная трапеция с
острым углом ? и прилежащей к нему боковой
стороной .
Боковая грань, содержащая большее основание
трапеции, перпендикулярна плоскости основания, а
три другие грани наклонены к ней под углом .
а ) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.
в) Найдите площадь основания пирамиды.
г) Найдите боковую поверхность пирамиды.
Пирамиды, в которых заданы расстояния между точками и элементами пирамиды.
Вариант А.
- В правильной треугольной пирамиде боковое
ребро наклонено к плоскости основания под углом . Расстояние от
середины высоты пирамиды до середины бокового
ребра равно d.
а ) Найдите высоту пирамиды.
б ) Найдите площадь основания пирамиды.
- В правильной четырехугольной пирамиде
двугранный угол при основании равен . Расстояние от
середины высоты пирамиды до ее апофемы равно l .
Найдите боковую поверхность пирамиды.
Вариант Б.
- В правильной четырехугольной пирамиде
двугранный угол при основании равен . Расстояние от
основания высоты пирамиды до середины апофемы
равно l . Найдите полную поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – равнобедренный
треугольник с углом при вершине. Все боковые ребра
пирамиды наклонены к плоскости основания под
углом . Биссектриса этого
угла пересекает высоту пирамиды в точке,
удаленной от бокового ребра на расстояние d.
а ) Найдите высоту пирамиды.
б ) Найдите площадь основания пирамиды.
Вариант В.
- Основание пирамиды – равнобедренный
треугольник с углом при основании . Все двугранные углы
при основании пирамиды равны . Отрезок, соединяющий точки пересечения
медиан боковых граней, содержащих боковые
стороны треугольника, равен m. Найдите боковую
поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – прямоугольный
треугольник с острым углом .
Боковые грани пирамиды, содержащие катеты
треугольника, перпендикулярны плоскости
основания, а третья боковая грань наклонена к ней
под углом . Расстояние от
основания высоты пирамиды до этой грани равно l.
Найдите боковую поверхность пирамиды.
Указанный в статье перечень задач может быть расширен Вами и вашими учениками.
Желаем успеха!