Цель: обобщить способы решения квадратных уравнений.
Задачи:
- Формировать навык применения различных способов к решению квадратных уравнений.
- Развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы; познавательный интерес к предмету через систему задач.
- Воспитать чувство ответственности за выполненную работу перед коллективом.
Подготовка к уроку:
Группе учащихся из 5 человек предлагается работать над одной из тем:
- Общие способы решения квадратных уравнений.
- Графический способ решения квадратных уравнений.
- Метод "коэффициентов". Метод "переброски".
- Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
- Как решали квадратные уравнений в древности?
- Франсуа Виет- французский учёный.
Через неделю учитель заслушивает готовые доклады, вносит коррективы. Тексты докладов "закладываются" в презентацию по данной теме.
Оборудование и материалы к уроку.
- Приборы и инструменты для выполнения чертежей и рисунков.
- Компьютер и мультимедийный комплекс.
- Стенды с материалами по теме урока.
Основные этапы урока.
Организационный момент.
Когда уравненье решаешь, дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно,
Поставь в уравненье его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значенье зовите тотчас.
О.Севостьянова
Сегодня мы проводим урок по теме "Квадратные уравнения". Нам предстоит узнать различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.
1. Вступительное слово учителя.
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.
В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.
2. Сообщения учащихся.
Обратимся к истории: когда впервые встретились квадратные уравнения и как их решали.
Доклад по теме: Как решали квадратные уравнения в древности?
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
В Древней Индии задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. Там были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.
Задача знаменитого индийского математика Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекаясь.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам.....
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
(учащийся приводит решение этой задачи на доске)
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Вопрос учителя: дайте определение квадратного уравнения.
Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0, называют квадратным уравнением.
Доклад по теме: "Общие методы решения квадратных уравнений"
Слово учителя:
Корни квадратного уравнения находятся по формулам:
Фронтальная беседа: ученики делают запись в тетради:
Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
- Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
- Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
- Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Доклад о жизни и научных трудах математика Ф.Виета(пользуясь следующими слайдами):
Доклад учащегося по теме: Метод "переброски".
Доклад учащегося по теме: Метод "коэффициентов"
Далее следует доклад "Графический способ решения квадратных уравнений".
Следующий способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
3. Практическая работа:
Класс делится на группы по 4 человека. В каждой группе есть консультант, который помогает учащимся, у которых возникают трудности при решении квадратных уравнений.
Задание1: Решить квадратные уравнения по общим формулам. На выполнение этой работы даётся 7 минут. По истечении времени собираются по одной работе из каждой группы(каждый раз у разных учащихся). Ставится оценка всей группе.Задание 2: На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени собираются по одной работе из каждой группы. Ставится оценка всей группе.
Задание 3: На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени собираются по одной работе из каждой группы. Ставится оценка всей группе.
Задание 4: Решить уравнения методом "коэффициентов". На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени собираются по одной работе из каждой группы. Ставится оценка всей группе.
4. Выставление оценок учащимся.
Оценив каждое из четырёх заданий, учитель ставит общую оценку за работу на уроке. Докладчики получают дополнительную оценку за подготовку докладов и выступление на уроке.
5. Подведение итогов урока.
Подбирая материал к этому уроку, изучая дополнительную литературу, я и мои докладчики открыли для себя много интересного и нового о квадратных уравнениях, чего нельзя прочитать в учебнике. В наше время невозможно представить себе решение как простейших , так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках , без применения решения квадратных уравнений.
Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.
6. Домашнее задание:
Подобрать по 2 уравнения к каждому из предложенных способов и решить их.
Литература:
- Ш.А.Алимов "Алгебра - 8".
- Материалы газеты "Математика", приложение к "1 сентября".
- Г.И.Глейзер "История математики в школе" (для учащихся 7-8 классов). Пособие для учителей. - М. Просвещение,1982
- Энциклопедический словарь юного математика. - 2-е изд., испр и доп. - М. Педагогика, 1989.