Цели урока:
- дидактическая: сформировать понятия «медиана треугольника», «биссектриса треугольника», «высота треугольника»;
- психологическая: обучать умению математически грамотно проводить рассуждения; развивать творческое мышление учащихся;
- воспитательная: активизировать умственную деятельность учащихся посредством дидактических игр в процессе закрепления ранее полученных и усвоения новых знаний; организовать индивидуальный подход с помощью учащихся - консультантов.
Оборудование:
- Линейка, транспортир, угольник.
- Таблица «Медиана, биссектриса, высота треугольника».
- Слайды с алгоритмами построений медианы, высоты, биссектрисы треугольника.
- Плакат «Замечательные точки и линии треугольника».
- Карточки с заданиями для индивидуальной работы.
- Слайды с заданиями для повторения, закрепления новых знаний.
- Выставка творческих работ учащихся.
План урока
I. Мотивация. Постановка учебной задачи «Как построить медиану, высоту, биссектрису треугольника и научиться их распознавать?»
II. Решение учебной задачи.
Задание 1.
Установить понятие «высоты»» треугольника.
Задание 2.
Установить понятие «биссектрисы» треугольника.
Задание 3.
Установить понятие «медианы» треугольника.
Задание 4.
Сформулировать свойства высот, биссектрис, медиан треугольника.
III. Обобщение урока. Домашнее задание.
Содержание урока
I. Ориентировочно–мотивационный этап. (10 минут).
1) Проверка творческих домашних заданий: кроссворд «Знакомство с планиметрией», проект «Создай и опиши свой чертёж ». Оценивание работ. По решению класса особо выдающиеся творческие работы принимаются в «копилку ученических идей».
2) Выравнивание знаний. Групповая работа.
Дидактическая игра «Состязание геометров». Повторение пройденного материала и активизация необходимых знаний для дальнейшей познавательной деятельности.
Учитель сообщает, что всем надо следить за изображениями на экране. Через мультимедийное устройство двум командам учащихся предлагаются чертежи к аксиомам, определениям фигур. Надо по изображению на экране сформулировать известную аксиому или определение. Можно при этом добавить к чертежу недостающий элемент. Слайды с чертежами готовятся заранее. Всего может быть приготовлено 3-4 задания. Команды дают ответы поочерёдно. Правильный ответ: 5 баллов, с недочётом – 3,4 балла, неправильно – 0 баллов, дополнение игроком этой же команды – 1 балл. В конце игры определяется команда – победитель. Капитаны команд ведут учёт правильных ответов. Самооценка учащихся.
Дидактическая цель игры: повторить аксиомы откладывания углов, отрезков, определения биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой.
Первое задание.
|
1 - я команда |
2 – я команда |
|---|---|
|
|
|
Второе задание.
|
1 - я команда |
2 – я команда |
|---|---|
|
|
|
Третье задание. Кроссворд «Геометрические фигуры»
По вертикали:
1 команда.
1. Фигура, состоящая из двух различных полупрямых с общей начальной точкой (угол).
6. Вопрос по новой теме.
Перпендикуляр, проведённый из данной вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника (высота). Ответа от учащихся может и не быть.
2 команда.
3. Фигура, состоящая из двух точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно их соединяющих (треугольник).
8. Вопрос по новой теме.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (медиана). Ответа от учащихся может и не быть.
По горизонтали:
1 команда.
2. Часть прямой, которая состоит из всех точек прямой, лежащих между двумя данными точками (отрезок).
5. Часть прямой, из всех точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки (луч).
2 команда.
4. Углы, у которых одна сторона общая, а другие являются продолжением (смежные).
7. Треугольник, у которого две стороны равны (равнобедренный).
1 и 2 команды.
9. Луч, который исходит из вершины угла и делит угол пополам (биссектриса).
3). Постановка учебной задачи.
При решении кроссворда встретились новые понятия «высота», «медиана», «биссектриса» треугольника.
Историческая справка.
Эти слова пришли к нам из латинского языка. Например, слово «биссектриса» означает «бис» - дважды и «сектио» - рассечение ,т. е. «рассекающая надвое». Слово «перпендикуляр» означает «пендула» - маятник, отвес. Таким образом, перпендикуляром называли когда – то просто вертикальное направление. Оно образует прямой угол с земной поверхностью.
Сегодня мы сформулируем определения: «высота треугольника», «медиана треугольника», «биссектриса треугольника» и совместно составим алгоритмы их построения.
II. Операционально–исполнительский этап.
Задание 1.
Построить отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Сформулировать определение медианы треугольника. Составить алгоритм её построения.
Самооценка.
Алгоритм построения медианы треугольника.
1. Построить ∆АВС.
2. Построить середину стороны АС и обозначить буквой М.
3. Соединить вершину треугольника В с построенной точкой М.
4.Считать отрезок BМ медианой треугольника.
Медиана может быть обозначена буквой m.
Поочерёдно вывешиваются алгоритмы построения медианы, биссектрисы, высоты треугольника.
Задание 2.
Построить отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Сформулировать определение биссектрисы треугольника. Составить алгоритм её построения.
Самооценка.
Алгоритм построения биссектрисы треугольника.
1. Построить ∆АВС.
2. Провести биссектрису угла треугольника при вершине В.
3. Обозначить точку пересечения биссектрисы угла с противолежащей стороной буквой D.
4. Считать отрезок BD биссектрисой треугольника.
Биссектриса может быть обозначена буквой b.
Задание 3.
Провести перпендикуляр из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Сформулировать определение высоты треугольника. Составить алгоритм её построения.
Самооценка.
Алгоритм построения высоты треугольника.
1. Построить ∆АВС.
2. Опустить перпендикуляр из вершины В к прямой, содержащей противоположную сторону АС.
3. Основание перпендикуляра обозначить точкой К.
4. Считать отрезок ВК высотой треугольника.
Высота может быть обозначена буквой h.
Задание 4.
Учащиеся на листах с готовыми чертежами остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольников, пользуясь алгоритмом проводят высоты в каждом треугольнике.
На основании полученных результатов делают вывод:
- Высоты в остроугольном треугольнике пересеклись в точке, находящейся внутри треугольника.
- Высоты в прямоугольном треугольнике пересеклись в вершине прямого угла.
- Высоты в тупоугольном треугольнике пересеклись в точке, расположенной вне треугольника.
Аналогично выполняются построения медианы, биссектрисы треугольника.
Выводы на основе результатов построения:
- Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри треугольника. Такая точка называется центром тяжести или барицентром.
- Биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри треугольника. Такая точка называется центром вписанной окружности.
Историческая справка.
В «Началах» Евклида указывается, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности, но не говорится о том, что высоты пересекаются водной точке (ортоцентре). «Ортос» - греческое слово (прямой, правильный).
Об этом знали Архимед, Прокл. Архимед доказал, что точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести (барицентр). На эти точки было обращено внимание, начиная с XVIII века они были названы «замечательными» или «особенными» точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими точками и другими, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики «геометрии треугольника», родоначальником которой был Леонард Эйлер. В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр, центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной «прямой Эйлера».
Задание 5.
Составить графическую модель усвоенного материала.
III. Рефлексивно – оценочный этап.
1). Вернуться к решению кроссворда и ответить на вопросы по новой теме.
2). Назвать, чем является отрезок КС в ∆КОР?
3). Назвать, чем является отрезок NL в ∆KMN?
4). Какие цели были поставлены на уроке?
5). Что узнали на уроке?
6). Какие выводы сделали на уроке?
7). Закрыть записи. Проговорить вслух и про себя понятия медианы, биссектрисы, высоты треугольника. Проговорить алгоритмы построения этих элементов треугольника.
8). Посоветоваться в группах и оценить свои успехи на уроке с учётом промежуточных оценок.
IV. Домашнее задание:
1) по учебнику: п.17, № 103, № 104;
2) на перенос полученных знаний: пользуясь готовым чертежом, на котором изображён тетраэдр, доказать, что PK= КC;
Задание.
- Провести медиану ∆АРВ из вершины Р.
- Провести медиану ∆АВС из вершины С.
- Какая дополнительная фигура появилась на чертеже, не считая проведённых медиан?
3) на творческое применение знаний: «Головоломка со спичками».
Шесть спичек образуют два равных треугольника. Нужно эти спички расположить так, чтобы они образовали четыре таких же треугольника.
Решение. Надо войти в пространство. Сложить спички в виде пирамиды (тетраэдр). Получится:
Подготовить реферат на тему «Замечательные точки и линии треугольника».