О решении задач подобного типа уже достаточно много напечатано методических рекомендаций в периодических изданиях. Но в данной статье позволю себе предложить коллегам кое-что полезное из моего учительского опыта.
Рассмотрим самый распространённый тип задач, где из двух смесей (сплавов, растворов) получают новую смесь (сплав, раствор).
План моего изложения будет таков:
- решим типовую задачу в общем виде;
- выведем формулу;
- покажем школьникам образцы решения задач по выведенной формуле;
- предложим список задач для самостоятельного решения.
Задача: имеются два куска сплава меди с цинком. Процентное содержание меди в них p1% и p2% соответственно. В каком отношении нужно взять массы этих сплавов, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить новый сплав, содержащий p% меди?
Договоримся проследить за содержанием меди в сплавах.
| Массовая доля меди в сплаве | Масса каждого сплава | Масса меди в каждом сплаве | |||
| I сплав | p1% | m1 кг |
|
||
| II сплав | p2% | m2 кг |
|
||
| Новый сплав | p% | (m1 + m2) кг |
|
Зная, что масса меди в новом сплаве есть сумма масс меди в каждом из исходных кусков, составим уравнение
 | + |  | = |  | , |
m1 (p1 - p) = m2 (p – p2) (*)
Исследуем уравнение (*) при условии, конечно, что будем брать ненулевые массы сплавов.
I случай. Если p1, p2 и p попарно не равны, то получим формулу
m1 (p1 - p) = m2 (p – p2) (*)
 | (**) |
II случай. Возьмём два сплава с одинаковым процентным содержанием меди, т.е. p1 = p2. Получим, что p1 = p2 = p, что очевидно, поскольку ни большей, ни меньшей концентрации сплав просто не получится, если исходные материалы имеют одинаковую процентную концентрацию меди.
III случай. p2 = p, или же будет сказано, что p1 = p вывод тот же.
Заметим, что если взять два сплава, массы которых одинаковы, т.е. m1 = m2, то
Процентное содержание нового сплава станет равно среднему арифметическому процентных концентраций исходных сплавов. Это очень полезное следствие для равных масс исходных сплавов поможет нам в решении некоторых задач. Но даже, если на первых порах вы и забудете это следствие, формула (**) всё равно выведет вас на верный ответ.
А теперь давайте рассмотрим однотипные задачки, решение которых очень удобно по этой формуле.
Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора. Ответ: 15% |
|||||||
Масса первой смеси |
Массовая доля чистого вещества в первой смеси |
Масса второй смеси |
Массовая доля чистого вещества во второй смеси |
Массовая доля чистого вещества в общей их смеси |
Решение |
||
m1 |
p1 |
m2 |
р2 |
p |
|
||
m1 |
11% |
m2 |
19% |
р% |
m1 = m2; р=15 |
||
Сколько килограммов 20%-ного раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-ного раствора, чтобы получить 12%-ный раствор соли? Ответ: 0,25 кг |
|||||||
m1 |
20% |
1 кг |
10% |
12% |
 |
||
В сосуд, содержащий 13 литров 18%-го водного раствора некоторого вещества, добавили пять литров воды. Найти концентрацию получившегося раствора. Ответ: 13% |
|||||||
13 л |
18% |
5 л |
0% |
р% |
|
||
Далее предлагаем школьникам самим решить следующие задачи - это поможет им прочно усвоить алгоритм решения задач такого типа.
-
Имеется два раствора соли в воде, концентрации которых равны 20% и 30%. Сколько килограммов каждого раствора нужно смешать в одном сосуде, чтобы получить 25 кг 25,2%-го раствора?
Ответ: 12 кг и 13 кг. -
К 3 кг 20%-ого раствора соли добавили 2 кг 10%-го раствора соли. Найти процентное содержание соли в получившемся растворе.
Ответ: 16%. -
Сколько килограммов воды надо добавить к 20 кг 5%-го раствора соли, чтобы получить 4%-ый раствор соли?
Ответ: 5 кг. -
В сосуд, содержащий 30 кг 25%-го раствора соли в воде, добавили 20 кг воды. Найти процентное содержание соли в получившемся растворе.
Ответ: 3%. -
К 3 кг 20%-ого раствора соли добавили 2 кг 10%-го раствора соли. Найти процентное содержание соли в получившемся растворе.
Ответ: 15%.
Список используемой литературы
- М.В. Лурье и др. Задачи на составление уравнений, изд-во «Наука», М., 1976 г.
- Н.А. Терёшин. Прикладная направленность школьного курса математики, «Просвещение», М., 1990 г.
- А.В. Шевкин. Школьные математические олимпиады, изд-во «Русское слово», 2002 г.
- Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс). Под редакцией С. Шестакова, изд-во «Астрель», М., 2005 г.