Методы решения иррациональных уравнений

Козлова Галина Васильевна

Математика

Методы решения иррациональных уравнений

12.05.2008

Методы решений иррациональных уравнений

1. Решить уравнение

Решение. Построим графики функций y = 3x – 2.

2. Сколько решений имеет уравнение

Решение.

2 – x² = (x – 1)², 2 – x² = x² – 2x + 1, 2x² – 2x – 1 = 0.

D = 4 + 2·4 = 12;

2 – x² і 0.

2 – x² = (–x(x + 1))², 2 – x² = x² + 2x – 1, 2x² + 2x – 1 = 0;

Графический способ решения:

Ответ: 2 корня.

3. Решить уравнение

ОДЗ: 3 – x >= 0, x <= 3; x – 1 >= 0, x >= 1.

Решение. Подбором находим, что уравнение имеет корень x = 2. Так как в области определения уравнения (то есть на отрезке [1; 3]) функция возрастает, а функция убывает, то других корней уравнение не имеет. Итак, x = 2 — единственный корень уравнения.

4. Решить уравнение

Решение. Замечаем, что x₁ = 1 — корень уравнения (2). Но, как и в примере 3, утверждать, что это единственный корень уравнения, мы пока не можем, поскольку и функция и функция возрастают в области определения уравнения (2), то есть на луче Если в примере 3 нам удалось преобразовать уравнение к такому виду, что одна часть представляла собой убывающую, а другая — возрастающую функцию, то здесь нам этого не удается. Поступим по-другому.

Найдем производные функции и Вычислим их в точке x = 1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем: Далее, Так как то графики функций y₁(x), y₂(x) имеют общую касательную в точке (1; 1). Но поскольку функция y₁(x) выпукла вниз, а функция y₂(x) выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а поэтому уравнение y₁(x) = y₂(x) имеет только один корень. Итак, x = 1 — единственный корень уравнения (2).

Ответ: 1.

Векторный метод

5. Решить уравнение векторным методом.

Решение.

Так как то то есть и а следовательно,

Ответ:

6. Решить систему иррациональных уравнений используя теорему Виета и метод подстановки.

Решение. a >= 0, b >= 0.

По теореме Виета a = 5, b = 3.

a + b = 5, a·b = 15; x + 2 = 25, y – 2 = 3; x = 23, y = 5.

Ответ: (23; 5), (11; 27).

7. Сколько решений в зависимости от значения параметра a имеет уравнение

Решение. Построим графики функций y = ax. Графиком функции является окружность R = 1. Найдем точки пересечения функции с осью Ox, решая уравнение y = 0: 4x – x² – 3 = 0, x² – 4x – 3 = 0. По теореме Виета x₁ = 1, x₂ = 3.

Ответ: если a < 0 или a > 1 — нет решений; если a = 1 — одно решение; если 0 <= a < 1 — два решения.

Методы решений иррациональных неравенств

Неравенство вида кроме общего метода можно решать графическим методом. Иногда удается решить неравенство практически устно, если прикинуть эскиз графиков его правой и левой частей. Тогда окажется, что неравенства вида могут быть решены с помощью единственного уравнения. При таком способе необходимо только найти точки пересечения графиков функций, стоящих справа и слева в неравенстве.

1. Решить неравенство

Решение. Построим графики функций y = x + 1, Посмотрим, где первый график выше второго. Для нахождения решения остается решить уравнение D = 9; x₁ = –2, x₂ = 1.

Графики удобно использовать, если, например, необходимо найти количество решений в задачах с параметром или без него.

Ответ: x [–3; 1).

2. Указать количество целых чисел, входящих в решение неравенства

Решение. Построим графики функций y = 2x + 5. Посмотрим, где первый график выше второго. Видно, что решением является отрезок [–5; x₀]. Для нахождения решения остается только найти x₀, то есть решить уравнение Теперь можно получить решение исходного неравенства: В это отрезок входит шесть целых чисел от –5 до 0.